Trước khi đọc lời giải, các em nhớ lại:

• Bpt bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by < c$ (hoặc $\leq, >, \geq$), với $x, y$ là hai ẩn bậc nhất ($a, b$ không đồng thời $= 0$).
• Bpt bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
• Miền nghiệm là một nửa mặt phẳng. Quy ước trong SGK: miền không bị gạch là miền nghiệm.
• GTLN (hoặc GTNN) của $F(x;y) = ax + by$ trên miền đa giác đạt được tại một đỉnh của đa giác đó.

A – Trắc nghiệm

Bài 2.7 (trang 31)

Đề bài: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $x + y > 3$. B. $x^2 + y^2 \leq 4$. C. $(x – y)(3x + y) \geq 1$. D. $y^3 – 2 \leq 0$.

Lời giải:

• A. $x + y > 3$: $x$ và $y$ đều bậc nhất → là bpt bậc nhất hai ẩn.
• B. $x^2 + y^2 \leq 4$: có $x^2$, $y^2$ → không phải.
• C. Khai triển $(x – y)(3x + y) = 3x^2 – 2xy – y^2$, có $x^2$, $y^2$ → không phải.
• D. $y^3 – 2 \leq 0$: có $y^3$ → không phải.

Đáp án: A.

Bài 2.8 (trang 31)

Đề bài: Cho bất phương trình $2x + y > 3$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

C. Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.

D. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $[3; +\infty)$.

Lời giải:

Theo lý thuyết: bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Có thể kiểm tra nhanh:

• $(x; y) = (2; 0)$: $2 \cdot 2 + 0 = 4 > 3$ ✓
• $(x; y) = (1; 2)$: $2 \cdot 1 + 2 = 4 > 3$ ✓
• $(x; y) = (0; 4)$: $0 + 4 = 4 > 3$ ✓ …

Có vô số cặp $(x; y)$ thoả → đáp án C.

(Đáp án D sai vì tập nghiệm của bpt bậc nhất hai ẩn là một miền trên mặt phẳng toạ độ, không phải một khoảng số thực.)

Đáp án: C.

Bài 2.9 (trang 31)

Đề bài: Hình nào sau đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x – y < 3$? (Quan sát 4 hình A, B, C, D.)

Lời giải:

Bất phương trình $x – y < 3$ có đường biên là $d: x – y = 3$, hay $y = x – 3$. Đường này:

• Cắt trục $Ox$ tại $(3; 0)$.
• Cắt trục $Oy$ tại $(0; -3)$.

Vì có dấu “$<$” nên $d$ được vẽ bằng nét đứt → loại các hình có đường cắt trục tại $(0; 3)$ thay vì $(0; -3)$ (tức là loại hình A và B, vì các hình này là đường $x + y = 3$).

Còn lại hai hình C và D. Để xác định, ta thử điểm $O(0; 0)$:

$$x – y = 0 – 0 = 0 < 3 \text{ (thoả mãn)}.$$

→ $O$ thuộc miền nghiệm. Miền nghiệm là miền không bị gạch chứa $O$ – đó chính là hình D (miền không gạch nằm ở phía trên – trái đường thẳng, chứa $O$).

Đáp án: D.

Bài 2.10 (trang 31)

Đề bài: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $\begin{cases} x – y < 0 \\ 2y \geq 0; \end{cases}$

B. $\begin{cases} 3x + y^3 < 0 \\ x + y > 3; \end{cases}$

C. $\begin{cases} x + 2y < 0 \\ y^2 + 3 < 0; \end{cases}$

D. $\begin{cases} -x^3 + y < 4 \\ x + 2y < 1. \end{cases}$

Lời giải:

Một hệ là hệ bpt bậc nhất hai ẩn khi mọi bpt trong hệ đều là bpt bậc nhất hai ẩn (không có $x^2, y^2, xy, x^3, \ldots$).

• A. $x – y < 0$ và $2y \geq 0$: cả hai đều bậc nhất → là hệ bpt bậc nhất hai ẩn.
• B. Có $y^3$ → loại.
• C. Có $y^2$ → loại.
• D. Có $x^3$ → loại.

Đáp án: A.

Bài 2.11 (trang 32)

Đề bài: Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x – y < -3 \\ 2y \geq -4. \end{cases}$ Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ?

A. $(0; 0)$. B. $(-2; 1)$. C. $(3; -1)$. D. $(-3; 1)$.

Lời giải:

Thay từng điểm vào hệ bpt:

• A. $(0; 0)$: $0 – 0 = 0 < -3$? Sai → loại.
• B. $(-2; 1)$: $-2 – 1 = -3 < -3$? Sai (vì $-3$ không nhỏ hơn $-3$) → loại.
• C. $(3; -1)$: $3 – (-1) = 4 < -3$? Sai → loại.
• D. $(-3; 1)$: $-3 – 1 = -4 < -3$? ✓; $2 \cdot 1 = 2 \geq -4$? ✓ → thoả cả hai.

Đáp án: D.

B – Tự luận

Bài 2.12 (trang 32)

Đề bài: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $\dfrac{x + y}{2} \geq \dfrac{2x – y + 1}{3}$ trên mặt phẳng toạ độ.

Lời giải:

Bước 1. Đưa bpt về dạng $ax + by \geq c$.

Quy đồng (nhân cả hai vế với $6$, mẫu dương nên giữ chiều bpt):

$$3(x + y) \geq 2(2x – y + 1)$$

$$3x + 3y \geq 4x – 2y + 2$$

$$3x + 3y – 4x + 2y \geq 2$$

$$-x + 5y \geq 2 \quad \text{(hay } x – 5y \leq -2\text{)}.$$

Bước 2. Vẽ đường thẳng $d: -x + 5y = 2$ (nét liền vì có dấu $\geq$).

Tìm hai điểm trên $d$:

• Cho $x = 0$: $5y = 2 \Rightarrow y = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$ → điểm $\left(0;; 0{,}4\right)$.
• Cho $y = 0$: $-x = 2 \Rightarrow x = -2$ → điểm $(-2; 0)$.

Bước 3. Thử $O(0; 0)$ không thuộc $d$:

$$-0 + 5 \cdot 0 = 0 \geq 2 \text{ ?} \quad \text{Sai.}$$

→ $O$ không thuộc miền nghiệm.

Kết luận: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ (kể cả bờ) không chứa gốc toạ độ $O$.

Bài 2.13 (trang 32)

Đề bài: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y < 1 \\ 2x – y \geq 3 \end{cases}$ trên mặt phẳng toạ độ.

Lời giải:

Bpt 1: $x + y < 1$.

• Đường $d_1: x + y = 1$ nét đứt (dấu $<$), qua $(1; 0)$ và $(0; 1)$.
• Thử $O(0; 0)$: $0 + 0 = 0 < 1$ ✓ → miền nghiệm chứa $O$.

Bpt 2: $2x – y \geq 3$.

• Đường $d_2: 2x – y = 3$ nét liền (dấu $\geq$), qua $\left(\dfrac{3}{2}; 0\right)$ và $(0; -3)$.
• Thử $O(0; 0)$: $2 \cdot 0 – 0 = 0 \geq 3$? Sai → miền nghiệm không chứa $O$.

Kết luận: Miền nghiệm của hệ là giao của hai miền – nằm phía dưới $d_1$ (không kể $d_1$) và phía dưới – phải $d_2$ (kể cả $d_2$).

Bài 2.14 (trang 32)

Đề bài: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} y – 2x \leq 2 \\ y \leq 4 \\ x \leq 5 \\ x + y \geq -1 \end{cases}$ trên mặt phẳng toạ độ. Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x; y) = -x – y$ với $(x; y)$ thoả mãn hệ trên.

Lời giải:

Bước 1. Vẽ và xác định các đường biên:

• $d_1: y – 2x = 2$ (qua $(0; 2)$ và $(-1; 0)$).
• $d_2: y = 4$ (đường ngang).
• $d_3: x = 5$ (đường đứng).
• $d_4: x + y = -1$ (qua $(-1; 0)$ và $(0; -1)$).

Bước 2. Tìm các đỉnh của miền nghiệm: Giải các cặp phương trình giao nhau và kiểm tra điểm nào thoả mãn cả hệ.

Giao $d_1$ và $d_4$: Từ $d_1$: $y = 2x + 2$. Thay vào $d_4$: $x + 2x + 2 = -1 \Rightarrow x = -1$, $y = 0$. → Đỉnh $A(-1; 0)$.

Giao $d_1$ và $d_2$: $y = 4$, thay vào: $4 – 2x = 2 \Rightarrow x = 1$. → Đỉnh $B(1; 4)$.

Giao $d_2$ và $d_3$: $y = 4$, $x = 5$. → Đỉnh $C(5; 4)$.

Giao $d_3$ và $d_4$: $x = 5$, $5 + y = -1 \Rightarrow y = -6$. → Đỉnh $D(5; -6)$.

Kiểm tra cả $4$ đỉnh đều thoả mãn hệ. Miền nghiệm là tứ giác $ABCD$ với $A(-1; 0)$, $B(1; 4)$, $C(5; 4)$, $D(5; -6)$.

Bước 3. Tính $F = -x – y$ tại mỗi đỉnh:

• $F(A) = F(-1; 0) = -(-1) – 0 = 1$.
• $F(B) = F(1; 4) = -1 – 4 = -5$.
• $F(C) = F(5; 4) = -5 – 4 = -9$.
• $F(D) = F(5; -6) = -5 – (-6) = 1$.

Kết luận:

• GTLN của $F = 1$, đạt tại $A(-1; 0)$ và $D(5; -6)$.
• GTNN của $F = -9$, đạt tại $C(5; 4)$.

Bài 2.15 (trang 32)

Đề bài: Bác An đầu tư $1{,}2$ tỉ đồng vào ba loại trái phiếu: trái phiếu chính phủ với lãi suất $7\%$ một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất $8\%$ một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất $12\%$ một năm. Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất $3$ lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng. Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá $200$ triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp. Hỏi bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu tiền để lợi nhuận thu được sau một năm là lớn nhất?

Lời giải:

Bước 1. Đặt ẩn và lập hệ bất phương trình.

Gọi $x$, $y$ (tỉ đồng) lần lượt là số tiền bác An đầu tư vào trái phiếu chính phủ và trái phiếu ngân hàng. Khi đó số tiền đầu tư vào trái phiếu doanh nghiệp là $1{,}2 – x – y$ (tỉ đồng).

Các điều kiện:

• $x \geq 0,; y \geq 0$.
• Số tiền trái phiếu doanh nghiệp không âm: $1{,}2 – x – y \geq 0 ;\Leftrightarrow; x + y \leq 1{,}2$.
• Trái phiếu chính phủ gấp ít nhất $3$ lần trái phiếu ngân hàng: $x \geq 3y$.
• Trái phiếu doanh nghiệp không quá $0{,}2$ tỉ: $1{,}2 – x – y \leq 0{,}2 ;\Leftrightarrow; x + y \geq 1$.

Hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 1{,}2 \\ x \geq 3y \\ x + y \geq 1. \end{cases}$$

Bước 2. Biểu diễn lợi nhuận.

Lợi nhuận sau $1$ năm:

$$F(x; y) = 0{,}07x + 0{,}08y + 0{,}12 \cdot (1{,}2 – x – y).$$

Khai triển:

$$F(x; y) = 0{,}07x + 0{,}08y + 0{,}144 – 0{,}12x – 0{,}12y$$

$$F(x; y) = 0{,}144 – 0{,}05x – 0{,}04y.$$

Bước 3. Tìm các đỉnh của miền nghiệm và GTLN.

Tìm các đỉnh (giao của các đường biên hoạt động):

• $x + y = 1$ và $x = 3y$: $3y + y = 1 \Rightarrow y = 0{,}25$, $x = 0{,}75$. → Đỉnh $A(0{,}75;; 0{,}25)$.
• $x + y = 1{,}2$ và $x = 3y$: $3y + y = 1{,}2 \Rightarrow y = 0{,}3$, $x = 0{,}9$. → Đỉnh $B(0{,}9;; 0{,}3)$.
• $x + y = 1{,}2$ và $y = 0$: $x = 1{,}2$. → Đỉnh $C(1{,}2;; 0)$.
• $x + y = 1$ và $y = 0$: $x = 1$. → Đỉnh $D(1;; 0)$.

Miền nghiệm là tứ giác $ABCD$.

Tính $F$ tại các đỉnh:

• $F(A) = F(0{,}75;; 0{,}25) = 0{,}144 – 0{,}05 \cdot 0{,}75 – 0{,}04 \cdot 0{,}25 = 0{,}144 – 0{,}0375 – 0{,}01 = 0{,}0965$.
• $F(B) = F(0{,}9;; 0{,}3) = 0{,}144 – 0{,}045 – 0{,}012 = 0{,}087$.
• $F(C) = F(1{,}2;; 0) = 0{,}144 – 0{,}06 – 0 = 0{,}084$.
• $F(D) = F(1;; 0) = 0{,}144 – 0{,}05 – 0 = 0{,}094$.

So sánh: $0{,}084 < 0{,}087 < 0{,}094 < 0{,}0965$.

GTLN $F = 0{,}0965$ (tỉ đồng) $= 96{,}5$ triệu đồng, đạt tại $A(0{,}75;; 0{,}25)$.

Kết luận: Để lợi nhuận lớn nhất, bác An nên đầu tư:

• Trái phiếu chính phủ: $0{,}75$ tỉ đồng $= 750$ triệu đồng.
• Trái phiếu ngân hàng: $0{,}25$ tỉ đồng $= 250$ triệu đồng.
• Trái phiếu doanh nghiệp: $1{,}2 – 0{,}75 – 0{,}25 = 0{,}2$ tỉ đồng $= 200$ triệu đồng.

Lợi nhuận thu được lớn nhất là $96{,}5$ triệu đồng.

Bài 2.16 (trang 32)

Đề bài: Một công ty dự định chi tối đa $160$ triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới trong một tháng trên các đài phát thanh và truyền hình. Biết cùng một thời lượng quảng cáo, số người mới quan tâm đến sản phẩm trên truyền hình gấp $8$ lần trên đài phát thanh, tức là quảng cáo trên truyền hình có hiệu quả gấp $8$ lần trên đài phát thanh. Đài phát thanh chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là $900$ giây với chi phí là $80$ nghìn đồng/giây. Đài truyền hình chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là $360$ giây với chi phí là $400$ nghìn đồng/giây. Công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên các đài phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Lời giải:

Bước 1. Đặt ẩn và lập hệ bất phương trình.

Gọi $x$, $y$ (giây) lần lượt là thời gian quảng cáo trên đài phát thanh và truyền hình. Khi đó:

• Thời lượng không âm và không vượt giới hạn: $0 \leq x \leq 900$, $0 \leq y \leq 360$.
• Chi phí (nghìn đồng): $80x + 400y \leq 160\,000$. Chia cả hai vế cho $80$:

$$x + 5y \leq 2\,000.$$

Hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} 0 \leq x \leq 900 \\ 0 \leq y \leq 360 \\ x + 5y \leq 2\,000. \end{cases}$$

Bước 2. Biểu diễn hiệu quả quảng cáo.

Theo gợi ý: $1$ giây phát thanh có hiệu quả $1$ đơn vị, $1$ giây truyền hình có hiệu quả $8$ đơn vị. Vậy hiệu quả tổng:

$$F(x; y) = x + 8y.$$

Cần tìm GTLN của $F$.

Bước 3. Tìm các đỉnh của miền nghiệm và tính $F$.

Miền nghiệm là một ngũ giác $OABCD$ với các đỉnh:

• $O(0; 0)$ (giao của $x = 0$ và $y = 0$).
• $A(0; 360)$ (giao $x = 0$ và $y = 360$).
• $B(200; 360)$ (giao $y = 360$ và $x + 5y = 2\,000$: $x + 5 \cdot 360 = 2\,000 \Rightarrow x = 200$).
• $C(900; 220)$ (giao $x = 900$ và $x + 5y = 2\,000$: $900 + 5y = 2\,000 \Rightarrow y = 220$).
• $D(900; 0)$ (giao $x = 900$ và $y = 0$).

Tính $F = x + 8y$:

• $F(O) = 0 + 0 = 0$.
• $F(A) = 0 + 8 \cdot 360 = 2\,880$.
• $F(B) = 200 + 8 \cdot 360 = 200 + 2\,880 = 3\,080$.
• $F(C) = 900 + 8 \cdot 220 = 900 + 1\,760 = 2\,660$.
• $F(D) = 900 + 0 = 900$.

So sánh: $0 < 900 < 2\,660 < 2\,880 < 3\,080$.

GTLN $F = 3\,080$, đạt tại $B(200; 360)$.

Kết luận: Công ty nên đặt quảng cáo:

• Đài phát thanh: $200$ giây.
• Đài truyền hình: $360$ giây.

Khi đó hiệu quả quảng cáo là cao nhất.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh