Mở đầu trang 77

Đề bài: Khi tham gia trò chơi bốc thăm trúng thưởng, mỗi người chơi chọn một bộ $6$ số đôi một khác nhau từ $45$ số: $1; 2; 3; \ldots; 45$. Chẳng hạn bạn An chọn bộ số ${5; 13; 20; 31; 32; 35}$. Người quản trò bốc ngẫu nhiên $6$ quả bóng (không hoàn lại) từ một thùng kín đựng $45$ quả bóng đánh số $1$ đến $45$. Nếu bộ $6$ số của người chơi trùng với bộ số trúng thưởng thì trúng giải độc đắc; nếu trùng $5$ số thì trúng giải nhất. Tính xác suất bạn An trúng giải độc đắc, giải nhất khi chơi.

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta sẽ trả lời được câu hỏi trên bằng định nghĩa cổ điển của xác suất (chi tiết sẽ được trình bày ở Ví dụ 2 trong bài, mô tả tập $F$ – “trúng độc đắc” và tập $G$ – “trúng giải nhất”; xác suất cụ thể sẽ học ở các bài sau).

1. Biến cố

HĐ1 (trang 78)

Đề bài: Trở lại Ví dụ 1 (một tổ trong lớp 10A có ba học sinh nữ là Hương, Hồng, Dung và bốn học sinh nam là Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến; chọn ngẫu nhiên một học sinh để kiểm tra vở bài tập), xét hai biến cố sau:

$A$: “Học sinh được chọn là một bạn nữ”;

$B$: “Học sinh được chọn có tên bắt đầu bằng chữ H”.

Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố $A,; B$.

Lời giải:

Không gian mẫu của phép thử là tập tất cả $7$ học sinh trong tổ:

$$\Omega = {\text{Hương; Hồng; Dung; Sơn; Tùng; Hoàng; Tiến}}.$$

Biến cố $A$ – “học sinh nữ”: liệt kê các bạn nữ trong tổ.

$$A = {\text{Hương; Hồng; Dung}}.$$

Biến cố $B$ – “tên bắt đầu bằng chữ H”: liệt kê những bạn có tên bắt đầu bằng H.

$$B = {\text{Hương; Hồng; Hoàng}}.$$

Luyện tập 1 (trang 79)

Đề bài: Phần thưởng trong một chương trình khuyến mãi của một siêu thị là: ti vi, bàn ghế, tủ lạnh, máy tính, bếp từ, bộ bát đĩa. Ông Dũng tham gia chương trình được chọn ngẫu nhiên một mặt hàng.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi $D$ là biến cố: “Ông Dũng chọn được mặt hàng là đồ điện”. Hỏi $D$ là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải:

a) Không gian mẫu là tập tất cả các mặt hàng có thể được chọn:

$$\Omega = {\text{ti vi; bàn ghế; tủ lạnh; máy tính; bếp từ; bộ bát đĩa}}.$$

b) Trong các mặt hàng trên, các mặt hàng là đồ điện là: ti vi, tủ lạnh, máy tính, bếp từ (bàn ghế và bộ bát đĩa không phải đồ điện). Vậy:

$$D = {\text{ti vi; tủ lạnh; máy tính; bếp từ}}.$$

HĐ2 (trang 79)

Đề bài: Trở lại Ví dụ 1, hãy cho biết khi nào biến cố $C$: “Học sinh được chọn là một bạn nam” xảy ra.

Lời giải:

Biến cố $C$ xảy ra khi học sinh được chọn là nam, tức là không phải học sinh nữ. Mà “học sinh nữ được chọn” chính là biến cố $A$ ở HĐ1.

Vậy $C$ xảy ra khi và chỉ khi $A$ không xảy ra. Ta nói $C$ là biến cố đối của $A$, kí hiệu $C = \overline{A}$.

Cụ thể: $C = \overline{A} = {\text{Sơn; Tùng; Hoàng; Tiến}}$.

Luyện tập 2 (trang 79)

Đề bài: Gieo một con xúc xắc. Gọi $K$ là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số nguyên tố”.

a) Biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một hợp số” có là biến cố $\overline{K}$ không?

b) Các biến cố $K$ và $\overline{K}$ là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải:

Không gian mẫu khi gieo xúc xắc: $\Omega = {1;; 2;; 3;; 4;; 5;; 6}$.

a) Liệt kê các số trên xúc xắc:

• Số nguyên tố: $2,; 3,; 5$.
• Hợp số: $4,; 6$.
• Còn lại: $1$ (không phải số nguyên tố cũng không phải hợp số).

Biến cố đối $\overline{K}$ là “số xuất hiện không phải số nguyên tố”, tức gồm ${1,; 4,; 6}$.

Trong khi đó, biến cố “số chấm là hợp số” chỉ gồm ${4,; 6}$.

Hai tập này khác nhau (tập sau thiếu phần tử $1$). Vậy biến cố “số chấm là hợp số” không phải là biến cố $\overline{K}$.

b) Liệt kê hai biến cố:

$$K = {2;; 3;; 5} \subset \Omega; \quad \overline{K} = {1;; 4;; 6} \subset \Omega.$$

2. Định nghĩa cổ điển của xác suất

HĐ3 (trang 80)

Đề bài: Một hộp chứa $12$ tấm thẻ được đánh số $1;; 2;; 3;; \ldots;; 12$. Rút ngẫu nhiên từ hộp đó một tấm thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu $\Omega$. Các kết quả có thể có đồng khả năng không?

b) Xét biến cố $E$: “Rút được thẻ ghi số nguyên tố”. Biến cố $E$ là tập con nào của không gian mẫu?

c) Phép thử có bao nhiêu kết quả có thể? Biến cố $E$ có bao nhiêu kết quả thuận lợi? Từ đó hãy tính xác suất của biến cố $E$.

Lời giải:

a) Không gian mẫu là tập số được đánh trên các thẻ:

$$\Omega = {1;; 2;; 3;; 4;; 5;; 6;; 7;; 8;; 9;; 10;; 11;; 12}.$$

Vì rút ngẫu nhiên và các thẻ giống hệt nhau (chỉ khác số ghi trên), nên mỗi thẻ có cùng khả năng được rút. Các kết quả là đồng khả năng.

b) Trong các số từ $1$ đến $12$, các số nguyên tố là: $2,; 3,; 5,; 7,; 11$. Vậy:

$$E = {2;; 3;; 5;; 7;; 11}.$$

c) Đếm phần tử:

• Số kết quả có thể: $n(\Omega) = 12$.
• Số kết quả thuận lợi cho $E$: $n(E) = 5$.

Áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất:

$$P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)} = \dfrac{5}{12}.$$

Câu hỏi (trang 80)

Đề bài: Từ định nghĩa cổ điển của xác suất, hãy chứng minh các nhận xét sau:

• Với mỗi biến cố $E$, ta có $0 \leq P(E) \leq 1$.
• Với biến cố chắc chắn (là tập $\Omega$), ta có $P(\Omega) = 1$.
• Với biến cố không thể (là tập $\varnothing$), ta có $P(\varnothing) = 0$.

Lời giải:

Nhắc lại định nghĩa: $P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$, với $E \subset \Omega$.

Chứng minh $0 \leq P(E) \leq 1$:

Vì $E$ là tập con của $\Omega$ nên $0 \leq n(E) \leq n(\Omega)$. Chia cả ba vế cho $n(\Omega) > 0$:

$$\dfrac{0}{n(\Omega)} \leq \dfrac{n(E)}{n(\Omega)} \leq \dfrac{n(\Omega)}{n(\Omega)} ;\Leftrightarrow; 0 \leq P(E) \leq 1.$$

Chứng minh $P(\Omega) = 1$: Khi $E = \Omega$ thì $n(E) = n(\Omega)$, nên:

$$P(\Omega) = \dfrac{n(\Omega)}{n(\Omega)} = 1.$$

Chứng minh $P(\varnothing) = 0$: Tập rỗng không có phần tử nào, nên $n(\varnothing) = 0$:

$$P(\varnothing) = \dfrac{0}{n(\Omega)} = 0.$$

Luyện tập 3 (trang 81)

Đề bài: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng $4$ hoặc bằng $6$.

Lời giải:

Bước 1: Mô tả không gian mẫu.

Mỗi kết quả là một cặp $(a;; b)$ với $a$ là số chấm trên con thứ nhất, $b$ là số chấm trên con thứ hai, và $a,; b \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$. Số kết quả có thể:

$$n(\Omega) = 6 \times 6 = 36.$$

Vì hai xúc xắc cân đối, các kết quả là đồng khả năng.

Bước 2: Liệt kê biến cố $F$ – “tổng bằng 4 hoặc bằng 6”.

Tổng bằng $4$: $(1;3),; (2;2),; (3;1)$ – có $3$ kết quả.

Tổng bằng $6$: $(1;5),; (2;4),; (3;3),; (4;2),; (5;1)$ – có $5$ kết quả.

(Hai trường hợp này không trùng nhau – cùng một cặp không thể vừa có tổng $4$ vừa có tổng $6$.)

Tổng số kết quả thuận lợi: $n(F) = 3 + 5 = 8$.

Bước 3: Tính xác suất.

$$P(F) = \dfrac{n(F)}{n(\Omega)} = \dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9}.$$

3. Nguyên lí xác suất bé

Vận dụng (trang 82)

Đề bài: Xác suất của biến cố có ý nghĩa thực tế như sau: Giả sử biến cố $A$ có xác suất $P(A)$. Khi thực hiện phép thử $n$ lần ($n \geq 30$) thì số lần xuất hiện biến cố $A$ sẽ xấp xỉ bằng $n \cdot P(A)$.

Giả thiết rằng xác suất sinh con trai là $0{,}512$ và xác suất sinh con gái là $0{,}488$. Vận dụng ý nghĩa thực tế của xác suất, hãy ước tính trong số trẻ mới sinh với $10\,000$ bé gái thì có bao nhiêu bé trai.

Lời giải:

Gọi $n$ là tổng số trẻ mới sinh. Coi mỗi lần sinh là một phép thử và xét biến cố $A$: “sinh con gái”. Theo giả thiết:

$$P(A) = 0{,}488.$$

Theo ý nghĩa thực tế của xác suất (do $n$ lớn, $\geq 30$), số bé gái trong $n$ lần sinh xấp xỉ:

$$\text{số bé gái} \approx n \cdot P(A) = 0{,}488 \cdot n.$$

Đề bài cho số bé gái là $10\,000$, ta có:

$$0{,}488 \cdot n \approx 10\,000 ;\Leftrightarrow; n \approx \dfrac{10\,000}{0{,}488} \approx 20\,491{,}8.$$

Vậy tổng số trẻ mới sinh xấp xỉ $20\,492$. Số bé trai là:

$$\text{số bé trai} = n – 10\,000 \approx 20\,492 – 10\,000 = 10\,492 \text{ (bé).}$$

Kết luận: Ước tính có khoảng $10\,492$ bé trai.

Bài tập (trang 82)

Bài 9.1 (trang 82)

Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn $30$.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi $A$ là biến cố: “Số được chọn là số nguyên tố”. Các biến cố $A$ và $\overline{A}$ là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải:

a) $\Omega = {1;; 2;; 3;; \ldots;; 30}$, có $n(\Omega) = 30$.

b) Liệt kê các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $30$ (số tự nhiên lớn hơn $1$, chỉ chia hết cho $1$ và chính nó):

$$A = {2;; 3;; 5;; 7;; 11;; 13;; 17;; 19;; 23;; 29}.$$

$\overline{A}$ là tập gồm các số trong $\Omega$ nhưng không thuộc $A$:

$$\overline{A} = {1;; 4;; 6;; 8;; 9;; 10;; 12;; 14;; 15;; 16;; 18;; 20;; 21;; 22;; 24;; 25;; 26;; 27;; 28;; 30}.$$

Bài 9.2 (trang 82)

Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn $22$.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi $B$ là biến cố: “Số được chọn chia hết cho $3$”. Các biến cố $B$ và $\overline{B}$ là các tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải:

a) $\Omega = {1;; 2;; 3;; \ldots;; 22}$.

b) Các số chia hết cho $3$ trong $\Omega$ là $3,; 6,; 9,; 12,; 15,; 18,; 21$:

$$B = {3;; 6;; 9;; 12;; 15;; 18;; 21}.$$

$\overline{B}$ là tập các số không chia hết cho $3$:

$$\overline{B} = {1;; 2;; 4;; 5;; 7;; 8;; 10;; 11;; 13;; 14;; 16;; 17;; 19;; 20;; 22}.$$

Bài 9.3 (trang 82)

Đề bài: Gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xét các biến cố sau:

$C$: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”;

$D$: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là $5$”.

Các biến cố $C,; \overline{C},; D,; \overline{D}$ là các tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải:

a) Kí hiệu $S$ = mặt sấp, $N$ = mặt ngửa. Mỗi kết quả là một cặp (mặt đồng xu, số chấm xúc xắc). Liệt kê:

$$\Omega = {(S;1);; (S;2);; (S;3);; (S;4);; (S;5);; (S;6);; (N;1);; (N;2);; (N;3);; (N;4);; (N;5);; (N;6)}.$$

$n(\Omega) = 12$.

b) Mô tả từng biến cố:

Biến cố $C$ – “đồng xu sấp”: chỉ chọn các cặp có mặt $S$.

$$C = {(S;1);; (S;2);; (S;3);; (S;4);; (S;5);; (S;6)}.$$

Biến cố $\overline{C}$ – “đồng xu không sấp” (tức ngửa):

$$\overline{C} = {(N;1);; (N;2);; (N;3);; (N;4);; (N;5);; (N;6)}.$$

Biến cố $D$ – “đồng xu ngửa hoặc xúc xắc bằng $5$”: gồm tất cả $6$ cặp có mặt $N$, cộng thêm cặp $(S;5)$ (vì xúc xắc là $5$).

$$D = {(S;5);; (N;1);; (N;2);; (N;3);; (N;4);; (N;5);; (N;6)}.$$

Biến cố $\overline{D}$ – “đồng xu không ngửa và xúc xắc khác $5$”: tức đồng xu sấp và xúc xắc thuộc ${1, 2, 3, 4, 6}$.

$$\overline{D} = {(S;1);; (S;2);; (S;3);; (S;4);; (S;6)}.$$

Bài 9.4 (trang 82)

Đề bài: Một túi có chứa một số bi xanh, bi đỏ, bi đen và bi trắng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ trong túi.

a) Gọi $H$ là biến cố: “Bi lấy ra có màu đỏ”. Biến cố: “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu đen hoặc trắng” có phải là biến cố $\overline{H}$ hay không?

b) Gọi $K$ là biến cố: “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu trắng”. Biến cố: “Bi lấy ra màu đen” có phải là biến cố $\overline{K}$ hay không?

Lời giải:

Nhớ lại: $\overline{E}$ là biến cố “$E$ không xảy ra”, tức gồm các kết quả không thuộc $E$.

a) Biến cố $H$ = “bi đỏ”. Biến cố đối $\overline{H}$ = “bi không đỏ” = “bi xanh hoặc đen hoặc trắng”.

Đây chính là biến cố cho trong đề. Vậy: Có, biến cố “Bi lấy ra có màu xanh hoặc đen hoặc trắng” chính là $\overline{H}$.

b) Biến cố $K$ = “bi xanh hoặc bi trắng”. Biến cố đối $\overline{K}$ = “$K$ không xảy ra” = “bi không phải xanh và không phải trắng” = “bi đỏ hoặc đen”.

Trong khi đó, biến cố “Bi lấy ra màu đen” chỉ gồm bi đen, không chứa bi đỏ.

Vậy: Không, biến cố “Bi lấy ra màu đen” không phải là $\overline{K}$ (vì còn thiếu trường hợp bi đỏ).

Bài 9.5 (trang 82)

Đề bài: Hai bạn An và Bình mỗi người gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để:

a) Số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc bé hơn $3$;

b) Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc mà An gieo lớn hơn hoặc bằng $5$;

c) Tích hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn $6$;

d) Tổng hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số nguyên tố.

Lời giải:

Gọi $a$ là số chấm con của An, $b$ là số chấm con của Bình; $a,; b \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$. Mỗi kết quả là một cặp $(a;; b)$.

$$n(\Omega) = 6 \times 6 = 36.$$

Vì xúc xắc cân đối, các kết quả là đồng khả năng.

a) “Mỗi con bé hơn 3”: tức $a < 3$ và $b < 3$, nghĩa là $a \in {1; 2}$ và $b \in {1; 2}$.

Số cặp: $2 \times 2 = 4$ (gồm $(1;1), (1;2), (2;1), (2;2)$).

$$P = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}.$$

b) “Con của An $\geq 5$”: tức $a \in {5; 6}$, $b$ tuỳ ý ($6$ giá trị).

Số cặp: $2 \times 6 = 12$.

$$P = \dfrac{12}{36} = \dfrac{1}{3}.$$

c) “Tích $a \cdot b < 6$”: Liệt kê các cặp thoả mãn:

• $a = 1$: $b \in {1, 2, 3, 4, 5}$ (vì $1 \cdot 5 = 5 < 6$, nhưng $1 \cdot 6 = 6$ không thoả) → $5$ cặp.
• $a = 2$: $b \in {1, 2}$ (vì $2 \cdot 2 = 4 < 6$, nhưng $2 \cdot 3 = 6$ không thoả) → $2$ cặp.
• $a = 3$: $b = 1$ (vì $3 \cdot 1 = 3 < 6$, nhưng $3 \cdot 2 = 6$ không thoả) → $1$ cặp.
• $a = 4$: $b = 1$ (vì $4 \cdot 1 = 4 < 6$, nhưng $4 \cdot 2 = 8$ không thoả) → $1$ cặp.
• $a = 5$: $b = 1$ (vì $5 \cdot 1 = 5 < 6$, nhưng $5 \cdot 2 = 10$ không thoả) → $1$ cặp.
• $a = 6$: không có $b$ nào (vì $6 \cdot 1 = 6$ đã không thoả) → $0$ cặp.

Tổng: $5 + 2 + 1 + 1 + 1 + 0 = 10$ cặp.

$$P = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}.$$

d) “Tổng $a + b$ là số nguyên tố”: Tổng $a + b$ nhận giá trị từ $2$ đến $12$. Các số nguyên tố trong khoảng đó: $2,; 3,; 5,; 7,; 11$.

Đếm các cặp $(a, b)$ ứng với mỗi tổng:

• Tổng $= 2$: $(1;1)$ → $1$ cặp.
• Tổng $= 3$: $(1;2), (2;1)$ → $2$ cặp.
• Tổng $= 5$: $(1;4), (2;3), (3;2), (4;1)$ → $4$ cặp.
• Tổng $= 7$: $(1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1)$ → $6$ cặp.
• Tổng $= 11$: $(5;6), (6;5)$ → $2$ cặp.

Tổng: $1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ cặp.

$$P = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}.$$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh