Sau khi đã nắm vững kiến thức về đơn thức ở bài trước, trong bài này các em sẽ được tìm hiểu về đa thức — một khái niệm mở rộng và quan trọng hơn. Đa thức xuất hiện rất nhiều trong các bài toán thực tế, từ tính diện tích, thể tích cho đến các bài toán kinh tế đơn giản.

Chẳng hạn, biểu thức biểu thị tổng diện tích của hình tạo bởi một tam giác vuông (có hai cạnh góc vuông là $x$ và $y$) cùng hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông đó là:

$$x^2 + y^2 + \dfrac{1}{2}xy$$

Đây chính là một ví dụ về đa thức hai biến. Vậy đa thức được định nghĩa như thế nào? Cách thu gọn và tìm bậc ra sao? Chúng ta cùng tìm hiểu chi tiết trong bài học dưới đây.

1. Khái niệm đa thức

Đa thức và các hạng tử của đa thức

Ở lớp dưới, các em đã biết đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến. Ví dụ: $x^4 + 3x^3 – 2x^2 + 1$ là đa thức một biến $x$.

Tương tự, khi ta lấy nhiều đơn thức (có thể chứa nhiều biến khác nhau) rồi cộng chúng lại, ta sẽ được một đa thức nhiều biến (gọi tắt là đa thức).

Đa thức là tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng đó được gọi là một hạng tử của đa thức.

Chú ý: Mỗi đơn thức cũng được coi là một đa thức (đa thức chỉ có một hạng tử).

Ví dụ: Xác định các hạng tử của đa thức $B = 2x^3 – 5x^2y + 4xy^2 – y^3 + 2xy – 3$.

Ta viết $B$ dưới dạng tổng của 6 đơn thức:

$$B = 2x^3 + (-5x^2y) + 4xy^2 + (-y^3) + 2xy + (-3)$$

Vậy đa thức $B$ có 6 hạng tử là: $2x^3$; $-5x^2y$; $4xy^2$; $-y^3$; $2xy$ và $-3$.

Cách nhận biết: Để xác định các hạng tử, ta tách đa thức thành tổng các đơn thức. Mỗi hạng tử bao gồm cả dấu đứng trước nó.

Biểu thức nào là đa thức?

Một biểu thức là đa thức khi nó là tổng của các đơn thức. Những biểu thức chứa biến ở mẫu, chứa căn bậc hai của biến, hoặc chứa biến trong mẫu của phân số thì không phải là đa thức.

Là đa thức: $3xy^2 – 1$; $\quad 2x + 3y$; $\quad x^5$; $\quad 2024$; $\quad 3x^2y^2 – 5x^3y + 2{,}4$

Không phải đa thức: $x + \dfrac{1}{x}$ (biến ở mẫu); $\quad x + \sqrt{xy} + y$ (căn bậc hai của biến); $\quad \dfrac{1}{x^2 + x + 1}$ (biến ở mẫu)

2. Đa thức thu gọn

Đa thức thu gọn và cách thu gọn một đa thức

Xét hai đa thức sau:

• $A = x^2 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 + xy – 1$: Không có hai hạng tử nào đồng dạng → $A$ đã là đa thức thu gọn.
• $B = 2x^2 – 3xy + x^2 – 3y^2 + 5xy$: Có các cặp hạng tử đồng dạng ($2x^2$ với $x^2$; $-3xy$ với $5xy$) → $B$ chưa thu gọn.

Đa thức thu gọn là đa thức không có hai hạng tử nào đồng dạng với nhau.

Cách thu gọn đa thức: Nhóm các hạng tử đồng dạng lại, rồi cộng (trừ) các hệ số của chúng, giữ nguyên phần biến.

Ví dụ: Thu gọn đa thức $B = 2x^2 – 3xy + x^2 – 3y^2 + 5xy$:

$$B = (2x^2 + x^2) + (-3xy + 5xy) – 3y^2$$

$$= 3x^2 + 2xy – 3y^2$$

Đa thức $3x^2 + 2xy – 3y^2$ chính là dạng thu gọn của $B$.

Chú ý: Ta thường viết đa thức dưới dạng thu gọn (trừ khi đề bài yêu cầu khác).

Bậc của đa thức

Bậc của một đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

Một số lưu ý quan trọng:

• Một đa thức thu gọn có thể có nhiều hạng tử cùng bậc cao nhất.
• Một số khác $0$ bất kì được coi là đa thức bậc 0.
• Số $0$ cũng là một đa thức, gọi là đa thức không. Nó không có bậc.
• Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó.

Ví dụ: Cho đa thức $Q = 2x^4 + \dfrac{1}{2}xyz – 2x^4 – \dfrac{3}{2}xyz + 3x^2y – 4z$.

Thu gọn:

$$Q = (2x^4 – 2x^4) + \left(\dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{2}\right)xyz + 3x^2y – 4z$$

$$= -xyz + 3x^2y – 4z$$

Trong kết quả, hai hạng tử $-xyz$ và $3x^2y$ cùng có bậc $3$; hạng tử $-4z$ có bậc $1$.

Vậy bậc của đa thức $Q$ là $3$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết đa thức và xác định hạng tử

Phương pháp giải:

Bước 1: Kiểm tra xem biểu thức có phải là tổng của các đơn thức hay không.

Bước 2: Nếu biểu thức chứa biến ở mẫu, căn bậc hai của biến, hoặc biến trong mẫu phân thức → không phải đa thức.

Bước 3: Nếu là đa thức, tách biểu thức thành tổng các đơn thức để liệt kê các hạng tử (mỗi hạng tử kèm theo dấu phía trước).

Ví dụ mẫu: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?

$$-x^2 + 3x + 1; \quad \dfrac{x}{\sqrt{5}}; \quad x – \dfrac{\sqrt{5}}{x}; \quad 2024; \quad 3x^2y^2 – 5x^3y + 2{,}4; \quad \dfrac{1}{x^2 + x + 1}$$

Lời giải chi tiết:

Ta xét từng biểu thức:

• $-x^2 + 3x + 1$: tổng của ba đơn thức $-x^2$, $3x$, $1$ → là đa thức.
• $\dfrac{x}{\sqrt{5}}$: viết lại thành $\dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot x$, đây là tích của một số ($\dfrac{1}{\sqrt{5}}$) với biến $x$ → đây là một đơn thức → là đa thức.
• $x – \dfrac{\sqrt{5}}{x}$: phần $\dfrac{\sqrt{5}}{x}$ có biến $x$ nằm ở mẫu → không phải đa thức.
• $2024$: là một số, tức là một đơn thức → là đa thức (đa thức bậc 0).
• $3x^2y^2 – 5x^3y + 2{,}4$: tổng của ba đơn thức → là đa thức.
• $\dfrac{1}{x^2 + x + 1}$: có biến nằm ở mẫu → không phải đa thức.

Vậy các đa thức là: $-x^2 + 3x + 1$; $\quad \dfrac{x}{\sqrt{5}}$; $\quad 2024$; $\quad 3x^2y^2 – 5x^3y + 2{,}4$.

Dạng 2: Thu gọn đa thức và tìm bậc

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm các nhóm hạng tử đồng dạng trong đa thức (các hạng tử có cùng phần biến).

Bước 2: Nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau. Cộng (hoặc trừ) các hệ số, giữ nguyên phần biến.

Bước 3: Viết đa thức thu gọn (các hạng tử không đồng dạng giữ nguyên).

Bước 4: Tìm bậc = bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức thu gọn.

Ví dụ mẫu 1: Thu gọn các đa thức sau.

a) $5x^4 – 2x^3y + 20xy^3 + 6x^3y – 3x^2y^2 + xy^3 – y^4$

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm các hạng tử đồng dạng:

• $-2x^3y$ và $6x^3y$ (cùng phần biến $x^3y$)
• $20xy^3$ và $xy^3$ (cùng phần biến $xy^3$)
• Các hạng tử còn lại ($5x^4$, $-3x^2y^2$, $-y^4$) không có hạng tử đồng dạng.

Bước 2: Nhóm và cộng hệ số:

$$= 5x^4 + (-2 + 6)x^3y + (20 + 1)xy^3 – 3x^2y^2 – y^4$$

Bước 3: Viết kết quả:

$$= 5x^4 + 4x^3y + 21xy^3 – 3x^2y^2 – y^4$$

b) $0{,}6x^3 + x^2z – 2{,}7xy^2 + 0{,}4x^3 + 1{,}7xy^2$

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm hạng tử đồng dạng:

• $0{,}6x^3$ và $0{,}4x^3$ (cùng phần biến $x^3$)
• $-2{,}7xy^2$ và $1{,}7xy^2$ (cùng phần biến $xy^2$)
• $x^2z$ không có hạng tử đồng dạng.

Bước 2: Nhóm và cộng hệ số:

$$= (0{,}6 + 0{,}4)x^3 + x^2z + (-2{,}7 + 1{,}7)xy^2$$

Bước 3: Viết kết quả:

$$= x^3 + x^2z – xy^2$$

Ví dụ mẫu 2: Thu gọn (nếu cần) và tìm bậc của mỗi đa thức sau.

a) $x^4 – 3x^2y^2 + 3xy^2 – x^4 + 1$

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm hạng tử đồng dạng: $x^4$ và $-x^4$.

Bước 2: Thu gọn:

$$= (x^4 – x^4) – 3x^2y^2 + 3xy^2 + 1$$

$$= -3x^2y^2 + 3xy^2 + 1$$

Bước 3: Tìm bậc từng hạng tử:

• $-3x^2y^2$: bậc $2 + 2 = 4$
• $3xy^2$: bậc $1 + 2 = 3$
• $1$: bậc $0$

Hạng tử có bậc cao nhất là $-3x^2y^2$ với bậc $4$.

Vậy bậc của đa thức là $4$.

b) $5x^2y + 8xy – 2x^2 – 5x^2y + x^2$

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm hạng tử đồng dạng:

• $5x^2y$ và $-5x^2y$ (cùng phần biến $x^2y$)
• $-2x^2$ và $x^2$ (cùng phần biến $x^2$)
• $8xy$ không có hạng tử đồng dạng.

Bước 2: Thu gọn:

$$= (5 – 5)x^2y + 8xy + (-2 + 1)x^2$$

$$= 8xy – x^2$$

Bước 3: Tìm bậc từng hạng tử:

• $8xy$: bậc $1 + 1 = 2$
• $-x^2$: bậc $2$

Cả hai hạng tử đều có bậc $2$.

Vậy bậc của đa thức là $2$.

Dạng 3: Thu gọn đa thức rồi tính giá trị

Phương pháp giải:

Bước 1: Thu gọn đa thức (nhóm và cộng các hạng tử đồng dạng).

Bước 2: Thay giá trị của từng biến vào đa thức thu gọn. Nhớ đặt số âm trong ngoặc.

Bước 3: Thực hiện phép tính lũy thừa trước, rồi nhân, rồi cộng/trừ để ra kết quả.

Ví dụ mẫu 1: Thu gọn rồi tính giá trị của đa thức:

$$M = \dfrac{1}{3}x^2y + xy^2 – xy + \dfrac{1}{2}xy^2 – 5xy – \dfrac{1}{3}x^2y \quad \text{tại } x = 0{,}5 \text{ và } y = 1$$

Lời giải chi tiết:

Bước 1 — Thu gọn:

Tìm hạng tử đồng dạng:

• $\dfrac{1}{3}x^2y$ và $-\dfrac{1}{3}x^2y$ (cùng phần biến $x^2y$)
• $xy^2$ và $\dfrac{1}{2}xy^2$ (cùng phần biến $xy^2$)
• $-xy$ và $-5xy$ (cùng phần biến $xy$)

Nhóm và cộng hệ số:

$$M = \left(\dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{3}\right)x^2y + \left(1 + \dfrac{1}{2}\right)xy^2 + (-1 – 5)xy$$

$$M = 0 + \dfrac{3}{2}xy^2 + (-6)xy$$

$$M = \dfrac{3}{2}xy^2 – 6xy$$

Bước 2 — Thay $x = 0{,}5$ và $y = 1$:

$$M = \dfrac{3}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 1^2 – 6 \cdot 0{,}5 \cdot 1$$

Bước 3 — Tính:

$$M = \dfrac{3}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 1 – 6 \cdot 0{,}5 \cdot 1$$

$$= 0{,}75 – 3 = -2{,}25 = -\dfrac{9}{4}$$

Vậy $M = -\dfrac{9}{4}$ tại $x = 0{,}5$ và $y = 1$.

Ví dụ mẫu 2: Cho đa thức $P = 8x^2y^2z – 2xyz + 5y^2z – 5x^2y^2z + x^2y^2 – 3x^2y^2z$.

a) Thu gọn và tìm bậc của đa thức $P$.

b) Tính giá trị của $P$ tại $x = -4$, $y = 2$, $z = 1$.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm hạng tử đồng dạng:

• $8x^2y^2z$, $-5x^2y^2z$ và $-3x^2y^2z$ (cùng phần biến $x^2y^2z$)
• Các hạng tử $-2xyz$, $5y^2z$, $x^2y^2$ không có hạng tử đồng dạng.

Thu gọn:

$$P = (8 – 5 – 3)x^2y^2z – 2xyz + 5y^2z + x^2y^2$$

$$P = 0 \cdot x^2y^2z – 2xyz + 5y^2z + x^2y^2$$

$$P = -2xyz + 5y^2z + x^2y^2$$

Tìm bậc từng hạng tử:

• $-2xyz$: bậc $1 + 1 + 1 = 3$
• $5y^2z$: bậc $2 + 1 = 3$
• $x^2y^2$: bậc $2 + 2 = 4$

Hạng tử có bậc cao nhất là $x^2y^2$ với bậc $4$.

Vậy bậc của đa thức $P$ là $4$.

b) Thay $x = -4$, $y = 2$, $z = 1$ vào $P = -2xyz + 5y^2z + x^2y^2$:

$$P = -2 \cdot (-4) \cdot 2 \cdot 1 + 5 \cdot 2^2 \cdot 1 + (-4)^2 \cdot 2^2$$

Tính từng phần:

• $-2 \cdot (-4) \cdot 2 \cdot 1 = 16$
• $5 \cdot 4 \cdot 1 = 20$
• $16 \cdot 4 = 64$

$$P = 16 + 20 + 64 = 100$$

Vậy $P = 100$ tại $x = -4$, $y = 2$, $z = 1$.

Dạng 4: Bài toán thực tế — Viết đa thức biểu thị đại lượng

Phương pháp giải:

Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định các đại lượng và đơn giá tương ứng.

Bước 2: Viết biểu thức cho từng phần (từng loại sản phẩm, từng hình…).

Bước 3: Cộng các biểu thức lại để được đa thức biểu thị đại lượng cần tìm.

Bước 4: Kiểm tra xem kết quả có phải là đa thức không.

Ví dụ mẫu: Mỗi quyển vở giá $x$ đồng, mỗi chiếc bút giá $y$ đồng.

a) Viết biểu thức biểu thị số tiền phải trả để mua 8 quyển vở và 7 chiếc bút.

b) Viết biểu thức biểu thị số tiền phải trả để mua 3 xấp vở và 2 hộp bút, biết mỗi xấp vở có 10 quyển, mỗi hộp bút có 12 chiếc.

c) Mỗi biểu thức tìm được ở câu a và b có phải là đa thức không?

Lời giải chi tiết:

a)

• Tiền 8 quyển vở: $8x$ (đồng)
• Tiền 7 chiếc bút: $7y$ (đồng)
• Tổng tiền: $8x + 7y$ (đồng)

b)

• 3 xấp vở = $3 \times 10 = 30$ quyển → tiền vở: $30x$ (đồng)
• 2 hộp bút = $2 \times 12 = 24$ chiếc → tiền bút: $24y$ (đồng)
• Tổng tiền: $30x + 24y$ (đồng)

c) Cả hai biểu thức $8x + 7y$ và $30x + 24y$ đều là tổng của hai đơn thức → đều là đa thức.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh bài toán về đa thức

Mẹo 1 — Nhận biết nhanh đa thức: Nếu biểu thức chỉ gồm các phép cộng, trừ, nhân giữa số và biến (với số mũ nguyên dương) → là đa thức. Nếu thấy biến ở mẫu hoặc biến dưới dấu căn → không phải đa thức.

Mẹo 2 — Thu gọn nhanh: Đánh dấu (gạch chân, khoanh tròn) các nhóm hạng tử đồng dạng bằng các ký hiệu khác nhau trước khi tính. Cách này giúp tránh bỏ sót hoặc nhóm nhầm.

Mẹo 3 — Kiểm tra bậc: Sau khi thu gọn, tính bậc từng hạng tử rồi chọn bậc lớn nhất. Đừng quên: biến không ghi mũ thì mũ là $1$, và hằng số (khác $0$) có bậc $0$.

Mẹo 4 — Khi tính giá trị: Luôn thu gọn trước rồi mới thay số — đa thức sau thu gọn ngắn hơn, ít phép tính hơn, ít sai hơn. Khi thay số âm, nhớ đặt trong ngoặc: thay $x = -4$ thì viết $(-4)^2 = 16$, không viết $-4^2 = -16$.

Tổng kết

Qua Bài 2 – Đa thức, các em cần ghi nhớ các kiến thức cốt lõi sau:

Đa thức là tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là hạng tử của đa thức. Mỗi đơn thức cũng được coi là một đa thức.

Đa thức thu gọn là đa thức không có hai hạng tử nào đồng dạng. Để thu gọn, ta nhóm các hạng tử đồng dạng rồi cộng/trừ hệ số, giữ nguyên phần biến.

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn. Lưu ý: phải thu gọn trước khi tìm bậc. Số khác $0$ là đa thức bậc $0$, số $0$ là đa thức không — không có bậc.

Nắm vững bài này sẽ giúp các em dễ dàng tiếp cận Bài 3 – Phép cộng và phép trừ đa thức ở phần tiếp theo.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du