Trước khi vào lời giải, các em nhớ lại các công thức chính:

• Độ chính xác của số gần đúng từ phép đo: $d = $ nửa đơn vị thước đo.
• Cộng/nhân toàn bộ mẫu với hằng số $c$ thì: trung bình, trung vị, tứ phân vị thay đổi theo $c$; độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị chỉ thay đổi khi nhân ($\times c$) và không đổi khi cộng.
• Q$_1$ và Q$_3$ chứa giữa chúng $50\%$ số liệu chính giữa.

A – Trắc nghiệm

Bài 5.17 (trang 89)

Đề bài: Khi cân một bao gạo bằng một cân treo với thang chia $0{,}2$ kg thì độ chính xác $d$ là:

A. $0{,}1$ kg. B. $0{,}2$ kg. C. $0{,}3$ kg. D. $0{,}4$ kg.

Lời giải:

Theo lý thuyết bài 12: độ chính xác của số gần đúng từ phép đo bằng nửa đơn vị thước đo.

Thang chia $0{,}2$ kg → đơn vị thước đo là $0{,}2$ kg.

$$d = \dfrac{0{,}2}{2} = 0{,}1 \text{ (kg)}.$$

Đáp án: A.

Bài 5.18 (trang 89)

Đề bài: Trong hai mẫu số liệu, mẫu nào có phương sai lớn hơn thì có độ lệch chuẩn lớn hơn, đúng hay sai?

A. Đúng. B. Sai.

Lời giải:

Theo định nghĩa: $s = \sqrt{s^2}$, tức độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.

Vì căn bậc hai là hàm đồng biến với $s^2 \geq 0$, nên nếu $s^2_1 > s^2_2$ thì $\sqrt{s^2_1} > \sqrt{s^2_2}$, tức $s_1 > s_2$.

Đáp án: A. Đúng.

Bài 5.19 (trang 89)

Đề bài: Có $25\%$ giá trị của mẫu số liệu nằm giữa $Q_1$ và $Q_3$, đúng hay sai?

A. Đúng. B. Sai.

Lời giải:

Theo định nghĩa, các tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$ chia mẫu số liệu thành bốn phần bằng nhau, mỗi phần chứa $25\%$ số liệu. Khoảng từ $Q_1$ đến $Q_3$ chứa hai phần ở giữa, tức $50\%$ số liệu (không phải $25\%$).

Đáp án: B. Sai.

Bài 5.20 (trang 89)

Đề bài: Số đặc trưng nào sau đây đo độ phân tán của mẫu số liệu?

A. Số trung bình. B. Mốt. C. Trung vị. D. Độ lệch chuẩn.

Lời giải:

• Số trung bình, mốt, trung vị → đo xu thế trung tâm (cho biết “vị trí giữa” của mẫu).
• Độ lệch chuẩn → đo độ phân tán (cho biết các giá trị tản ra khỏi trung bình bao xa).

Đáp án: D.

Bài 5.21 (trang 89)

Đề bài: Điểm trung bình môn học kì I một số môn học của bạn An là $8;; 9;; 7;; 6;; 5;; 7;; 3$. Nếu An được cộng thêm mỗi môn $0{,}5$ điểm chuyên cần thì các số đặc trưng nào sau đây của mẫu số liệu không thay đổi?

A. Số trung bình. B. Trung vị. C. Độ lệch chuẩn. D. Tứ phân vị.

Lời giải:

Khi cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với cùng một hằng số $c = 0{,}5$ (theo lý thuyết bài 14):

• Số trung bình: $\overline{x}_{\text{mới}} = \overline{x} + 0{,}5$ → thay đổi.
• Trung vị: $M_e^{\text{mới}} = M_e + 0{,}5$ → thay đổi.
• Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$ đều cộng thêm $0{,}5$ → thay đổi.
• Độ lệch chuẩn: vì $(x_i + 0{,}5) – (\overline{x} + 0{,}5) = x_i – \overline{x}$, các độ lệch không đổi → phương sai và độ lệch chuẩn không đổi.

Đáp án: C. Độ lệch chuẩn.

B – Tự luận

Bài 5.22 (trang 89)

Đề bài: Lương khởi điểm của $5$ sinh viên vừa tốt nghiệp tại một trường đại học (đơn vị triệu đồng) là: $3{,}5 \quad 9{,}2 \quad 9{,}2 \quad 9{,}5 \quad 10{,}5$.

a) Giải thích tại sao nên dùng trung vị để thể hiện mức lương khởi điểm của sinh viên tốt nghiệp từ trường đại học này?

b) Nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị để đo độ phân tán? Vì sao?

Lời giải:

a) Sắp xếp tăng dần: $3{,}5;; 9{,}2;; 9{,}2;; 9{,}5;; 10{,}5$.

Tính số trung bình:

$$\overline{x} = \dfrac{3{,}5 + 9{,}2 + 9{,}2 + 9{,}5 + 10{,}5}{5} = \dfrac{41{,}9}{5} = 8{,}38 \text{ (triệu đồng)}.$$

Trung vị (vị trí $3$): $M_e = 9{,}2$ triệu đồng.

Trong mẫu có giá trị $3{,}5$ thấp bất thường so với các giá trị còn lại (đa số $\geq 9{,}2$). Giá trị này làm số trung bình bị “kéo xuống” thấp ($8{,}38$), không phản ánh đúng mức lương phổ biến.

→ Nên dùng trung vị ($9{,}2$ triệu đồng) vì trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

b) Tính cả hai:

Khoảng biến thiên: $R = 10{,}5 – 3{,}5 = 7$.

Khoảng tứ phân vị: $n = 5$ lẻ, $Q_2 = 9{,}2$.

• Nửa trái ($2$ số): $3{,}5;; 9{,}2$ → $Q_1 = \dfrac{3{,}5 + 9{,}2}{2} = 6{,}35$.
• Nửa phải ($2$ số): $9{,}5;; 10{,}5$ → $Q_3 = \dfrac{9{,}5 + 10{,}5}{2} = 10$.

$$\Delta_Q = 10 – 6{,}35 = 3{,}65.$$

Tương tự như trên, khoảng biến thiên $R = 7$ bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường $3{,}5$ (vì $R$ dùng giá trị nhỏ nhất là $3{,}5$).

→ Nên dùng khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = 3{,}65$ để đo độ phân tán, vì $\Delta_Q$ chỉ dùng $Q_1, Q_3$ nên không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

Bài 5.23 (trang 89)

Đề bài: Điểm Toán và điểm Tiếng Anh của $11$ học sinh lớp $10$ được cho trong bảng (xem đề). Hãy so sánh mức độ “học đều” của học sinh trong môn Tiếng Anh và môn Toán thông qua các số đặc trưng: khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn.

Lời giải:

Môn Toán: $62, 91, 43, 31, 57, 63, 80, 37, 43, 5, 78$.

Sắp xếp tăng dần: $5;; 31;; 37;; 43;; 43;; \underline{57};; 62;; 63;; 78;; 80;; 91$ ($n = 11$ lẻ).

• Khoảng biến thiên: $R_T = 91 – 5 = 86$.
• $Q_2 = 57$ (vị trí $6$).
• Nửa trái ($5$ số): $5, 31, 37, 43, 43$ → $Q_1 = 37$.
• Nửa phải ($5$ số): $62, 63, 78, 80, 91$ → $Q_3 = 78$.
• Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q^T = 78 – 37 = 41$.

Số trung bình $\overline{x}_T = \dfrac{5 + 31 + 37 + \ldots + 91}{11} = \dfrac{590}{11} \approx 53{,}64$.

Tính tổng bình phương độ lệch ≈ $6\,234{,}55$. Phương sai $s^2_T \approx \dfrac{6\,234{,}55}{11} \approx 566{,}78$. Độ lệch chuẩn $s_T \approx 23{,}81$.

Môn Tiếng Anh: $65, 57, 55, 37, 62, 70, 73, 49, 65, 41, 64$.

Sắp xếp tăng dần: $37;; 41;; 49;; 55;; 57;; \underline{62};; 64;; 65;; 65;; 70;; 73$ ($n = 11$).

• Khoảng biến thiên: $R_A = 73 – 37 = 36$.
• $Q_2 = 62$ (vị trí $6$).
• Nửa trái ($5$ số): $37, 41, 49, 55, 57$ → $Q_1 = 49$.
• Nửa phải ($5$ số): $64, 65, 65, 70, 73$ → $Q_3 = 65$.
• Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q^A = 65 – 49 = 16$.

Số trung bình $\overline{x}_A = \dfrac{638}{11} = 58$.

Phương sai $s^2_A \approx 121{,}82$. Độ lệch chuẩn $s_A \approx 11{,}04$.

Bảng so sánh:

Kết luận: Cả ba đại lượng đo độ phân tán của môn Tiếng Anh đều nhỏ hơn môn Toán. Tức là điểm Tiếng Anh ít phân tán hơn → học sinh học đều ở môn Tiếng Anh hơn so với môn Toán.

Bài 5.24 (trang 90)

Đề bài: Bảng cho biết dân số của $11$ tỉnh/thành phố Đồng bằng Bắc Bộ năm $2018$ (đơn vị triệu người – xem đề).

a) Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên.

b) Giải thích tại sao số trung bình và trung vị lại có sự sai khác nhiều.

c) Nên sử dụng số trung bình hay trung vị để đại diện cho dân số của các tỉnh thuộc Đồng bằng Bắc Bộ?

Lời giải:

a) Liệt kê và sắp xếp tăng dần:

$$0{,}81;; 0{,}97;; 1{,}09;; 1{,}19;; 1{,}25;; \underline{1{,}27};; 1{,}79;; 1{,}81;; 1{,}85;; 2{,}01;; 7{,}52 \text{ (triệu người)}.$$

Số trung bình:

$$\overline{x} = \dfrac{7{,}52 + 1{,}09 + 1{,}25 + 1{,}27 + 1{,}81 + 2{,}01 + 1{,}19 + 1{,}79 + 0{,}81 + 1{,}85 + 0{,}97}{11} = \dfrac{21{,}56}{11} \approx 1{,}96.$$

Trung vị ($n = 11$ lẻ, vị trí $6$): $M_e = 1{,}27$ (triệu người).

b) Trong mẫu có giá trị $7{,}52$ (dân số Hà Nội) lớn bất thường so với các tỉnh còn lại (đa số $< 2{,}1$). Giá trị bất thường này kéo số trung bình lên cao ($\approx 1{,}96$), trong khi trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường (vẫn ở “tâm” của mẫu là $1{,}27$).

Đó là lý do số trung bình và trung vị có sự sai khác nhiều.

c) Vì có giá trị bất thường (Hà Nội), nên dùng trung vị ($1{,}27$ triệu người) sẽ đại diện chính xác hơn cho dân số của các tỉnh thuộc Đồng bằng Bắc Bộ.

Bài 5.25 (trang 90)

Đề bài: Hai mẫu số liệu sau cho biết số lượng trường THPT ở mỗi tỉnh/thành phố thuộc Đồng bằng sông Hồng và Đồng bằng sông Cửu Long năm $2017$:

• Đồng bằng sông Hồng: $187,; 34,; 35,; 46,; 54,; 57,; 37,; 39,; 23,; 57,; 27$.
• Đồng bằng sông Cửu Long: $33,; 34,; 33,; 29,; 24,; 39,; 42,; 24,; 23,; 19,; 24,; 15,; 26$.

a) Tính số trung bình, trung vị, các tứ phân vị, mốt, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn cho mỗi mẫu số liệu trên.

b) Tại sao số trung bình của hai mẫu có sự sai khác nhiều trong khi trung vị thì không?

c) Tại sao khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của hai mẫu khác nhau nhiều trong khi khoảng tứ phân vị thì không?

Lời giải:

a) Tính các đại lượng:

Đồng bằng sông Hồng ($n = 11$):

Sắp xếp: $23;; 27;; 34;; 35;; 37;; \underline{39};; 46;; 54;; 57;; 57;; 187$.

• Số trung bình: $\overline{x}_1 = \dfrac{596}{11} \approx 54{,}18$.
• Trung vị (vị trí $6$): $Q_2 = 39$.
• Nửa trái: $23, 27, 34, 35, 37$ → $Q_1 = 34$.
• Nửa phải: $46, 54, 57, 57, 187$ → $Q_3 = 57$.
• Mốt: $57$ (xuất hiện $2$ lần).
• Khoảng biến thiên: $R_1 = 187 – 23 = 164$.
• Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q^1 = 57 – 34 = 23$.
• Phương sai: $s^2_1 \approx 1\,885{,}06$. Độ lệch chuẩn: $s_1 \approx 43{,}42$.

Đồng bằng sông Cửu Long ($n = 13$):

Sắp xếp: $15;; 19;; 23;; 24;; 24;; 24;; \underline{26};; 29;; 33;; 33;; 34;; 39;; 42$.

• Số trung bình: $\overline{x}_2 = \dfrac{365}{13} \approx 28{,}08$.
• Trung vị (vị trí $7$): $Q_2 = 26$.
• Nửa trái ($6$ số): $15, 19, 23, 24, 24, 24$ → $Q_1 = \dfrac{23 + 24}{2} = 23{,}5$.
• Nửa phải ($6$ số): $29, 33, 33, 34, 39, 42$ → $Q_3 = \dfrac{33 + 34}{2} = 33{,}5$.
• Mốt: $24$ (xuất hiện $3$ lần).
• Khoảng biến thiên: $R_2 = 42 – 15 = 27$.
• Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q^2 = 33{,}5 – 23{,}5 = 10$.
• Phương sai: $s^2_2 \approx 56{,}22$. Độ lệch chuẩn: $s_2 \approx 7{,}50$.

Bảng tổng hợp:

b) Số trung bình của hai mẫu khác nhau nhiều ($54{,}18$ vs $28{,}08$) chủ yếu vì mẫu Đồng bằng sông Hồng có giá trị $187$ lớn bất thường (chính là số trường THPT của Hà Nội), giá trị này kéo trung bình lên cao.

Trong khi đó, trung vị (lần lượt $39$ và $26$) phản ánh giá trị “ở giữa” của mẫu, không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường nên hai trung vị tương đối gần nhau hơn so với hai số trung bình.

c) Khoảng biến thiên dùng giá trị max – min, mà $187$ lớn bất thường nên $R_1 = 164$ rất lớn. Tương tự, độ lệch chuẩn dùng bình phương các độ lệch, mà $(187 – 54{,}18)^2$ rất lớn → kéo $s_1$ lên rất cao.

Trong khi đó, khoảng tứ phân vị chỉ dùng $Q_1$ và $Q_3$ – không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường, nên $\Delta_Q^1 = 23$ và $\Delta_Q^2 = 10$ gần nhau hơn nhiều.

Bài 5.26 (trang 90)

Đề bài: Tỉ lệ trẻ em suy dinh dưỡng (tính theo cân nặng ứng với độ tuổi) của $10$ tỉnh thuộc Đồng bằng sông Hồng được cho như sau:

$$5{,}5 \quad 13{,}8 \quad 10{,}2 \quad 12{,}2 \quad 11{,}0 \quad 7{,}4 \quad 11{,}4 \quad 13{,}1 \quad 12{,}5 \quad 13{,}4.$$

a) Tính số trung bình, trung vị, khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

b) Thực hiện làm tròn đến hàng đơn vị cho các giá trị trong mẫu số liệu. Sai số tuyệt đối của phép làm tròn này không vượt quá bao nhiêu?

Lời giải:

a) Sắp xếp tăng dần: $5{,}5;; 7{,}4;; 10{,}2;; 11{,}0;; \underline{11{,}4};; \underline{12{,}2};; 12{,}5;; 13{,}1;; 13{,}4;; 13{,}8$ ($n = 10$).

Số trung bình:

$$\overline{x} = \dfrac{5{,}5 + 13{,}8 + 10{,}2 + 12{,}2 + 11{,}0 + 7{,}4 + 11{,}4 + 13{,}1 + 12{,}5 + 13{,}4}{10} = \dfrac{110{,}5}{10} = 11{,}05.$$

Trung vị: $n = 10$ chẵn, $M_e = \dfrac{11{,}4 + 12{,}2}{2} = 11{,}8$.

Khoảng biến thiên: $R = 13{,}8 – 5{,}5 = 8{,}3$.

Độ lệch chuẩn: Tính tổng bình phương các độ lệch so với $\overline{x} = 11{,}05$:

$$(5{,}5 – 11{,}05)^2 + (13{,}8 – 11{,}05)^2 + \ldots + (13{,}4 – 11{,}05)^2 \approx 65{,}685.$$

Phương sai: $s^2 = \dfrac{65{,}685}{10} \approx 6{,}57$.

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2} \approx 2{,}56$.

b) Làm tròn đến hàng đơn vị (theo quy tắc: chữ số bên phải $\geq 5$ thì tăng $1$):

Sai số tuyệt đối lớn nhất là $0{,}5$, đạt được tại các giá trị $5{,}5$ và $12{,}5$.

Kết luận: Sai số tuyệt đối của phép làm tròn không vượt quá $0{,}5$ (nửa đơn vị của hàng làm tròn).

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh