Đây là bài cuối cùng trong chuỗi ba bài về hằng đẳng thức đáng nhớ. Sau bài này, các em sẽ nắm trọn bộ 7 hằng đẳng thức — bộ công cụ quan trọng nhất của đại số lớp 8.

1. Tổng hai lập phương

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$$\boxed{A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)}$$

Hằng đẳng thức này được chứng minh bằng cách thực hiện phép nhân $(A + B)(A^2 – AB + B^2)$ rồi thu gọn.

Ví dụ: Viết các đa thức sau dưới dạng tích.

a) $x^3 + 27$:

$$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 – 3x + 9)$$

b) $27x^3 + y^3$:

$$27x^3 + y^3 = (3x)^3 + y^3 = (3x + y)(9x^2 – 3xy + y^2)$$

Ví dụ: Rút gọn biểu thức $(x + 4)(x^2 – 4x + 16) – x^3$.

$$= x^3 + 4^3 – x^3 = (x^3 – x^3) + 64 = 64$$

2. Hiệu hai lập phương

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$$\boxed{A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)}$$

Công thức này suy ra bằng cách viết $A^3 – B^3 = A^3 + (-B)^3$ rồi áp dụng tổng hai lập phương.

Lưu ý phân biệt dấu:

• Tổng hai lập phương: $A^3 + B^3 = (A \mathbf{+} B)(A^2 \mathbf{-} AB + B^2)$
• Hiệu hai lập phương: $A^3 – B^3 = (A \mathbf{-} B)(A^2 \mathbf{+} AB + B^2)$

Quy tắc: nhân tử thứ nhất giữ nguyên dấu, nhân tử thứ hai đổi dấu ở hạng tử giữa ($AB$).

Ví dụ: Viết các đa thức sau dưới dạng tích.

a) $x^3 – 64$:

$$x^3 – 64 = x^3 – 4^3 = (x – 4)(x^2 + 4x + 16)$$

b) $27x^3 – y^3$:

$$27x^3 – y^3 = (3x)^3 – y^3 = (3x – y)(9x^2 + 3xy + y^2)$$

Ví dụ: Rút gọn biểu thức $(x – 4)(x^2 + 4x + 16) – x^3$.

$$= x^3 – 4^3 – x^3 = (x^3 – x^3) – 64 = -64$$

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ (tổng hợp)

$$A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$$

$$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$$

$$(A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2$$

$$(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$$

$$(A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3$$

$$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)$$

$$A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Viết biểu thức dưới dạng tổng hoặc hiệu hai lập phương

Phương pháp giải:

Bước 1: Nhận dạng biểu thức có dạng $(A + B)(A^2 – AB + B^2)$ hoặc $(A – B)(A^2 + AB + B^2)$.

Bước 2: Xác định $A$ và $B$.

Bước 3: Viết kết quả: $A^3 + B^3$ hoặc $A^3 – B^3$.

Ví dụ mẫu: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hay hiệu hai lập phương.

a) $(x + 4)(x^2 – 4x + 16)$

Nhận dạng: $(A + B)(A^2 – AB + B^2)$ với $A = x$, $B = 4$.

$$= x^3 + 4^3 = x^3 + 64$$

b) $(4x^2 + 2xy + y^2)(2x – y)$

Viết lại thứ tự: $(2x – y)(4x^2 + 2xy + y^2)$

Nhận dạng: $(A – B)(A^2 + AB + B^2)$ với $A = 2x$, $B = y$.

$$= (2x)^3 – y^3 = 8x^3 – y^3$$

Dạng 2: Viết đa thức dưới dạng tích bằng hằng đẳng thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Nhận dạng hai hạng tử dưới dạng lập phương: tìm $A$ sao cho $A^3$ = hạng tử thứ nhất, $B$ sao cho $B^3$ = hạng tử thứ hai.

Bước 2: Áp dụng $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 – AB + B^2)$ hoặc $A^3 – B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$.

Ví dụ mẫu: Viết các đa thức sau dưới dạng tích.

a) $27x^3 + y^3$

$$= (3x)^3 + y^3 = (3x + y)(9x^2 – 3xy + y^2)$$

b) $x^3 – 8y^3$

$$= x^3 – (2y)^3 = (x – 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)$$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Nhận dạng các phần có dạng hằng đẳng thức tổng/hiệu hai lập phương → viết gọn.

Bước 2: Bỏ ngoặc, nhóm hạng tử đồng dạng và thu gọn.

Ví dụ mẫu 1: Rút gọn $(x – 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) + (x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2)$.

Lời giải chi tiết:

Nhận dạng:

• $(x – 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) = x^3 – (2y)^3 = x^3 – 8y^3$
• $(x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2) = x^3 + (2y)^3 = x^3 + 8y^3$

Cộng lại:

$$= (x^3 – 8y^3) + (x^3 + 8y^3) = 2x^3$$

Ví dụ mẫu 2: Rút gọn $(3x – 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2) + 8y^3$.

Lời giải chi tiết:

Nhận dạng: $(3x – 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2) = (3x)^3 – (2y)^3 = 27x^3 – 8y^3$

$$= 27x^3 – 8y^3 + 8y^3 = 27x^3$$

Dạng 4: Rút gọn rồi tính giá trị / chứng minh không phụ thuộc biến

Phương pháp giải:

Bước 1: Khai triển các phần bằng hằng đẳng thức.

Bước 2: Thu gọn biểu thức.

Bước 3: Thay giá trị (nếu đề yêu cầu), hoặc chứng minh biểu thức không chứa biến $y$ (không phụ thuộc $y$).

Ví dụ mẫu: Cho biểu thức $A = (2x – 1)(4x^2 + 2x + 1) – 7(x^3 + 1)$.

a) Rút gọn $A$.

b) Tính giá trị tại $x = -\dfrac{1}{2}$.

Lời giải chi tiết:

a) Nhận dạng: $(2x – 1)(4x^2 + 2x + 1) = (2x)^3 – 1^3 = 8x^3 – 1$

$$A = 8x^3 – 1 – 7x^3 – 7 = x^3 – 8$$

b) Thay $x = -\dfrac{1}{2}$:

$$A = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 – 8 = -\dfrac{1}{8} – 8 = -\dfrac{65}{8}$$

Dạng 5: Tìm $x$

Phương pháp giải:

Bước 1: Khai triển các biểu thức bằng hằng đẳng thức tổng/hiệu hai lập phương.

Bước 2: Bỏ ngoặc, thu gọn.

Bước 3: Giải phương trình bậc nhất (hoặc đưa về dạng tích bằng 0).

Ví dụ mẫu 1: Tìm $x$ biết $(x – 1)(x^2 + x + 1) + x(x + 2)(2 – x) = 5$.

Lời giải chi tiết:

Nhận dạng: $(x – 1)(x^2 + x + 1) = x^3 – 1$

Phần thứ hai: $x(x + 2)(2 – x) = x(2 + x)(2 – x) = x(4 – x^2) = 4x – x^3$

Vế trái:

$$x^3 – 1 + 4x – x^3 = 4x – 1$$

Phương trình: $4x – 1 = 5 \Leftrightarrow 4x = 6 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$

Ví dụ mẫu 2: Tìm $x$ biết $(x + 1)(x^2 – x + 1) – x(x – 2)(x + 2) = 21$.

Lời giải chi tiết:

Nhận dạng: $(x + 1)(x^2 – x + 1) = x^3 + 1$

Phần thứ hai: $x(x – 2)(x + 2) = x(x^2 – 4) = x^3 – 4x$

Vế trái:

$$x^3 + 1 – x^3 + 4x = 4x + 1$$

Phương trình: $4x + 1 = 21 \Leftrightarrow 4x = 20 \Leftrightarrow x = 5$

Bài tập tham khảo thêm:

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Quy tắc dấu dễ nhớ:

Quy tắc: dấu ở nhân tử thứ nhất và dấu hạng tử giữa luôn ngược nhau.

Mẹo 2 — Các lập phương thường gặp cần thuộc:

$1^3 = 1$, $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $4^3 = 64$, $5^3 = 125$, $6^3 = 216$, $7^3 = 343$, $8^3 = 512$, $9^3 = 729$, $10^3 = 1000$.

Mẹo 3 — Rút gọn nhanh: Khi gặp biểu thức dạng $(A + B)(\text{bộ ba}) \pm \text{lập phương}$, hãy nhận dạng hằng đẳng thức trước → viết gọn thành $A^3 \pm B^3$ → thu gọn sẽ rất nhanh, nhiều hạng tử triệt tiêu nhau.

Mẹo 4 — Phân biệt 3 cặp hằng đẳng thức:

• Bậc 2: $(A \pm B)^2$ (khai triển ra 3 hạng tử) và $A^2 – B^2$ (viết thành tích)
• Bậc 3: $(A \pm B)^3$ (khai triển ra 4 hạng tử) và $A^3 \pm B^3$ (viết thành tích)

Tổng kết

Bài 8 hoàn thành bộ 7 hằng đẳng thức đáng nhớ với hai công thức cuối:

$$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)$$

$$A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)$$

Điểm then chốt cần nhớ: dấu ở nhân tử đầu cùng dấu với biểu thức gốc ($+$ hoặc $-$), còn dấu hạng tử giữa ($AB$) ở nhân tử sau thì ngược lại.

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là nền tảng cho toàn bộ chương trình đại số từ lớp 8 trở đi, đặc biệt trong các bài phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức và giải phương trình. Các em cần thuộc lòng cả 7 công thức này.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du