Trước khi đọc lời giải, các em nhớ lại:

• Câu hỏi, cảm thán, cầu khiến không phải mệnh đề.
• $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng mà $Q$ sai. “$P$ là điều kiện đủ để có $Q$” $\Leftrightarrow$ $P \Rightarrow Q$.
• Số tập con của tập có $n$ phần tử là $2^n$.
• $n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)$.

A – Trắc nghiệm

Bài 1.17 (trang 20)

Đề bài: Câu nào sau đây không là mệnh đề?

A. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

B. $3 < 1$.

C. $4 – 5 = 1$.

D. Bạn học giỏi quá!

Lời giải:

Nhớ lại: mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hoặc sai. Câu cảm thán, câu hỏi, câu cầu khiến không phải mệnh đề.

• A. “Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau” → câu khẳng định, đúng → là mệnh đề.
• B. “$3 < 1$” → câu khẳng định, sai → là mệnh đề.
• C. “$4 – 5 = 1$” → câu khẳng định, sai (vì $4 – 5 = -1$) → là mệnh đề.
• D. “Bạn học giỏi quá!” → câu cảm thán → không là mệnh đề.

Đáp án: D.

Bài 1.18 (trang 20)

Đề bài: Cho định lí: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích của chúng bằng nhau.

B. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng có diện tích bằng nhau.

C. Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện đủ để chúng bằng nhau.

D. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau.

Lời giải:

Đặt:

• $P$: “Hai tam giác bằng nhau”.
• $Q$: “Diện tích của hai tam giác bằng nhau”.

Định lí có dạng $P \Rightarrow Q$ → “$P$ là điều kiện đủ để có $Q$” hoặc “$Q$ là điều kiện cần để có $P$”.

Xét từng đáp án:

• A. “$P$ là điều kiện cần để có $Q$” → sai (chiều bị đảo, đúng phải là điều kiện đủ).
• B. “$P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$” → sai (chiều đảo $Q \Rightarrow P$ không đúng: hai tam giác có cùng diện tích chưa chắc bằng nhau).
• C. “$Q$ là điều kiện đủ để có $P$” → sai (như giải thích ở câu B).
• D. “$P$ là điều kiện đủ để có $Q$” → đúng.

Đáp án: D.

Bài 1.19 (trang 20)

Đề bài: Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\forall x \in \mathbb{R},; x^2 > 1 \Rightarrow x > -1$.

B. $\forall x \in \mathbb{R},; x^2 > 1 \Rightarrow x > 1$.

C. $\forall x \in \mathbb{R},; x > -1 \Rightarrow x^2 > 1$.

D. $\forall x \in \mathbb{R},; x > 1 \Rightarrow x^2 > 1$.

Lời giải:

Cách làm: tìm phản ví dụ cho các đáp án sai.

• A. Chọn $x = -2$: $x^2 = 4 > 1$ (giả thiết đúng), nhưng $x = -2 < -1$ (kết luận sai). → sai.
• B. Chọn $x = -2$: $x^2 = 4 > 1$ (giả thiết đúng), nhưng $x = -2 < 1$ (kết luận sai). → sai.
• C. Chọn $x = 0$: $x > -1$ (giả thiết đúng), nhưng $x^2 = 0 < 1$ (kết luận sai). → sai.
• D. Nếu $x > 1$ thì cả hai vế của $x > 1$ đều dương, nhân hai vế của $x > 1$ với $x$ (dương) ta được $x^2 > x > 1$. → đúng.

Đáp án: D.

Bài 1.20 (trang 20)

Đề bài: Cho tập hợp $A = {a; b; c}$. Tập $A$ có tất cả bao nhiêu tập con?

A. $4$. B. $6$. C. $8$. D. $10$.

Lời giải:

Tập $A$ có $3$ phần tử. Số tập con của một tập có $n$ phần tử là $2^n$.

$$\text{Số tập con} = 2^3 = 8.$$

Liệt kê để kiểm tra:

• Tập rỗng: $\emptyset$.
• Tập có $1$ phần tử: ${a}, {b}, {c}$ ($3$ tập).
• Tập có $2$ phần tử: ${a; b}, {a; c}, {b; c}$ ($3$ tập).
• Tập có $3$ phần tử: ${a; b; c}$ ($1$ tập).

Tổng: $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ tập con.

Đáp án: C.

Bài 1.21 (trang 20)

Đề bài: Cho các tập hợp $A$, $B$ được minh hoạ bằng biểu đồ Ven như hình bên. Phần tô màu xám trong hình là biểu diễn của tập hợp nào sau đây?

A. $A \cap B$. B. $A \setminus B$. C. $A \cup B$. D. $B \setminus A$.

Lời giải:

Trong biểu đồ Ven, hai đường tròn $A$ và $B$ giao nhau. Phần tô màu xám nằm ở giữa, là phần chung của hai tập hợp, tức là gồm các phần tử thuộc đồng thời $A$ và $B$.

Đây chính là giao của $A$ và $B$, kí hiệu $A \cap B$.

Đáp án: A.

B – Tự luận

Bài 1.22 (trang 20)

Đề bài: Biểu diễn các tập hợp sau bằng biểu đồ Ven:

a) $A = {0; 1; 2; 3}$;

b) $B = {\text{Lan; Huệ; Trang}}$.

Lời giải:

Biểu đồ Ven của một tập hợp là một đường cong khép kín, bên trong ghi (hoặc vẽ chấm) các phần tử của tập hợp đó.

• a) Vẽ một đường cong khép kín có nhãn $A$, bên trong ghi bốn phần tử $0, 1, 2, 3$.
• b) Vẽ một đường cong khép kín có nhãn $B$, bên trong ghi ba tên: Lan, Huệ, Trang.

Bài 1.23 (trang 20)

Đề bài: Phần không bị gạch trên trục số dưới đây biểu diễn tập hợp số nào? (Trục số có hai mốc $-2$ và $5$, phần giữa hai mốc bị gạch chéo.)

Lời giải:

Quan sát trục số:

• Tại điểm $-2$: dấu ngoặc tròn “)” → đầu mút $-2$ không thuộc phần không bị gạch (tức là $-2$ thuộc phần bị gạch hoặc bị loại).
• Tại điểm $5$: dấu ngoặc vuông “[” → đầu mút $5$ thuộc phần không bị gạch (phía phải).
• Phần ở giữa (từ $-2$ đến $5$) bị gạch chéo.

Phần không bị gạch gồm hai phần ở hai bên:

• Phía trái: từ $-\infty$ đến $-2$ (không lấy $-2$), tức là $(-\infty; -2)$.
• Phía phải: từ $5$ trở đi (có lấy $5$), tức là $[5; +\infty)$.

Vậy phần không bị gạch biểu diễn tập hợp:

$$(-\infty; -2) \cup [5; +\infty).$$

Bài 1.24 (trang 21)

Đề bài: Cho $A = {x \in \mathbb{N} \mid x < 7}$; $B = {1; 2; 3; 6; 7; 8}$. Xác định các tập hợp sau:

$$A \cup B;; A \cap B;; A \setminus B.$$

Lời giải:

Liệt kê $A$: các số tự nhiên nhỏ hơn $7$:

$$A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.$$

$A \cup B$: gộp tất cả phần tử của $A$ và $B$ (mỗi phần tử chỉ ghi một lần):

$$A \cup B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.$$

$A \cap B$: các phần tử thuộc cả $A$ và $B$. So sánh hai tập:

• $1 \in A$ và $1 \in B$ ✓
• $2 \in A$ và $2 \in B$ ✓
• $3 \in A$ và $3 \in B$ ✓
• $6 \in A$ và $6 \in B$ ✓
• $7, 8 \in B$ nhưng $\notin A$ (vì $\geq 7$).
• $0, 4, 5 \in A$ nhưng $\notin B$.

$$A \cap B = {1; 2; 3; 6}.$$

$A \setminus B$: các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$:

$$A \setminus B = {0; 4; 5}.$$

Bài 1.25 (trang 21)

Đề bài: Cho hai tập hợp $A = [-2; 3]$ và $B = (1; +\infty)$. Xác định các tập hợp sau:

$$A \cap B;; B \setminus A;; C_{\mathbb{R}} B.$$

Lời giải:

$A \cap B$: $x$ thoả đồng thời $-2 \leq x \leq 3$ và $x > 1$.

Kết hợp: $1 < x \leq 3$.

$$A \cap B = (1; 3].$$

$B \setminus A$: $x$ thoả $x > 1$ nhưng không thuộc $[-2; 3]$. Tức $x > 1$ và ($x < -2$ hoặc $x > 3$).

Vì $x > 1$ nên không thể có $x < -2$. Còn lại $x > 3$.

$$B \setminus A = (3; +\infty).$$

$C_{\mathbb{R}} B$: phần bù của $B$ trong $\mathbb{R}$, gồm các số thực không thuộc $B$. Vì $B = (1; +\infty)$ là $x > 1$, nên phần bù là $x \leq 1$:

$$C_{\mathbb{R}} B = \mathbb{R} \setminus B = (-\infty; 1].$$

Bài 1.26 (trang 21)

Đề bài: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

a) $(-\infty; 1) \cap (0; +\infty)$;

b) $(4; 7] \cup (-1; 5)$;

c) $(4; 7] \setminus (-3; 5]$.

Lời giải:

a) Giao $(-\infty; 1) \cap (0; +\infty)$: $x$ thoả $x < 1$ và $x > 0$. Kết hợp: $0 < x < 1$.

$$(-\infty; 1) \cap (0; +\infty) = (0; 1).$$

b) Hợp $(4; 7] \cup (-1; 5)$:

• Khoảng $(-1; 5)$: $-1 < x < 5$.
• Khoảng $(4; 7]$: $4 < x \leq 7$.

Hai khoảng này chồng lên nhau ở phần $(4; 5)$, nên hợp lại được một khoảng liền mạch: từ $-1$ (không lấy) đến $7$ (có lấy):

$$(4; 7] \cup (-1; 5) = (-1; 7].$$

c) Hiệu $(4; 7] \setminus (-3; 5]$: lấy $x$ thuộc $(4; 7]$ rồi loại các $x$ thuộc $(-3; 5]$.

• Tập gốc: $4 < x \leq 7$.
• Loại các $x$ thoả $-3 < x \leq 5$, tức là loại $x \leq 5$.
• Còn lại: $x > 5$ và $x \leq 7$, tức $5 < x \leq 7$.

$$(4; 7] \setminus (-3; 5] = (5; 7].$$

Bài 1.27 (trang 21)

Đề bài: Một cuộc khảo sát về khách du lịch thăm vịnh Hạ Long cho thấy trong $1\,410$ khách du lịch được phỏng vấn có $789$ khách du lịch đến thăm động Thiên Cung, $690$ khách du lịch đến thăm đảo Ti Tốp. Toàn bộ khách được phỏng vấn đã đến ít nhất một trong hai địa điểm trên. Hỏi có bao nhiêu khách du lịch vừa đến thăm động Thiên Cung vừa đến thăm đảo Ti Tốp ở vịnh Hạ Long?

Lời giải:

Gọi:

• $A$ = tập hợp khách đã thăm động Thiên Cung, $n(A) = 789$.
• $B$ = tập hợp khách đã thăm đảo Ti Tốp, $n(B) = 690$.
• $n(A \cap B)$ = số khách đến cả hai địa điểm (cần tìm).

Vì toàn bộ $1\,410$ khách đã đến ít nhất một trong hai địa điểm, nên:

$$n(A \cup B) = 1\,410.$$

Áp dụng công thức:

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B).$$

Thay số:

$$1\,410 = 789 + 690 – n(A \cap B) ;\Leftrightarrow; 1\,410 = 1\,479 – n(A \cap B).$$

Suy ra:

$$n(A \cap B) = 1\,479 – 1\,410 = 69.$$

Vậy có $69$ khách du lịch vừa thăm động Thiên Cung vừa thăm đảo Ti Tốp.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh