A – Trắc nghiệm

Bài 8.17 (trang 76)

Đề bài: Số cách cắm $4$ bông hoa khác nhau vào $4$ bình hoa khác nhau (mỗi bông hoa cắm vào một bình) là:

A. $16$. B. $24$. C. $8$. D. $4$.

Lời giải:

Mỗi cách cắm là một cách “ghép cặp” $4$ bông hoa với $4$ bình hoa khác nhau – tức là sắp xếp có thứ tự $4$ bông vào $4$ bình. Đây là hoán vị của $4$ phần tử:

$$P_4 = 4! = 24.$$

Chọn B.

Bài 8.18 (trang 76)

Đề bài: Số các số có ba chữ số khác nhau, trong đó các chữ số đều lớn hơn $0$ và nhỏ hơn hoặc bằng $5$ là:

A. $120$. B. $60$. C. $720$. D. $2$.

Lời giải:

Các chữ số lớn hơn $0$ và nhỏ hơn hoặc bằng $5$ là ${1, 2, 3, 4, 5}$ — có $5$ chữ số.

Một số có ba chữ số khác nhau lấy từ tập này là một chỉnh hợp chập $3$ của $5$:

$$A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60.$$

Chọn B.

Bài 8.19 (trang 76)

Đề bài: Số cách chọn $3$ bạn học sinh đi học bơi từ một nhóm $10$ bạn học sinh là:

A. $3\,628\,800$. B. $604\,800$. C. $120$. D. $720$.

Lời giải:

Chọn $3$ bạn từ $10$ bạn (không phân biệt thứ tự) — là tổ hợp chập $3$ của $10$:

$$C_{10}^3 = \dfrac{10!}{3! \cdot 7!} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120.$$

Chọn C.

Bài 8.20 (trang 76)

Đề bài: Bạn An gieo một con xúc xắc hai lần. Số các trường hợp để tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bằng $8$ qua hai lần gieo là:

A. $36$. B. $6$. C. $5$. D. $4$.

Lời giải:

Gọi kết quả là cặp $(a; b)$ với $a, b \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ và $a + b = 8$. Liệt kê:

$$(2; 6),; (3; 5),; (4; 4),; (5; 3),; (6; 2).$$

Có $5$ trường hợp. Chọn C.

Bài 8.21 (trang 76)

Đề bài: Hệ số của $x^4$ trong khai triển nhị thức $(3x – 4)^5$ là:

A. $1\,620$. B. $60$. C. $-60$. D. $-1\,620$.

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển $(a + b)^5$ với $a = 3x$ và $b = -4$:

$$(3x – 4)^5 = (3x)^5 + 5(3x)^4(-4) + 10(3x)^3(-4)^2 + \ldots$$

Số hạng chứa $x^4$ là:

$$5 \cdot (3x)^4 \cdot (-4) = 5 \cdot 81 x^4 \cdot (-4) = -1\,620 x^4.$$

Vậy hệ số là $-1\,620$. Chọn D.

B – Tự luận

Bài 8.22 (trang 76)

Đề bài:

a) Có bao nhiêu cách viết một dãy $5$ chữ cái in hoa từ bảng chữ cái tiếng Anh (gồm $26$ chữ cái)?

b) Có bao nhiêu cách viết một dãy $5$ chữ cái in hoa khác nhau từ bảng chữ cái tiếng Anh (gồm $26$ chữ cái)?

Lời giải:

a) Các chữ cái có thể trùng nhau:

Mỗi vị trí (trong $5$ vị trí) có $26$ cách chọn chữ cái. Theo quy tắc nhân:

$$26 \times 26 \times 26 \times 26 \times 26 = 26^5 = 11\,881\,376 \text{ (cách).}$$

b) Năm chữ cái khác nhau:

Mỗi dãy là một chỉnh hợp chập $5$ của $26$:

$$A_{26}^5 = 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 = 7\,893\,600 \text{ (cách).}$$

Bài 8.23 (trang 76)

Đề bài: Từ các chữ số $1;; 2;; 3;; 4;; 5;; 6$:

a) Có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?

b) Có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho $3$?

Lời giải:

a) Mỗi số có ba chữ số khác nhau lấy từ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ là một chỉnh hợp chập $3$ của $6$:

$$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120 \text{ (số).}$$

b) Một số chia hết cho $3$ khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho $3$.

Bước 1: Tìm các tập hợp $3$ chữ số khác nhau có tổng chia hết cho $3$.

Liệt kê tổng từng tập:

Có $8$ tập hợp thoả mãn.

Bước 2: Đếm số. Mỗi tập $3$ chữ số khác nhau cho $3! = 6$ số khác nhau (hoán vị $3$ phần tử).

Tổng số cách: $8 \times 6 = 48$ (số).

Bài 8.24 (trang 76)

Đề bài: Tế bào $A$ có $2n = 8$ nhiễm sắc thể (NST), và nguyên phân $5$ lần liên tiếp. Tế bào $B$ có $2n = 14$ NST và nguyên phân $4$ lần liên tiếp. Tính và so sánh tổng số NST trong tế bào $A$ và trong tế bào $B$ được tạo ra.

Lời giải:

Quy tắc: Mỗi lần nguyên phân, một tế bào tạo ra $2$ tế bào con. Sau $k$ lần nguyên phân từ $1$ tế bào ban đầu, ta được $2^k$ tế bào. Số NST mỗi tế bào con vẫn là $2n$.

Tế bào $A$: Sau $5$ lần nguyên phân, có $2^5 = 32$ tế bào con, mỗi tế bào có $8$ NST.

Tổng số NST: $32 \times 8 = 256$ (NST).

Tế bào $B$: Sau $4$ lần nguyên phân, có $2^4 = 16$ tế bào con, mỗi tế bào có $14$ NST.

Tổng số NST: $16 \times 14 = 224$ (NST).

So sánh: $256 > 224$. Tổng số NST trong tế bào $A$ nhiều hơn tổng số NST trong tế bào $B$, nhiều hơn $256 – 224 = 32$ NST.

Bài 8.25 (trang 76)

Đề bài: Lớp 10B có $40$ học sinh gồm $25$ nam và $15$ nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn $3$ bạn tham gia vào đội thiện nguyện của trường trong mỗi trường hợp sau?

a) Ba học sinh được chọn là bất kì.

b) Ba học sinh được chọn gồm $1$ nam và $2$ nữ.

c) Có ít nhất một nam trong ba học sinh được chọn.

Lời giải:

a) Chọn $3$ bạn bất kì từ $40$ học sinh (không phân biệt thứ tự):

$$C_{40}^3 = \dfrac{40!}{3! \cdot 37!} = \dfrac{40 \times 39 \times 38}{6} = 9\,880 \text{ (cách).}$$

b) Chọn $1$ nam từ $25$ nam và $2$ nữ từ $15$ nữ:

• Chọn $1$ nam: $C_{25}^1 = 25$ cách.
• Chọn $2$ nữ: $C_{15}^2 = \dfrac{15 \times 14}{2} = 105$ cách.

Theo quy tắc nhân: $25 \times 105 = 2\,625$ (cách).

c) “Có ít nhất một nam” $\Leftrightarrow$ “không xảy ra trường hợp $3$ bạn đều là nữ”.

Dùng cách tính phần bù:

• Tổng số cách chọn $3$ bạn bất kì: $C_{40}^3 = 9\,880$ (đã tính ở câu a).
• Số cách chọn $3$ bạn đều là nữ: $C_{15}^3 = \dfrac{15 \times 14 \times 13}{6} = 455$.

Số cách có ít nhất $1$ nam:

$$9\,880 – 455 = 9\,425 \text{ (cách).}$$

Bài 8.26 (trang 76)

Đề bài: Trong khai triển nhị thức Newton của $(2x + 3)^5$, hệ số của $x^4$ hay hệ số của $x^3$ lớn hơn?

Lời giải:

Khai triển $(2x + 3)^5$ theo công thức nhị thức Newton với $a = 2x,; b = 3$:

$$(2x + 3)^5 = (2x)^5 + 5(2x)^4 \cdot 3 + 10(2x)^3 \cdot 3^2 + 10(2x)^2 \cdot 3^3 + 5(2x) \cdot 3^4 + 3^5.$$

Tìm hệ số của $x^4$: số hạng chứa $x^4$ là $5(2x)^4 \cdot 3 = 5 \cdot 16 x^4 \cdot 3 = 240 x^4$.

Vậy hệ số của $x^4$ là $240$.

Tìm hệ số của $x^3$: số hạng chứa $x^3$ là $10(2x)^3 \cdot 3^2 = 10 \cdot 8 x^3 \cdot 9 = 720 x^3$.

Vậy hệ số của $x^3$ là $720$.

So sánh: $720 > 240$, nên hệ số của $x^3$ lớn hơn hệ số của $x^4$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh