Bài 38 giới thiệu hình chóp tam giác đều — một hình không gian quen thuộc xuất hiện nhiều trong thực tế, từ đỉnh Fansipan đến đèn trang trí. Các em sẽ học cách nhận biết các yếu tố của hình chóp (đỉnh, cạnh bên, mặt bên, đường cao, trung đoạn) và áp dụng công thức tính diện tích xung quanh và thể tích.

Bài học gồm hai phần chính: hình chóp tam giác đều (khái niệm, các yếu tố) và diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều (công thức và ứng dụng).

1. Hình chóp tam giác đều

Khái niệm

Hình chóp tam giác đều là hình có mặt đáy là một tam giác đều, và các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung một đỉnh. Đỉnh chung đó được gọi là đỉnh của hình chóp tam giác đều.

Các yếu tố của hình chóp tam giác đều

Xét hình chóp tam giác đều $S.ABC$:

• Đỉnh: $S$.
• Mặt đáy: tam giác đều $ABC$.
• Cạnh bên: $SA$, $SB$, $SC$ (ba cạnh bên bằng nhau).
• Mặt bên: tam giác $SAB$, $SBC$, $SAC$ (ba tam giác cân bằng nhau).
• Đường cao: đoạn thẳng $SO$ nối đỉnh $S$ với trọng tâm $O$ của tam giác đáy $ABC$. Đường cao vuông góc với mặt đáy.
• Trung đoạn: đường cao vẽ từ đỉnh $S$ của mỗi mặt bên xuống cạnh đáy tương ứng. Ví dụ: $SH$ là trung đoạn trên mặt bên $SAB$ (với $H$ là trung điểm $AB$).

Nhận xét

Hình chóp tam giác đều có:

• Đáy là tam giác đều.
• Mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.
• Chân đường cao ($O$) kẻ từ đỉnh tới mặt đáy là điểm cách đều các đỉnh của tam giác đáy (trọng tâm = tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều).

Tạo lập hình chóp tam giác đều

Có thể tạo hình chóp tam giác đều bằng cách cắt và gấp bìa cứng:

Bước 1: Vẽ hình khai triển — một tam giác đều (mặt đáy) ở giữa, ba tam giác cân bằng nhau (mặt bên) gắn vào ba cạnh.

Bước 2: Cắt theo viền.

Bước 3: Gấp ba mặt bên lên để chúng gặp nhau tại đỉnh.

2. Diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều

Diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng tổng diện tích ba mặt bên. Vì ba mặt bên là ba tam giác cân bằng nhau có cùng đáy (cạnh tam giác đều) và cùng chiều cao (trung đoạn), nên:

$$S_{xq} = 3 \times \dfrac{1}{2} \times a \times d = \dfrac{3a}{2} \times d = p \times d$$

Công thức: Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều:

$$S_{xq} = p \cdot d$$

Trong đó: $p$ là nửa chu vi đáy, $d$ là trung đoạn.

Với tam giác đều cạnh $a$: nửa chu vi $p = \dfrac{3a}{2}$.

Ví dụ 1 (SGK): Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy $5$ cm, trung đoạn $SH = 6$ cm.

Lời giải:

Nửa chu vi đáy: $p = \dfrac{1}{2}(5 + 5 + 5) = \dfrac{15}{2}$ (cm).

Trung đoạn: $d = SH = 6$ cm.

Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = p \cdot d = \dfrac{15}{2} \times 6 = 45 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Thể tích của hình chóp tam giác đều

Thể tích hình chóp tam giác đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao.

Công thức: Thể tích hình chóp tam giác đều:

$$V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$$

Trong đó: $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao của hình chóp.

Giải thích: Nếu hình chóp tam giác đều và hình lăng trụ đứng có cùng đáy, cùng chiều cao, thì thể tích hình chóp bằng đúng $\dfrac{1}{3}$ thể tích hình lăng trụ.

Ví dụ 2 (SGK): Tính thể tích hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $6$ cm, chiều cao $SO = 10$ cm. Cho biết $\sqrt{27} \approx 5{,}2$.

Lời giải:

Tính diện tích đáy (tam giác đều $ABC$ cạnh $6$ cm):

Kẻ $CH \perp AB$, $H$ là trung điểm $AB$. Khi đó $BH = HA = \dfrac{1}{2} AB = 3$ (cm).

Tam giác $AHC$ vuông tại $H$:

$$HA^2 + HC^2 = AC^2$$

$$3^2 + HC^2 = 6^2$$

$$HC^2 = 36 – 9 = 27$$

$$HC = \sqrt{27}$$

Diện tích tam giác $ABC$:

$$S = \dfrac{1}{2} \times AB \times CH = \dfrac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{27} = 3\sqrt{27} \text{ (cm}^2\text{)}$$

Thể tích hình chóp:

$$V = \dfrac{1}{3} \times S \times h = \dfrac{1}{3} \times 3\sqrt{27} \times 10 = 10\sqrt{27} \approx 10 \times 5{,}2 = 52 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định cạnh đáy $a$ và trung đoạn $d$.

• Nếu đề cho trực tiếp $a$ và $d$: áp dụng ngay công thức.
• Nếu đề cho cạnh đáy $a$ và cạnh bên $l$: tính trung đoạn bằng định lí Pythagore trên mặt bên. Mặt bên là tam giác cân đỉnh $S$, đáy là cạnh $a$. Trung đoạn $d$ là đường cao từ $S$ xuống đáy, chia đáy thành hai nửa $\dfrac{a}{2}$:

$$d = \sqrt{l^2 – \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}$$

Bước 2: Tính nửa chu vi đáy: $p = \dfrac{3a}{2}$.

Bước 3: Áp dụng $S_{xq} = p \cdot d$.

Ví dụ mẫu 1: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy $3$ cm và trung đoạn $4$ cm. Tính diện tích xung quanh.

Lời giải chi tiết:

Cạnh đáy $a = 3$ cm, trung đoạn $d = 4$ cm.

Nửa chu vi đáy:

$$p = \dfrac{3 \times 3}{2} = \dfrac{9}{2} \text{ (cm)}$$

Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = p \cdot d = \dfrac{9}{2} \times 4 = 18 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Ví dụ mẫu 2: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $6$ cm, cạnh bên bằng $5$ cm. Tính diện tích xung quanh.

Lời giải chi tiết:

Cạnh đáy $a = 6$ cm, cạnh bên $l = 5$ cm.

Đề không cho trung đoạn, ta cần tính. Xét mặt bên — là tam giác cân có đỉnh $S$, đáy là cạnh đáy dài $6$ cm, hai cạnh bên dài $5$ cm. Trung đoạn $d$ là đường cao từ đỉnh $S$ hạ xuống cạnh đáy.

Áp dụng định lí Pythagore (trung đoạn chia đáy mặt bên thành hai nửa, mỗi nửa $= \dfrac{6}{2} = 3$ cm):

$$d^2 + 3^2 = 5^2$$

$$d^2 = 25 – 9 = 16$$

$$d = 4 \text{ (cm)}$$

Nửa chu vi đáy:

$$p = \dfrac{3 \times 6}{2} = 9 \text{ (cm)}$$

Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = p \cdot d = 9 \times 4 = 36 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Ví dụ mẫu 3: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh bên $SC = 6$ cm, cạnh đáy $AB = 8$ cm.

a) Tính trung đoạn.

b) Tính diện tích xung quanh.

Lời giải chi tiết:

a) Cạnh đáy $a = 8$ cm, cạnh bên $l = 6$ cm.

Xét mặt bên — tam giác cân, đáy $8$ cm, hai cạnh bên $6$ cm. Trung đoạn $d$:

$$d^2 + \left(\dfrac{8}{2}\right)^2 = 6^2$$

$$d^2 + 16 = 36$$

$$d^2 = 20$$

$$d = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ (cm)}$$

b) Nửa chu vi đáy:

$$p = \dfrac{3 \times 8}{2} = 12 \text{ (cm)}$$

Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = p \cdot d = 12 \times 2\sqrt{5} = 24\sqrt{5} \text{ (cm}^2\text{)}$$

Dạng 2: Tính thể tích hình chóp tam giác đều

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính diện tích đáy $S$ (diện tích tam giác đều cạnh $a$).

• Kẻ đường cao $CH$ của tam giác đều ($H$ là trung điểm cạnh đối diện).
• Tính $CH$ bằng Pythagore: $CH = \sqrt{a^2 – \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 – \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
• Diện tích: $S = \dfrac{1}{2} \times a \times CH = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

(Hoặc nếu đề cho sẵn diện tích đáy thì dùng luôn.)

Bước 2: Xác định chiều cao $h$ (đường cao $SO$ của hình chóp).

Bước 3: Áp dụng $V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$.

Ví dụ mẫu 1: Cho hình chóp tam giác đều có diện tích đáy $12$ cm$^2$ và chiều cao $4$ cm. Tính thể tích.

Lời giải chi tiết:

Đề cho sẵn diện tích đáy $S = 12$ cm$^2$ và chiều cao $h = 4$ cm.

Áp dụng công thức:

$$V = \dfrac{1}{3} \times S \times h = \dfrac{1}{3} \times 12 \times 4 = 16 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Ví dụ mẫu 2: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có $BC = 6$ cm và chiều cao $SO = 6$ cm. Tính thể tích. Cho biết $\sqrt{27} \approx 5{,}2$.

Lời giải chi tiết:

Tính diện tích đáy (tam giác đều cạnh $a = 6$ cm):

Kẻ $CH \perp AB$, $H$ là trung điểm $AB$, nên $AH = 3$ cm.

Tam giác $AHC$ vuông tại $H$:

$$AH^2 + HC^2 = AC^2$$

$$3^2 + HC^2 = 6^2$$

$$HC^2 = 36 – 9 = 27$$

$$HC = \sqrt{27}$$

Diện tích tam giác đều $ABC$:

$$S = \dfrac{1}{2} \times AB \times CH = \dfrac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{27} = 3\sqrt{27} \text{ (cm}^2\text{)}$$

Thể tích hình chóp:

$$V = \dfrac{1}{3} \times S \times h = \dfrac{1}{3} \times 3\sqrt{27} \times 6 = 6\sqrt{27} \approx 6 \times 5{,}2 = 31{,}2 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Ví dụ mẫu 3: Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy $AC = 8$ cm và chiều cao $SO = 10$ cm.

a) Tính diện tích đáy.

b) Tính thể tích.

Lời giải chi tiết:

a) Tam giác đều $ABC$ cạnh $a = 8$ cm.

Kẻ $CH \perp AB$, $H$ là trung điểm $AB$, nên $AH = 4$ cm.

Tam giác $AHC$ vuông tại $H$:

$$AH^2 + HC^2 = AC^2$$

$$4^2 + HC^2 = 8^2$$

$$HC^2 = 64 – 16 = 48$$

$$HC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$

Diện tích đáy:

$$S = \dfrac{1}{2} \times AB \times CH = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \text{ (cm}^2\text{)}$$

b) Thể tích:

$$V = \dfrac{1}{3} \times S \times h = \dfrac{1}{3} \times 16\sqrt{3} \times 10 = \dfrac{160\sqrt{3}}{3} \approx \dfrac{160 \times 1{,}732}{3} \approx 92{,}4 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Dạng 3: Bài toán tổng hợp và thực tế

Phương pháp giải:

Đây là dạng kết hợp cả diện tích xung quanh và thể tích, hoặc yêu cầu tính thêm trung đoạn, chiều cao từ các dữ kiện ban đầu. Các bước chung:

• Tính trung đoạn $d$ từ cạnh bên và cạnh đáy (Pythagore trên mặt bên).
• Tính chiều cao $SO$ từ cạnh bên và bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy. Trong tam giác đều cạnh $a$, trọng tâm $O$ cách mỗi đỉnh: $OA = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$. Áp dụng Pythagore: $SO = \sqrt{SA^2 – OA^2}$.
• Áp dụng công thức $S_{xq}$ và $V$ đã học.

Với bài toán thực tế: đọc kỹ đề, xác định đâu là cạnh đáy, cạnh bên, trung đoạn, chiều cao, rồi áp dụng công thức phù hợp.

Ví dụ mẫu 1 (BT 10.3): Cho hình chóp tam giác đều $S.MNP$ có cạnh đáy $6$ cm, chiều cao $5$ cm. Cho biết $\sqrt{27} \approx 5{,}2$.

a) Tính diện tích tam giác $MNP$.

b) Tính thể tích hình chóp $S.MNP$.

Lời giải chi tiết:

a) Tam giác đều $MNP$ cạnh $a = 6$ cm. Kẻ $PH \perp MN$, $H$ là trung điểm $MN$, nên $MH = 3$ cm.

$$MH^2 + PH^2 = MP^2$$

$$3^2 + PH^2 = 6^2$$

$$PH^2 = 27$$

$$PH = \sqrt{27} \approx 5{,}2 \text{ (cm)}$$

Diện tích:

$$S_{MNP} = \dfrac{1}{2} \times MN \times PH = \dfrac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{27} = 3\sqrt{27} \approx 3 \times 5{,}2 = 15{,}6 \text{ (cm}^2\text{)}$$

b) Chiều cao $h = 5$ cm. Thể tích:

$$V = \dfrac{1}{3} \times S \times h = \dfrac{1}{3} \times 3\sqrt{27} \times 5 = 5\sqrt{27} \approx 5 \times 5{,}2 = 26 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Ví dụ mẫu 2: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy và đều bằng $6$ cm.

a) Tính trung đoạn.

b) Tính diện tích xung quanh.

c) Tính chiều cao $SO$.

d) Tính thể tích.

Lời giải chi tiết:

Cạnh đáy $a = 6$ cm, cạnh bên $l = 6$ cm (tất cả các cạnh bằng nhau → tứ diện đều).

a) Mặt bên là tam giác đều cạnh $6$. Trung đoạn = chiều cao tam giác đều cạnh $6$:

$$d^2 + 3^2 = 6^2$$

$$d^2 = 36 – 9 = 27$$

$$d = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ (cm)}$$

b) Nửa chu vi đáy: $p = \dfrac{3 \times 6}{2} = 9$ (cm).

$$S_{xq} = p \cdot d = 9 \times 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3} \text{ (cm}^2\text{)}$$

c) Trọng tâm $O$ của tam giác đều $ABC$ cách mỗi đỉnh:

$$OA = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2}{3} \times 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ (cm)}$$

Áp dụng Pythagore trong tam giác vuông $SOA$ ($SO \perp$ mặt đáy):

$$SO^2 + OA^2 = SA^2$$

$$SO^2 + (2\sqrt{3})^2 = 6^2$$

$$SO^2 + 12 = 36$$

$$SO^2 = 24$$

$$SO = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ (cm)}$$

d) Diện tích đáy (tam giác đều cạnh $6$):

$$S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{27} = 3\sqrt{27} = 9\sqrt{3} \text{ (cm}^2\text{)}$$

Thể tích:

$$V = \dfrac{1}{3} \times S \times h = \dfrac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times 2\sqrt{6} = \dfrac{18\sqrt{18}}{3} = 6\sqrt{18} = 6 \times 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \text{ (cm}^3\text{)}$$

Ví dụ mẫu 3 (BT 10.4): Nhà bạn Thu có một đèn trang trí có dạng hình chóp tam giác đều. Các cạnh của hình chóp đều bằng nhau và bằng $20$ cm. Tính diện tích giấy để dán các mặt bên. Cho biết $\sqrt{300} \approx 17{,}32$.

Lời giải chi tiết:

Cạnh đáy $a = 20$ cm, cạnh bên $l = 20$ cm (tất cả bằng nhau).

Tính trung đoạn: Mặt bên là tam giác đều cạnh $20$.

$$d^2 + \left(\dfrac{20}{2}\right)^2 = 20^2$$

$$d^2 + 100 = 400$$

$$d^2 = 300$$

$$d = \sqrt{300} \approx 17{,}32 \text{ (cm)}$$

Nửa chu vi đáy: $p = \dfrac{3 \times 20}{2} = 30$ (cm).

Diện tích xung quanh (diện tích giấy cần dùng):

$$S_{xq} = p \cdot d = 30 \times \sqrt{300} \approx 30 \times 17{,}32 = 519{,}6 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Vậy bạn Thu cần khoảng $519{,}6$ cm$^2$ giấy màu.

Ví dụ mẫu 4 (Vận dụng – Bài toán Fansipan): Trên đỉnh Fansipan có đặt chóp inox dạng hình chóp tam giác đều với cạnh đáy $60$ cm, cạnh bên $96{,}4$ cm. Tính tổng diện tích các mặt bên.

Lời giải chi tiết:

Cạnh đáy $a = 60$ cm, cạnh bên $l = 96{,}4$ cm.

Tính trung đoạn:

$$d^2 + \left(\dfrac{60}{2}\right)^2 = 96{,}4^2$$

$$d^2 + 900 = 9292{,}96$$

$$d^2 = 8392{,}96$$

$$d \approx 91{,}6 \text{ (cm)}$$

Nửa chu vi đáy: $p = \dfrac{3 \times 60}{2} = 90$ (cm).

Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = p \cdot d = 90 \times 91{,}6 = 8244 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Vậy tổng diện tích các mặt bên của chóp inox khoảng $8244$ cm$^2$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Phân biệt rõ “dùng gì cho công thức nào”: $S_{xq} = p \cdot d$ cần trung đoạn $d$. $V = \dfrac{1}{3}Sh$ cần chiều cao $h$. Đọc kỹ đề xem cho trung đoạn hay chiều cao.

Mẹo 2 — Tính trung đoạn từ cạnh bên: Nếu đề cho cạnh đáy $a$ và cạnh bên $l$ mà không cho trung đoạn, dùng Pythagore trên mặt bên: $d = \sqrt{l^2 – \dfrac{a^2}{4}}$.

Mẹo 3 — Diện tích tam giác đều cạnh $a$: Kẻ đường cao, tính bằng Pythagore: chiều cao $= \sqrt{a^2 – \dfrac{a^2}{4}}$. Diện tích $S = \dfrac{1}{2} \times a \times \sqrt{a^2 – \dfrac{a^2}{4}}$. Kết quả rút gọn: $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Mẹo 4 — Tính chiều cao $SO$ từ cạnh bên: Trong tam giác đều cạnh $a$, trọng tâm $O$ cách mỗi đỉnh $OA = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$. Sau đó: $SO = \sqrt{SA^2 – OA^2}$.

Tổng kết

Qua Bài 38, các em cần nắm vững:

Hình chóp tam giác đều có mặt đáy là tam giác đều, các mặt bên là tam giác cân bằng nhau chung đỉnh. Các yếu tố cần phân biệt: đỉnh, cạnh bên, mặt bên, mặt đáy, đường cao (nối đỉnh với trọng tâm đáy) và trung đoạn (đường cao mặt bên).

Hai công thức quan trọng: Diện tích xung quanh $S_{xq} = p \cdot d$ (nửa chu vi đáy nhân trung đoạn) và thể tích $V = \dfrac{1}{3}Sh$ (một phần ba diện tích đáy nhân chiều cao).

Ba dạng bài tập cốt lõi: tính diện tích xung quanh (từ cạnh đáy và trung đoạn hoặc cạnh bên), tính thể tích (từ diện tích đáy và chiều cao), và bài toán tổng hợp – thực tế kết hợp cả hai công thức. Kỹ năng then chốt là phân biệt trung đoạn và đường cao, áp dụng Pythagore để tìm các đại lượng chưa biết.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du