Bài 28 giới thiệu hàm số bậc nhất $y = ax + b$ — một khái niệm then chốt của chương trình Toán 8, mở rộng từ hàm số $y = ax$ (tỉ lệ thuận) mà các em đã học trước đó. Đây là nền tảng để tiếp tục nghiên cứu về hàm số đồng biến, nghịch biến cũng như vị trí tương đối của hai đường thẳng ở các bài sau.

Bài học gồm hai phần chính: khái niệm hàm số bậc nhất (định nghĩa, cách nhận biết, lập bảng giá trị) và đồ thị của hàm số bậc nhất (đồ thị là đường thẳng, cách vẽ qua hai điểm đặc biệt).

1. Khái niệm hàm số bậc nhất

Từ bài toán thực tế đến hàm số bậc nhất

Xét bài toán: Một ô tô đi từ bến xe Giáp Bát (Hà Nội) đến thành phố Vinh (Nghệ An) với vận tốc $60$ km/h. Bến xe Giáp Bát cách trung tâm Hà Nội $7$ km. Hỏi sau $t$ giờ, ô tô cách trung tâm Hà Nội bao nhiêu kilômét?

Sau $t$ giờ, quãng đường ô tô đi được là $S = 60t$ (km). Khoảng cách từ ô tô đến trung tâm Hà Nội là:

$$d = 60t + 7$$

Ta thấy $d$ phụ thuộc vào $t$ theo công thức có dạng: một hằng số nhân với biến, cộng thêm một hằng số khác. Đây chính là dạng của hàm số bậc nhất.

Khoảng cách $d$ là một hàm số của thời gian $t$, và công thức $d = 60t + 7$ có dạng $y = ax + b$.

Định nghĩa hàm số bậc nhất

Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y = ax + b$, trong đó $a$ và $b$ là các hằng số cho trước, với điều kiện $a \neq 0$.

Trong đó: $a$ gọi là hệ số của $x$, $b$ gọi là hạng tử tự do.

Điều kiện $a \neq 0$ rất quan trọng: Nếu $a = 0$ thì công thức trở thành $y = b$ (hằng số), không còn phụ thuộc vào $x$ nữa → không phải hàm số bậc nhất.

Liên hệ với hàm tỉ lệ thuận: Khi $b = 0$, hàm số bậc nhất trở thành $y = ax$ — chính là hàm tỉ lệ thuận đã học. Nói cách khác, hàm tỉ lệ thuận là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc nhất.

Ví dụ 1:

a) Hàm số $y = -2x + 3$ là hàm số bậc nhất với $a = -2$, $b = 3$.

b) Nếu $y$ tỉ lệ thuận với $x$, tức $y = kx$ ($k \neq 0$), thì $y$ cũng là hàm số bậc nhất với $a = k$, $b = 0$.

Nhận biết hàm số bậc nhất

Để xác định một hàm số có phải hàm bậc nhất hay không, ta cần biến đổi (nếu cần) rồi kiểm tra xem nó có đúng dạng $y = ax + b$ với $a \neq 0$ hay không.

Ví dụ 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất?

a) $y = 3x – 2$

b) $y = -2x$

c) $y = 2x^2 + 3$

d) $y = 3(x – 1)$

e) $y = 0x + 1$

Lời giải:

a) $y = 3x – 2$: Có dạng $y = ax + b$ với $a = 3 \neq 0$, $b = -2$. → Là hàm số bậc nhất.

b) $y = -2x$: Có dạng $y = ax + b$ với $a = -2 \neq 0$, $b = 0$. → Là hàm số bậc nhất (đây cũng là hàm tỉ lệ thuận).

c) $y = 2x^2 + 3$: Chứa $x^2$ (bậc hai), không có dạng $y = ax + b$. → Không là hàm số bậc nhất.

d) $y = 3(x – 1)$: Khai triển ta được $y = 3x – 3$, có dạng $y = ax + b$ với $a = 3 \neq 0$, $b = -3$. → Là hàm số bậc nhất.

e) $y = 0x + 1 = 1$: Có $a = 0$, không thoả điều kiện $a \neq 0$. → Không là hàm số bậc nhất.

Ví dụ 3 (Tranh luận Vuông – Tròn): Hàm số $y = \dfrac{x + 1}{2}$ có phải là hàm số bậc nhất không?

Lời giải: Ta biến đổi:

$$y = \dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$$

Đây có dạng $y = ax + b$ với $a = \dfrac{1}{2} \neq 0$, $b = \dfrac{1}{2}$. Vậy đây là hàm số bậc nhất — bạn Vuông nói đúng.

Nhiều bạn nhầm vì thấy có phân số, nhưng chỉ cần biến đổi về dạng chuẩn $y = ax + b$ và kiểm tra $a \neq 0$ là đủ kết luận.

Lập bảng giá trị và tìm giá trị của biến

Ví dụ 4: Cho hàm số bậc nhất $y = -2x + 5$.

a) Lập bảng giá trị.

b) Tìm $x$ sao cho $y = 12$.

Lời giải:

a) Lần lượt thay các giá trị của $x$ vào công thức $y = -2x + 5$:

b) Ta cần tìm $x$ sao cho $y = 12$, tức là:

$$-2x + 5 = 12$$

$$-2x = 12 – 5$$

$$-2x = 7$$

$$x = \dfrac{7}{-2} = -\dfrac{7}{2}$$

Vậy khi $y = 12$ thì $x = -\dfrac{7}{2}$.

2. Đồ thị của hàm số bậc nhất

Nhận biết đồ thị

Xét hàm số bậc nhất $y = 2x – 1$. Ta lập bảng giá trị:

Biểu diễn các điểm $A(-2; -5)$, $B(-1; -3)$, $C(0; -1)$, $D(1; 1)$, $E(2; 3)$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, ta nhận thấy chúng cùng nằm trên một đường thẳng. Hơn nữa, mọi điểm trên đường thẳng đó đều có toạ độ thoả mãn $y = 2x – 1$.

Kết luận: Đồ thị của hàm số $y = ax + b$ ($a \neq 0$) là một đường thẳng.

Chú ý: Đồ thị của hàm số $y = ax + b$ ($a \neq 0$) còn được gọi là đường thẳng $y = ax + b$.

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Vì đồ thị là một đường thẳng nên chỉ cần xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị, sau đó nối chúng bằng đường thẳng. Ta chia làm hai trường hợp:

Trường hợp 1: Khi $b = 0$ (hàm số $y = ax$)

Đồ thị là đường thẳng đi qua gốc toạ độ $O(0; 0)$ và điểm $A(1; a)$.

• Cho $x = 0$ → $y = 0$: được điểm $O(0; 0)$.
• Cho $x = 1$ → $y = a$: được điểm $A(1; a)$.
• Vẽ đường thẳng đi qua $O$ và $A$.

Trường hợp 2: Khi $b \neq 0$

Ta thường xác định hai điểm đặc biệt — là giao của đồ thị với hai trục toạ độ:

• Cho $x = 0$ → $y = b$: được điểm $P(0; b)$ thuộc trục tung $Oy$.
• Cho $y = 0$ → $x = -\dfrac{b}{a}$: được điểm $Q\left(-\dfrac{b}{a}; 0\right)$ thuộc trục hoành $Ox$.
• Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm $P$ và $Q$.

Ví dụ 5: Vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất $y = 2x + 4$.

Lời giải:

Cho $x = 0$ thì $y = 2 \cdot 0 + 4 = 4$, ta được giao điểm của đồ thị với trục $Oy$ là $P(0; 4)$.

Cho $y = 0$ thì $2x + 4 = 0$, suy ra $x = -2$, ta được giao điểm của đồ thị với trục $Ox$ là $Q(-2; 0)$.

Đồ thị hàm số $y = 2x + 4$ là đường thẳng đi qua hai điểm $P(0; 4)$ và $Q(-2; 0)$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Xác định tham số để hàm số là hàm bậc nhất hoặc thoả mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

• Hàm số $y = ax + b$ là hàm bậc nhất khi và chỉ khi $a \neq 0$. Nếu hệ số của $x$ chứa tham số, ta giải điều kiện để hệ số đó khác 0.
• Đồ thị đi qua điểm $M(x_0; y_0)$: thay $x = x_0$, $y = y_0$ vào công thức rồi giải phương trình tìm tham số.
• Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $y_0$: cho $x = 0$, suy ra $b = y_0$.
• Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x_0$: cho $y = 0$, suy ra $ax_0 + b = 0$, từ đó tìm tham số.

Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số $y = f(x) = (2a – 3)x + x + 4$.

a) Tìm hệ số $a$ để $y = f(x)$ là hàm số bậc nhất.

b) Tìm hệ số $a$ biết $f(2) = 3$.

Lời giải chi tiết:

a) Trước tiên, ta cần biến đổi công thức cho gọn:

$$y = (2a – 3)x + x + 4$$

Nhóm các hạng tử chứa $x$ lại:

$$y = (2a – 3)x + 1 \cdot x + 4 = (2a – 3 + 1)x + 4 = (2a – 2)x + 4$$

Để $y$ là hàm số bậc nhất, ta cần hệ số của $x$ khác $0$:

$$2a – 2 \neq 0$$

$$2a \neq 2$$

$$a \neq 1$$

Vậy với $a \neq 1$ thì $y = f(x)$ là hàm số bậc nhất.

b) Từ câu a, ta có $f(x) = (2a – 2)x + 4$.

Thay $x = 2$ vào:

$$f(2) = (2a – 2) \cdot 2 + 4 = 4a – 4 + 4 = 4a$$

Theo đề bài $f(2) = 3$, nên:

$$4a = 3$$

$$a = \dfrac{3}{4}$$

Kiểm tra: $a = \dfrac{3}{4} \neq 1$ ✓ (thoả điều kiện hàm bậc nhất).

Vậy $a = \dfrac{3}{4}$.

Ví dụ mẫu 2: Cho hàm số bậc nhất $y = (a + 1)x + 5$ với $a \neq -1$. Tìm $a$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A(5; 2)$.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị đi qua $A(5; 2)$ có nghĩa là khi $x = 5$ thì $y = 2$.

Thay $x = 5$ và $y = 2$ vào công thức $y = (a + 1)x + 5$:

$$2 = (a + 1) \cdot 5 + 5$$

$$2 = 5a + 5 + 5$$

$$2 = 5a + 10$$

Chuyển $10$ sang vế trái:

$$2 – 10 = 5a$$

$$-8 = 5a$$

$$a = \dfrac{-8}{5}$$

Kiểm tra: $a = -\dfrac{8}{5} \neq -1$ ✓ (thoả điều kiện).

Vậy $a = -\dfrac{8}{5}$.

Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số $y = (a – 1)x + a$. Xác định $a$ để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $2$.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $2$, tức là khi $x = 0$ thì $y = 2$.

Thay $x = 0$ vào công thức:

$$y = (a – 1) \cdot 0 + a = a$$

Vậy điểm cắt trục tung có tung độ bằng $a$.

Theo yêu cầu: $a = 2$.

Kiểm tra: Với $a = 2$, hệ số của $x$ là $a – 1 = 2 – 1 = 1 \neq 0$ ✓ (hàm số vẫn là hàm bậc nhất).

Vậy $a = 2$. Hàm số là $y = x + 2$.

Ví dụ mẫu 4: Cho hàm số $y = (a – 1)x + a$. Xác định $a$ để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $-3$.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $-3$, tức là khi $x = -3$ thì $y = 0$.

Thay $x = -3$ và $y = 0$ vào công thức:

$$0 = (a – 1) \cdot (-3) + a$$

Khai triển vế phải:

$$0 = -3a + 3 + a$$

$$0 = -2a + 3$$

Chuyển vế:

$$2a = 3$$

$$a = \dfrac{3}{2}$$

Kiểm tra: Với $a = \dfrac{3}{2}$, hệ số của $x$ là $a – 1 = \dfrac{3}{2} – 1 = \dfrac{1}{2} \neq 0$ ✓.

Vậy $a = \dfrac{3}{2}$. Hàm số là $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$.

Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Phương pháp giải:

• Nếu $b = 0$ (hàm số $y = ax$): Vẽ đường thẳng qua gốc toạ độ $O(0; 0)$ và điểm $A(1; a)$.
• Nếu $b \neq 0$: Tìm hai giao điểm với hai trục toạ độ:
  • Giao trục $Oy$: cho $x = 0$ → $y = b$ → điểm $P(0; b)$.
  • Giao trục $Ox$: cho $y = 0$ → $x = -\dfrac{b}{a}$ → điểm $Q\left(-\dfrac{b}{a}; 0\right)$.
  • Vẽ đường thẳng đi qua $P$ và $Q$.
• Luôn kẻ mũi tên hai đầu (đường thẳng kéo dài), ghi tên hàm số bên cạnh.

Ví dụ mẫu 1: Vẽ đồ thị hàm số $y = 2x – 6$.

Lời giải chi tiết:

Đây là hàm bậc nhất với $a = 2$, $b = -6 \neq 0$. Ta tìm giao điểm với hai trục:

Cho $x = 0$: $y = 2 \cdot 0 – 6 = -6$. Được điểm $P(0; -6)$ trên trục $Oy$.

Cho $y = 0$: $2x – 6 = 0$, suy ra $2x = 6$, suy ra $x = 3$. Được điểm $Q(3; 0)$ trên trục $Ox$.

Vẽ đường thẳng đi qua $P(0; -6)$ và $Q(3; 0)$ ta được đồ thị hàm số $y = 2x – 6$.

Ví dụ mẫu 2: Vẽ đồ thị hàm số $y = -3x + 5$.

Lời giải chi tiết:

Đây là hàm bậc nhất với $a = -3$, $b = 5 \neq 0$.

Cho $x = 0$: $y = -3 \cdot 0 + 5 = 5$. Được điểm $P(0; 5)$ trên trục $Oy$.

Cho $y = 0$: $-3x + 5 = 0$, suy ra $-3x = -5$, suy ra $x = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67$. Được điểm $Q\left(\dfrac{5}{3}; 0\right)$ trên trục $Ox$.

Vẽ đường thẳng đi qua $P(0; 5)$ và $Q\left(\dfrac{5}{3}; 0\right)$ ta được đồ thị hàm số $y = -3x + 5$.

Ví dụ mẫu 3: Vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{3}{2}x$.

Lời giải chi tiết:

Đây là hàm bậc nhất với $a = \dfrac{3}{2}$, $b = 0$. Vì $b = 0$ nên đồ thị đi qua gốc toạ độ.

Ta xác định hai điểm:

Điểm $O(0; 0)$ (gốc toạ độ).

Cho $x = 2$: $y = \dfrac{3}{2} \cdot 2 = 3$. Được điểm $A(2; 3)$.

(Ở đây ta chọn $x = 2$ thay vì $x = 1$ để tránh toạ độ là phân số, giúp vẽ chính xác hơn.)

Vẽ đường thẳng đi qua $O(0; 0)$ và $A(2; 3)$ ta được đồ thị hàm số $y = \dfrac{3}{2}x$.

Dạng 3: Bài toán thực tế liên quan đến hàm số bậc nhất

Phương pháp giải:

Bước 1: Đọc đề, xác định đại lượng nào là biến ($x$), đại lượng nào là hàm số ($y$).

Bước 2: Lập công thức $y = ax + b$ từ dữ kiện đề bài. Trong đó: $b$ thường là phần cố định (thuê bao, chi phí cố định…), $a$ là đơn giá hay mức thay đổi trên mỗi đơn vị.

Bước 3: Trả lời câu hỏi: tính $y$ khi biết $x$ (thay số vào công thức), hoặc tìm $x$ khi biết $y$ (giải phương trình bậc nhất).

Ví dụ mẫu 1: Giá cước điện thoại cố định của một hãng viễn thông gồm cước thuê bao $22,000$ đồng/tháng và cước gọi $800$ đồng/phút.

a) Lập công thức tính số tiền cước điện thoại $y$ (đồng) phải trả trong tháng khi gọi $x$ phút.

b) Tính số tiền cước phải trả khi gọi $75$ phút.

c) Nếu số tiền cước phải trả là $94,000$ đồng thì trong tháng đó đã gọi bao nhiêu phút?

Lời giải chi tiết:

a) Số tiền cước điện thoại gồm hai phần:

• Cước thuê bao (cố định): $22,000$ đồng → đây chính là $b$.
• Cước gọi: $800$ đồng/phút × $x$ phút = $800x$ đồng → hệ số $a = 800$.

Công thức:

$$y = 800x + 22,000$$

Vì $a = 800 \neq 0$ nên đây là hàm số bậc nhất.

b) Khi gọi $x = 75$ phút:

$$y = 800 \times 75 + 22,000$$

$$y = 60,000 + 22,000$$

$$y = 82,000$$

Vậy số tiền cước phải trả là $82,000$ đồng.

c) Khi $y = 94,000$ đồng, ta cần tìm $x$:

$$94,000 = 800x + 22,000$$

Chuyển $22,000$ sang vế trái:

$$94,000 – 22,000 = 800x$$

$$72,000 = 800x$$

Chia hai vế cho $800$:

$$x = \dfrac{72,000}{800} = 90$$

Vậy trong tháng đó thuê bao đã gọi $90$ phút.

Kiểm tra: $800 \times 90 + 22,000 = 72,000 + 22,000 = 94,000$ ✓.

Ví dụ mẫu 2: Một xưởng sản xuất xe đạp có chi phí cố định hằng ngày là $36$ triệu đồng và mỗi chiếc xe đạp có chi phí sản xuất là $1{,}8$ triệu đồng.

a) Viết công thức hàm số bậc nhất biểu thị chi phí $y$ (triệu đồng) để sản xuất $x$ (chiếc xe đạp) trong một ngày.

b) Chi phí để sản xuất $15$ chiếc xe đạp trong một ngày là bao nhiêu?

c) Có thể sản xuất bao nhiêu chiếc xe đạp nếu chi phí trong ngày là $72$ triệu đồng?

Lời giải chi tiết:

a) Chi phí gồm hai phần:

• Chi phí cố định: $36$ triệu đồng → $b = 36$.
• Chi phí sản xuất: $1{,}8$ triệu/xe × $x$ xe = $1{,}8x$ triệu đồng → $a = 1{,}8$.

Công thức:

$$y = 1{,}8x + 36$$

b) Khi $x = 15$:

$$y = 1{,}8 \times 15 + 36 = 27 + 36 = 63$$

Vậy chi phí để sản xuất $15$ chiếc xe đạp là $63$ triệu đồng.

c) Khi $y = 72$ triệu đồng:

$$72 = 1{,}8x + 36$$

$$1{,}8x = 72 – 36$$

$$1{,}8x = 36$$

$$x = \dfrac{36}{1{,}8} = 20$$

Vậy có thể sản xuất $20$ chiếc xe đạp trong ngày đó.

Kiểm tra: $1{,}8 \times 20 + 36 = 36 + 36 = 72$ ✓.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Nhận biết nhanh hàm bậc nhất: Quan sát biến $x$ trong công thức. Nếu $x$ nằm ở mẫu số, nằm trong dấu căn, hoặc có bậc khác $1$ (như $x^2$) → không phải hàm bậc nhất. Nếu chưa rõ, hãy biến đổi về dạng $y = (\ldots)x + (\ldots)$ rồi kiểm tra hệ số của $x$ có khác $0$ không.

Mẹo 2 — Vẽ đồ thị nhanh bằng 2 điểm đặc biệt: Luôn ưu tiên cho $x = 0$ (được điểm trên trục tung) và $y = 0$ (được điểm trên trục hoành). Đây là hai giá trị dễ tính nhất. Nếu $b = 0$, thay bằng cặp $O(0; 0)$ và $A(1; a)$.

Mẹo 3 — Giao trục tung luôn là $(0; b)$: Nếu đề cho “đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $k$” → suy ra ngay $b = k$, không cần giải phương trình.

Mẹo 4 — Chọn $x$ cho toạ độ đẹp: Khi $a$ là phân số (ví dụ $a = \dfrac{3}{2}$), hãy chọn $x$ là bội của mẫu (ví dụ $x = 2$) để $y$ ra số nguyên, giúp vẽ đồ thị chính xác hơn.

Tổng kết

Qua Bài 28, các em cần nắm vững:

Hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$ ($a \neq 0$), trong đó $a$ là hệ số, $b$ là hạng tử tự do. Khi $b = 0$, hàm bậc nhất trở thành hàm tỉ lệ thuận $y = ax$. Để nhận biết, cần biến đổi về dạng chuẩn rồi kiểm tra $a \neq 0$.

Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng. Cách vẽ: nếu $b = 0$ thì vẽ qua $O(0; 0)$ và $A(1; a)$; nếu $b \neq 0$ thì vẽ qua hai giao điểm với hai trục: $P(0; b)$ và $Q\left(-\dfrac{b}{a}; 0\right)$.

Ba dạng bài tập cốt lõi: xác định tham số để hàm số thoả điều kiện (là hàm bậc nhất, đi qua điểm, cắt trục toạ độ), vẽ đồ thị hàm số bậc nhất, và bài toán thực tế lập công thức hàm bậc nhất. Nắm chắc bài này sẽ giúp các em học tốt các bài tiếp theo về hàm số đồng biến – nghịch biến và đường thẳng song song, cắt nhau.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du