1. Phương trình đường tròn

HĐ1 (trang 43)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$, tâm $I(a;;b)$, bán kính $R$ (H.7.13). Khi đó, một điểm $M(x;;y)$ thuộc đường tròn $(C)$ khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn điều kiện đại số nào?

Lời giải:

Điểm $M(x;;y)$ thuộc $(C)$ khi và chỉ khi $IM = R$.

Tính $IM$:

$$IM = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}.$$

Vậy $IM = R ;\Leftrightarrow; (x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$.

Điều kiện đại số cần tìm là:

$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2.$$

Luyện tập 1 (trang 44)

Đề bài: Tìm tâm và bán kính của đường tròn $(C): (x + 2)^2 + (y – 4)^2 = 7$.

Lời giải:

Viết lại: $(x – (-2))^2 + (y – 4)^2 = (\sqrt{7})^2$.

So sánh với dạng chuẩn $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$, ta có:

• Tâm $I(-2;;4)$.
• Bán kính $R = \sqrt{7}$.

Luyện tập 2 (trang 44)

Đề bài: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) $x^2 – y^2 – 2x + 4y – 1 = 0$;

b) $x^2 + y^2 – 2x + 4y + 6 = 0$;

c) $x^2 + y^2 + 6x – 4y + 2 = 0$.

Lời giải:

Phương trình của đường tròn có dạng $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$, với điều kiện hệ số của $x^2$ và $y^2$ cùng bằng $1$ và $a^2 + b^2 – c > 0$.

a) $x^2 – y^2 – 2x + 4y – 1 = 0$: hệ số của $y^2$ là $-1$, không thoả mãn dạng. → Không phải phương trình đường tròn.

b) $x^2 + y^2 – 2x + 4y + 6 = 0$:

So sánh: $-2a = -2 \Rightarrow a = 1$; $-2b = 4 \Rightarrow b = -2$; $c = 6$.

Kiểm tra: $a^2 + b^2 – c = 1 + 4 – 6 = -1 < 0$. → Không phải phương trình đường tròn.

c) $x^2 + y^2 + 6x – 4y + 2 = 0$:

So sánh: $-2a = 6 \Rightarrow a = -3$; $-2b = -4 \Rightarrow b = 2$; $c = 2$.

Kiểm tra: $a^2 + b^2 – c = 9 + 4 – 2 = 11 > 0$. → Là phương trình đường tròn.

• Tâm $I(-3;;2)$.
• Bán kính $R = \sqrt{11}$.

Luyện tập 3 (trang 45)

Đề bài: Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua ba điểm $M(4;;-5)$, $N(2;;-1)$, $P(3;;-8)$.

Lời giải:

Giả sử $(C)$ có phương trình $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$.

Thay tọa độ ba điểm:

• $M(4;;-5)$: $16 + 25 – 8a + 10b + c = 0 ;\Rightarrow; -8a + 10b + c = -41. \quad (1)$
• $N(2;;-1)$: $4 + 1 – 4a + 2b + c = 0 ;\Rightarrow; -4a + 2b + c = -5. \quad (2)$
• $P(3;;-8)$: $9 + 64 – 6a + 16b + c = 0 ;\Rightarrow; -6a + 16b + c = -73. \quad (3)$

Giải hệ:

Lấy $(2) – (1)$: $4a – 8b = 36 ;\Leftrightarrow; a – 2b = 9. \quad (i)$

Lấy $(3) – (1)$: $2a + 6b = -32 ;\Leftrightarrow; a + 3b = -16. \quad (ii)$

Lấy $(ii) – (i)$: $5b = -25 ;\Rightarrow; b = -5$. Thay vào $(i)$: $a = 9 + 2(-5) = -1$.

Thay vào $(2)$: $-4(-1) + 2(-5) + c = -5 ;\Rightarrow; 4 – 10 + c = -5 ;\Rightarrow; c = 1$.

Kiểm tra điều kiện: $a^2 + b^2 – c = 1 + 25 – 1 = 25 > 0$ ✓.

Phương trình $(C)$:

$$x^2 + y^2 + 2x + 10y + 1 = 0 \quad \text{hay} \quad (x + 1)^2 + (y + 5)^2 = 25.$$

Đường tròn có tâm $I(-1;;-5)$ và bán kính $R = 5$.

Vận dụng 1 (trang 45)

Đề bài: Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H.7.15a) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục để tổng chu vi của ba bể là $32$ m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy $\pi = 3{,}14$, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.

Hướng dẫn (theo SGK): Gọi $x, y$ (m) lần lượt là bán kính bể hình tròn và bể nửa hình tròn. Khi đó:

• Tổng chu vi: $1{,}57x + 2{,}57y – 8 = 0$.
• Tổng diện tích $S$: $x^2 + y^2 = \dfrac{S}{3{,}14}$.

Lời giải:

Phân tích bài toán:

• Xét đường tròn $(C): x^2 + y^2 = \dfrac{S}{3{,}14}$ có tâm $O(0;;0)$, bán kính $R = \sqrt{\dfrac{S}{3{,}14}}$.
• Xét đường thẳng $\Delta: 1{,}57x + 2{,}57y – 8 = 0$.

Điểm $(x;;y)$ với $x, y > 0$ thoả ràng buộc và nằm trên cả hai $(C)$, $\Delta$. Bài toán quy về: tìm $R$ nhỏ nhất để $(C)$ và $\Delta$ có điểm chung (với hoành độ và tung độ đều dương).

Bước 1: Tính $R$ nhỏ nhất.

$(C)$ và $\Delta$ có điểm chung $\Leftrightarrow d(O, \Delta) \leq R$. Vậy $R$ nhỏ nhất là $R_{\min} = d(O, \Delta)$.

$$d(O,;\Delta) = \dfrac{|1{,}57 \cdot 0 + 2{,}57 \cdot 0 – 8|}{\sqrt{1{,}57^2 + 2{,}57^2}} = \dfrac{8}{\sqrt{2{,}4649 + 6{,}6049}} = \dfrac{8}{\sqrt{9{,}0698}} \approx \dfrac{8}{3{,}0116} \approx 2{,}66.$$

Khi đó tổng diện tích nhỏ nhất:

$$S_{\min} = 3{,}14 \cdot R_{\min}^2 \approx 3{,}14 \cdot 7{,}0564 \approx 22{,}16 \text{ (m}^2\text{).}$$

Bước 2: Tìm $x, y$ tại điểm tiếp xúc.

Khi $(C)$ tiếp xúc $\Delta$, tiếp điểm $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ xuống $\Delta$.

$H$ nằm trên đường thẳng qua $O$ có vectơ chỉ phương cùng phương với pháp tuyến $(1{,}57;;2{,}57)$, tham số hoá: $x = 1{,}57t,; y = 2{,}57t$.

Thay vào $\Delta$:

$$1{,}57 \cdot 1{,}57t + 2{,}57 \cdot 2{,}57t = 8 ;\Leftrightarrow; 9{,}0698 \cdot t = 8 ;\Leftrightarrow; t \approx 0{,}8821.$$

Suy ra: $x \approx 1{,}57 \cdot 0{,}8821 \approx 1{,}38$ và $y \approx 2{,}57 \cdot 0{,}8821 \approx 2{,}27$.

Kết luận: Để tổng diện tích các bể nhỏ nhất:

• Bán kính bể hình tròn $x \approx 1{,}38$ m.
• Bán kính bể nửa hình tròn $y \approx 2{,}27$ m.
• Khi đó tổng diện tích chiếm hồ bơi nhỏ nhất khoảng $22{,}16$ m².

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

HĐ2 (trang 46)

Đề bài: Cho đường tròn $(C): (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25$ và điểm $M(4;;-2)$.

a) Chứng minh điểm $M(4;;-2)$ thuộc đường tròn $(C)$.

b) Xác định tâm và bán kính của $(C)$.

c) Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ (H.7.16). Từ đó, viết phương trình đường thẳng $\Delta$.

Lời giải:

a) Thay $M(4;;-2)$ vào vế trái:

$$(4 – 1)^2 + (-2 – 2)^2 = 9 + 16 = 25.$$

Bằng vế phải, nên $M$ thuộc $(C)$. ✓

b) So sánh với dạng $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$: tâm $I(1;;2)$, bán kính $R = 5$.

c) Tiếp tuyến $\Delta$ tại $M$ vuông góc với bán kính $IM$ tại điểm tiếp xúc. Do đó $\Delta$ nhận $\overrightarrow{IM}$ làm vectơ pháp tuyến.

$$\overrightarrow{IM} = (4 – 1;; -2 – 2) = (3;;-4).$$

Phương trình tiếp tuyến qua $M(4;;-2)$, pháp tuyến $(3;;-4)$:

$$3(x – 4) – 4(y – (-2)) = 0 ;\Leftrightarrow; 3x – 4y – 20 = 0.$$

Luyện tập 4 (trang 46)

Đề bài: Cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0$. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của $(C)$ tại điểm $N(1;;0)$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định tâm và bán kính.

So sánh với $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$: $-2a = -2 \Rightarrow a = 1$; $-2b = 4 \Rightarrow b = -2$; $c = 1$.

Tâm $I(1;;-2)$, $R^2 = 1 + 4 – 1 = 4$, $R = 2$.

Bước 2: Kiểm tra $N$ thuộc $(C)$: $(1-1)^2 + (0-(-2))^2 = 0 + 4 = 4 = R^2$ ✓.

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến.

Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IN} = (1 – 1;; 0 – (-2)) = (0;;2)$ hoặc rút gọn $(0;;1)$.

Phương trình tiếp tuyến qua $N(1;;0)$:

$$0 \cdot (x – 1) + 1 \cdot (y – 0) = 0 ;\Leftrightarrow; y = 0.$$

Vận dụng 2 (trang 46)

Đề bài: Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, một vật chuyển động nhanh trên đường tròn có phương trình $x^2 + y^2 = 25$. Khi tới vị trí $M(3;;4)$ thì vật bị văng khỏi quỹ đạo tròn và ngay sau đó, trong một khoảng thời gian ngắn bay theo hướng tiếp tuyến của đường tròn. Hỏi trong khoảng thời gian ngắn ngay sau khi văng, vật chuyển động trên đường thẳng nào?

Lời giải:

Đường tròn $(C): x^2 + y^2 = 25$ có tâm $O(0;;0)$, $R = 5$.

Kiểm tra $M(3;;4) \in (C)$: $9 + 16 = 25$ ✓.

Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{OM} = (3;;4)$.

Phương trình tiếp tuyến:

$$3(x – 3) + 4(y – 4) = 0 ;\Leftrightarrow; 3x + 4y – 25 = 0.$$

Vậy ngay sau khi văng, vật chuyển động trên đường thẳng $3x + 4y – 25 = 0$.

Bài tập (trang 46 – 47)

Bài 7.13 (trang 46)

Đề bài: Tìm tâm và tính bán kính của đường tròn $(x + 3)^2 + (y – 3)^2 = 36$.

Lời giải:

Viết lại: $(x – (-3))^2 + (y – 3)^2 = 6^2$.

• Tâm: $I(-3;;3)$.
• Bán kính: $R = 6$.

Bài 7.14 (trang 47)

Đề bài: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng:

a) $x^2 + y^2 + xy + 4x – 2 = 0$;

b) $x^2 + y^2 – 2x – 4y + 5 = 0$;

c) $x^2 + y^2 + 6x – 8y + 1 = 0$.

Lời giải:

a) Phương trình có số hạng $xy$, không thuộc dạng $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$ → không phải phương trình đường tròn.

b) $-2a = -2 \Rightarrow a = 1$; $-2b = -4 \Rightarrow b = 2$; $c = 5$.

Kiểm tra: $a^2 + b^2 – c = 1 + 4 – 5 = 0$. Không thoả $> 0$ → không phải phương trình đường tròn (chỉ là một điểm).

c) $-2a = 6 \Rightarrow a = -3$; $-2b = -8 \Rightarrow b = 4$; $c = 1$.

Kiểm tra: $a^2 + b^2 – c = 9 + 16 – 1 = 24 > 0$ → là phương trình đường tròn.

• Tâm: $I(-3;;4)$.
• Bán kính: $R = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

Bài 7.15 (trang 47)

Đề bài: Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm $I(-2;;5)$ và bán kính $R = 7$;

b) Có tâm $I(1;;-2)$ và đi qua điểm $A(-2;;2)$;

c) Có đường kính $AB$, với $A(-1;;-3)$, $B(-3;;5)$;

d) Có tâm $I(1;;3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $x + 2y + 3 = 0$.

Lời giải:

a) Áp dụng trực tiếp:

$$(x + 2)^2 + (y – 5)^2 = 49.$$

b) Đường tròn đi qua $A$ nên $R = IA$:

$$IA = \sqrt{(-2 – 1)^2 + (2 – (-2))^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.$$

Phương trình:

$$(x – 1)^2 + (y + 2)^2 = 25.$$

c) Tâm $I$ là trung điểm $AB$:

$$I\left(\dfrac{-1 + (-3)}{2};; \dfrac{-3 + 5}{2}\right) = (-2;;1).$$

Bán kính $R = \dfrac{AB}{2}$. Tính $AB$:

$$AB = \sqrt{(-3-(-1))^2 + (5-(-3))^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}.$$

Suy ra $R = \sqrt{17}$, $R^2 = 17$.

Phương trình:

$$(x + 2)^2 + (y – 1)^2 = 17.$$

d) Đường tròn tiếp xúc với $\Delta: x + 2y + 3 = 0$ nên $R = d(I, \Delta)$:

$$R = \dfrac{|1 + 2 \cdot 3 + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}.$$

Suy ra $R^2 = 20$.

Phương trình:

$$(x – 1)^2 + (y – 3)^2 = 20.$$

Bài 7.16 (trang 47)

Đề bài: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$ với $A(6;;-2)$, $B(4;;2)$, $C(5;;-5)$. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Lời giải:

Giả sử đường tròn ngoại tiếp có phương trình $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$.

Thay toạ độ ba điểm:

• $A(6;;-2)$: $36 + 4 – 12a + 4b + c = 0 ;\Rightarrow; -12a + 4b + c = -40. \quad (1)$
• $B(4;;2)$: $16 + 4 – 8a – 4b + c = 0 ;\Rightarrow; -8a – 4b + c = -20. \quad (2)$
• $C(5;;-5)$: $25 + 25 – 10a + 10b + c = 0 ;\Rightarrow; -10a + 10b + c = -50. \quad (3)$

Giải hệ:

$(1) – (2)$: $-4a + 8b = -20 ;\Leftrightarrow; -a + 2b = -5. \quad (i)$

$(1) – (3)$: $-2a – 6b = 10 ;\Leftrightarrow; a + 3b = -5. \quad (ii)$

Cộng $(i) + (ii)$: $5b = -10 ;\Rightarrow; b = -2$. Thay vào $(ii)$: $a = -5 + 6 = 1$.

Thay vào $(2)$: $-8(1) – 4(-2) + c = -20 ;\Rightarrow; c = -20$.

Kiểm tra: $a^2 + b^2 – c = 1 + 4 + 20 = 25 > 0$ ✓, $R = 5$.

Phương trình đường tròn ngoại tiếp:

$$(x – 1)^2 + (y + 2)^2 = 25 \quad \text{hay} \quad x^2 + y^2 – 2x + 4y – 20 = 0.$$

Bài 7.17 (trang 47)

Đề bài: Cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 + 2x – 4y + 4 = 0$. Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại điểm $M(0;;2)$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định tâm và bán kính.

$-2a = 2 \Rightarrow a = -1$; $-2b = -4 \Rightarrow b = 2$; $c = 4$.

Tâm $I(-1;;2)$, $R^2 = 1 + 4 – 4 = 1$, $R = 1$.

Bước 2: Kiểm tra $M$ thuộc $(C)$: $(0+1)^2 + (2-2)^2 = 1 + 0 = 1 = R^2$ ✓.

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến.

$\overrightarrow{IM} = (0 – (-1);; 2 – 2) = (1;;0)$.

Phương trình tiếp tuyến qua $M(0;;2)$, pháp tuyến $(1;;0)$:

$$1 \cdot (x – 0) + 0 \cdot (y – 2) = 0 ;\Leftrightarrow; x = 0.$$

Bài 7.18 (trang 47)

Đề bài: Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian $180$ phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm $t$ ($0 \leq t \leq 180$) vật thể ở vị trí có toạ độ $(2 + \sin t^\circ;; 4 + \cos t^\circ)$.

a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Lời giải:

a) Vị trí ban đầu và kết thúc:

Tại $t = 0$: $\sin 0^\circ = 0$, $\cos 0^\circ = 1$. Vị trí: $(2 + 0;; 4 + 1) = (2;;5)$.

Tại $t = 180$: $\sin 180^\circ = 0$, $\cos 180^\circ = -1$. Vị trí: $(2 + 0;; 4 – 1) = (2;;3)$.

Vị trí ban đầu: $(2;;5)$; vị trí kết thúc: $(2;;3)$.

b) Quỹ đạo chuyển động:

Đặt $x = 2 + \sin t^\circ$ và $y = 4 + \cos t^\circ$. Suy ra:

$$x – 2 = \sin t^\circ; \quad y – 4 = \cos t^\circ.$$

Áp dụng hằng đẳng thức $\sin^2 t^\circ + \cos^2 t^\circ = 1$:

$$(x – 2)^2 + (y – 4)^2 = 1.$$

Đây là phương trình đường tròn tâm $(2;;4)$, bán kính $R = 1$.

Tuy nhiên $t$ chỉ chạy từ $0$ đến $180$, lúc đó $\sin t^\circ \geq 0$ tức $x – 2 \geq 0$, tức $x \geq 2$.

Quỹ đạo là nửa đường tròn tâm $(2;;4)$, bán kính $1$, gồm các điểm có hoành độ $x \geq 2$ (nửa bên phải đường tròn). Vật đi từ điểm $(2;;5)$ qua $(3;;4)$ (khi $t = 90$) đến $(2;;3)$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh