Hình chữ nhật là tứ giác quen thuộc nhất trong đời sống — mặt bàn, trang vở, màn hình điện thoại… đều là hình chữ nhật. Về mặt toán học, hình chữ nhật là trường hợp đặc biệt của cả hình bình hành lẫn hình thang cân, nên nó thừa hưởng tất cả tính chất của hai loại hình này, đồng thời có thêm những tính chất riêng đặc biệt.

1. Hình chữ nhật

Khái niệm hình chữ nhật và tính chất

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Chú ý: Nếu một tứ giác có ba góc vuông thì góc còn lại cũng là góc vuông (vì tổng bốn góc bằng $360°$), do đó tứ giác đó là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật có phải hình bình hành không? Có. Vì hình chữ nhật có các cạnh đối song song (suy ra từ các góc vuông), nên nó là hình bình hành. Hình chữ nhật cũng là hình thang cân (vì có hai góc kề mỗi đáy đều bằng $90°$).

Do đó: Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và của hình thang cân.

Ngoài ra, hình chữ nhật còn có tính chất riêng về đường chéo:

Định lí 1: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Cụ thể, trong hình chữ nhật $ABCD$ với $O$ là giao điểm hai đường chéo:

$$AC = BD \quad \text{và} \quad OA = OB = OC = OD = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{BD}{2}$$

Nhận xét quan trọng: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Đây là hệ quả trực tiếp từ Định lí 1 (vì tam giác vuông là nửa hình chữ nhật).

2. Dấu hiệu nhận biết

Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

Ngoài cách nhận biết bằng định nghĩa (tứ giác có bốn góc vuông, hoặc ba góc vuông), ta còn có thể nhận biết hình chữ nhật từ hình bình hành:

Định lí 2:

a) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

b) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Tóm lại, có 4 cách nhận biết hình chữ nhật:

1. Tứ giác có bốn góc vuông (định nghĩa).
2. Tứ giác có ba góc vuông (chú ý từ định nghĩa).
3. Hình bình hành có một góc vuông (Định lí 2a).
4. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau (Định lí 2b).

Ngoài ra, từ Ví dụ 2 SGK ta còn có dấu hiệu bổ sung:

5. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường → hình chữ nhật (vì trước hết nó là hình bình hành theo đường chéo, rồi hình bình hành có đường chéo bằng nhau thì là hình chữ nhật).

Nhận xét bổ sung: Nếu tam giác có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng thì tam giác đó là tam giác vuông (tại đỉnh đối diện cạnh đó). Đây là định lí đảo của nhận xét về đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

Phương pháp giải:

Cách 1 — Từ định nghĩa: Chứng minh tứ giác có bốn góc vuông (hoặc ba góc vuông).

Cách 2 — Từ hình bình hành: Chứng minh tứ giác là hình bình hành trước (dùng 5 dấu hiệu nhận biết hình bình hành), sau đó chứng minh thêm một trong hai điều kiện: có một góc vuông, hoặc hai đường chéo bằng nhau.

Cách 3 — Đường chéo: Chứng minh tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ví dụ mẫu 1 (BT 3.27): Cho tam giác $ABC$, đường cao $AH$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$, $N$ là điểm sao cho $M$ là trung điểm của $HN$. Chứng minh tứ giác $AHCN$ là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết:

Vì $M$ là trung điểm của $AC$ (giả thiết) và $M$ là trung điểm của $HN$ (giả thiết), nên tứ giác $AHCN$ có hai đường chéo $AC$ và $HN$ cắt nhau tại trung điểm $M$ mỗi đường.

Suy ra $AHCN$ là hình bình hành (Định lí 3b bài hình bình hành).

Mà $AH$ là đường cao nên $\widehat{AHC} = 90°$, tức hình bình hành $AHCN$ có một góc vuông.

Theo Định lí 2a, hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

Vậy $AHCN$ là hình chữ nhật.

Ví dụ mẫu 2 (Bài 2 tự luyện): Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AB < AC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho $MD = MA$.

a) Chứng minh $ABCD$ là hình chữ nhật.

b) Lấy điểm $E$ sao cho $B$ là trung điểm của $AE$. Chứng minh $BEDC$ là hình bình hành.

c) $EM$ cắt $BD$ tại $K$. Chứng minh $EK = 2KM$.

Lời giải chi tiết:

a) Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $M$.

Mà $M$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết) và $M$ là trung điểm của $AD$ (vì $MD = MA$).

Suy ra $ABCD$ là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Lại có $\widehat{BAC} = 90°$ (giả thiết), nên hình bình hành $ABCD$ có một góc vuông.

Vậy $ABCD$ là hình chữ nhật (Định lí 2a).

b) Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB \parallel CD$ và $AB = CD$.

Mà $BE = AB$ (vì $B$ là trung điểm $AE$), suy ra $BE = CD$.

Và $BE \parallel CD$ (vì $B$, $A$, $E$ thẳng hàng, $AB \parallel CD$).

Tứ giác $BEDC$ có một cặp cạnh đối $BE$, $CD$ song song và bằng nhau → $BEDC$ là hình bình hành.

c) Xét $\triangle AED$:

• $B$ là trung điểm $AE$ (giả thiết)
• $M$ là trung điểm $AD$ (chứng minh trên)

Nên $BM$ và $EM$ lần lượt đi qua trung điểm hai cạnh. Mà $DB$ là đường trung tuyến từ $D$ (qua trung điểm $B$ của $AE$… không đúng).

Cách đúng: Trong $\triangle AED$, ta có $M$ là trung điểm $AD$ và $B$ là trung điểm $AE$. Suy ra $BM$ là đường trung bình → $BM \parallel DE$.

Lại có $K$ là giao điểm $EM$ và $BD$. Xét $\triangle AED$: $EM$ và $DB$ là hai đường trung tuyến (vì $M$ là trung điểm $AD$, $B$ là trung điểm $AE$). Hai đường trung tuyến cắt nhau tại $K$ nên $K$ là trọng tâm tam giác $AED$.

Vậy $EK = 2KM$ (tính chất trọng tâm chia đường trung tuyến theo tỉ lệ $2:1$).

Ví dụ mẫu 3 (Bài 1 tự luyện): Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao, $AM$ là đường trung tuyến. Qua $H$ kẻ $HD \parallel AC$ ($D \in AB$) và $HP \parallel AB$ ($P \in AC$). Đoạn $DP$ cắt $AH$, $AM$ lần lượt tại $O$ và $N$.

a) Chứng minh $AH = DP$.

b) $\triangle MAC$ là tam giác gì?

c) Chứng minh $\triangle APN$ là tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $DH \parallel AC$ và $AC \perp AB$, suy ra $DH \perp AB$ → $\widehat{ADH} = 90°$.

Vì $HP \parallel AB$ và $AB \perp AC$, suy ra $HP \perp AC$ → $\widehat{APH} = 90°$.

Tứ giác $ADHP$ có ba góc vuông ($\widehat{A} = \widehat{D} = \widehat{P} = 90°$) nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo bằng nhau: $AH = DP$.

b) $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$.

Theo nhận xét: đường trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, nên $AM = \dfrac{BC}{2} = MB = MC$.

Suy ra $\triangle MAC$ cân tại $M$.

c) Ta có $\widehat{MAC} = \widehat{MCA}$ (tam giác $MAC$ cân tại $M$), mà $\widehat{MCA} = \widehat{BHD}$ (đồng vị, vì $DH \parallel AC$).

$ADHP$ là hình chữ nhật nên $OD = OP = OA = OH$ (bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật → giao điểm đường chéo cách đều 4 đỉnh).

Suy ra $\widehat{APN} = \widehat{ODH}$ (so le trong).

Vì $\triangle ODH$ cân tại $O$ nên $\widehat{ODH} = \widehat{OHD}$.

Khi đó: $\widehat{NAP} + \widehat{APN} = \widehat{BHP} + \widehat{ODH} = \widehat{BHP} + \widehat{OHD} = 90°$ (vì $\widehat{BHA} = 90°$).

Suy ra $\widehat{ANP} = 180° – 90° = 90°$.

Vậy $\triangle APN$ vuông tại $N$.

Dạng 2: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất hình chữ nhật

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: trong hình chữ nhật $OA = OB = OC = OD$ (giao điểm đường chéo cách đều bốn đỉnh). Kết hợp chứng minh tam giác bằng nhau (c.c.c, c.g.c…) để suy ra các đoạn thẳng bằng nhau.

Ví dụ mẫu (Ví dụ 1 SGK): Cho hình chữ nhật $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Chứng minh $\triangle OAB = \triangle ODC$.

Lời giải chi tiết:

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AC = BD$ và $O$ là trung điểm của $AC$, $BD$.

Suy ra:

$$OA = OC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}BD = OB = OD$$

Hai tam giác $OAB$ và $ODC$ có:

• $OA = OD$ (chứng minh trên)
• $OB = OC$ (chứng minh trên)
• $AB = CD$ (cạnh đối hình chữ nhật)

Vậy $\triangle OAB = \triangle ODC$ (c.c.c).

Dạng 3: Kiểm tra hình chữ nhật bằng dụng cụ

Phương pháp giải:

Bằng ê ke (BT 3.25): Dùng ê ke kiểm tra xem tứ giác có ba góc vuông không. Nếu có, góc thứ tư cũng vuông → hình chữ nhật.

Bằng compa (BT 3.26): Dùng compa đo hai đường chéo. Nếu hai đường chéo bằng nhau thì kiểm tra thêm chúng có cắt nhau tại trung điểm mỗi đường không (dùng compa so sánh hai nửa đường chéo). Nếu thỏa cả hai → hình chữ nhật.

Giải thích: Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường → tứ giác là hình bình hành (theo đường chéo) + đường chéo bằng nhau → hình chữ nhật (Định lí 2b).

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh bài toán về hình chữ nhật

Mẹo 1 — Nhận biết nhanh: Thấy tứ giác có 3 góc vuông → hình chữ nhật ngay (không cần kiểm tra góc thứ 4). Thấy hình bình hành + 1 góc vuông → hình chữ nhật. Thấy hình bình hành + đường chéo bằng nhau → hình chữ nhật.

Mẹo 2 — Giao điểm đường chéo: Trong hình chữ nhật, giao điểm $O$ cách đều 4 đỉnh ($OA = OB = OC = OD$). Điều này giúp tạo ra 4 tam giác cân rất hữu ích khi chứng minh.

Mẹo 3 — Đường trung tuyến tam giác vuông: Nếu đề cho tam giác vuông, hãy nhớ ngay: đường trung tuyến ứng cạnh huyền = $\dfrac{1}{2}$ cạnh huyền. Ngược lại: đường trung tuyến = $\dfrac{1}{2}$ cạnh tương ứng → tam giác vuông.

Mẹo 4 — Chiến thuật chứng minh phổ biến nhất: Bước 1: Chứng minh hình bình hành (dùng đường chéo chia đôi nhau, hoặc cạnh đối song song + bằng nhau). Bước 2: Chứng minh thêm góc vuông hoặc đường chéo bằng nhau → kết luận hình chữ nhật.

Mẹo 5 — Tổng hợp tính chất:

$$\text{Hình chữ nhật } ABCD \Rightarrow \begin{cases} \widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90° \\ AB = CD, \; AD = BC \\ AC = BD \\ OA = OB = OC = OD \end{cases}$$

Tổng kết

Qua Bài 13 – Hình chữ nhật, các em cần nắm vững:

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Nó là trường hợp đặc biệt của cả hình bình hành lẫn hình thang cân, nên có tất cả tính chất của hai loại hình này.

Tính chất riêng: Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Giao điểm cách đều bốn đỉnh.

Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có bốn (hoặc ba) góc vuông; hình bình hành có một góc vuông; hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau; tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Nhận xét quan trọng: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền (và ngược lại).

Nắm chắc bài này sẽ giúp các em học tiếp Bài 14 – Hình thoi và Bài 15 – Hình vuông một cách dễ dàng.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du