Bài này giới thiệu ba hằng đẳng thức đáng nhớ đầu tiên — những công cụ cực kỳ quan trọng giúp các em tính nhanh, khai triển, thu gọn biểu thức và giải phương trình một cách hiệu quả.

1. Hằng đẳng thức

Nhận biết hằng đẳng thức

Ta đã biết: $(a + 1) \cdot b = ab + b$. Trong đẳng thức này, khi thay $a$, $b$ bởi bất kì giá trị nào thì hai vế luôn bằng nhau. Một đẳng thức như vậy được gọi là hằng đẳng thức.

Nếu hai biểu thức đại số $A$ và $B$ luôn nhận giá trị bằng nhau với mọi giá trị của biến thì ta nói $A = B$ là một hằng đẳng thức (hay đồng nhất thức).

Ví dụ: Đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?

a) $a(a + 3) = a^2 + 3a$ → Khai triển vế trái ta được đúng vế phải với mọi $a$ → là hằng đẳng thức.

b) $a^2 + 1 = 2a$ → Thay $a = 0$: vế trái $= 1$, vế phải $= 0$ → hai vế không bằng nhau → không phải hằng đẳng thức.

2. Hiệu hai bình phương

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$$\boxed{A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)}$$

Hằng đẳng thức này cho biết: hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu và tổng hai biểu thức đó.

Ví dụ:

a) Tính nhanh $102^2 – 98^2$:

$$102^2 – 98^2 = (102 – 98)(102 + 98) = 4 \cdot 200 = 800$$

b) Viết $x^2 – 25$ dưới dạng tích:

$$x^2 – 25 = x^2 – 5^2 = (x – 5)(x + 5)$$

c) Giải thích bài toán mở đầu — tính nhanh $198 \cdot 202$:

$$198 \cdot 202 = (200 – 2)(200 + 2) = 200^2 – 2^2 = 40000 – 4 = 39996$$

3. Bình phương của một tổng

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$$\boxed{(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2}$$

Ví dụ:

a) Tính nhanh $201^2$:

$$201^2 = (200 + 1)^2 = 200^2 + 2 \cdot 200 \cdot 1 + 1^2 = 40000 + 400 + 1 = 40401$$

b) Khai triển $(3x + y)^2$:

$$(3x + y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot y + y^2 = 9x^2 + 6xy + y^2$$

c) Viết $x^2 + 6xy + 9y^2$ dưới dạng bình phương của một tổng:

$$x^2 + 6xy + 9y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = (x + 3y)^2$$

4. Bình phương của một hiệu

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$$\boxed{(A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2}$$

Lưu ý: Ta có thể suy ra công thức này từ bình phương của một tổng bằng cách viết $A – B = A + (-B)$.

Ví dụ:

a) Tính nhanh $199^2$:

$$199^2 = (200 – 1)^2 = 200^2 – 2 \cdot 200 \cdot 1 + 1^2 = 40000 – 400 + 1 = 39601$$

b) Khai triển $(x – \dfrac{5}{2})^2$:

$$(x – \dfrac{5}{2})^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot \dfrac{5}{2} + \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 = x^2 – 5x + \dfrac{25}{4}$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Khai triển biểu thức theo hằng đẳng thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định biểu thức thuộc dạng hằng đẳng thức nào (hiệu hai bình phương, bình phương tổng, bình phương hiệu).

Bước 2: Xác định $A$ và $B$ trong công thức.

Bước 3: Áp dụng công thức để khai triển.

Ví dụ mẫu: Khai triển các biểu thức sau.

a) $(3x + 2y)^2$

Đây là dạng $(A + B)^2$ với $A = 3x$, $B = 2y$:

$$(3x + 2y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$$

b) $(2x – 5y)^2$

Đây là dạng $(A – B)^2$ với $A = 2x$, $B = 5y$:

$$(2x – 5y)^2 = (2x)^2 – 2 \cdot 2x \cdot 5y + (5y)^2 = 4x^2 – 20xy + 25y^2$$

c) $(x – 3)(x + 3)$

Đây là dạng $(A – B)(A + B) = A^2 – B^2$ với $A = x$, $B = 3$:

$$(x – 3)(x + 3) = x^2 – 9$$

Dạng 2: Tính nhanh giá trị số

Phương pháp giải:

Biến đổi số cần tính thành dạng phù hợp với hằng đẳng thức:

• Tính $a^2$: viết $a = (\text{số tròn} \pm \text{số nhỏ})$, áp dụng $(A \pm B)^2$.
• Tính $a \cdot b$: viết $a \cdot b = (\text{trung bình} – d)(\text{trung bình} + d)$, áp dụng $A^2 – B^2$.

Ví dụ mẫu: Tính nhanh.

a) $54 \cdot 66$

$$54 \cdot 66 = (60 – 6)(60 + 6) = 60^2 – 6^2 = 3600 – 36 = 3564$$

b) $203^2$

$$203^2 = (200 + 3)^2 = 200^2 + 2 \cdot 200 \cdot 3 + 3^2 = 40000 + 1200 + 9 = 41209$$

Dạng 3: Viết biểu thức dưới dạng bình phương hoặc dạng tích

Phương pháp giải:

Bước 1: Nhận dạng biểu thức có dạng $A^2 + 2AB + B^2$ (bình phương tổng), $A^2 – 2AB + B^2$ (bình phương hiệu), hoặc $A^2 – B^2$ (hiệu hai bình phương).

Bước 2: Xác định $A$ và $B$ bằng cách: lấy căn bậc hai của hạng tử đầu và hạng tử cuối, rồi kiểm tra hạng tử giữa có đúng bằng $\pm 2AB$ không.

Bước 3: Viết kết quả.

Ví dụ mẫu: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương.

a) $x^2 + 4x + 4$

$$= x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x + 2)^2$$

b) $16a^2 – 16ab + 4b^2$

$$= (4a)^2 – 2 \cdot 4a \cdot 2b + (2b)^2 = (4a – 2b)^2$$

Dạng 4: Rút gọn biểu thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Khai triển từng phần theo hằng đẳng thức.

Bước 2: Bỏ ngoặc (chú ý dấu) và thu gọn hạng tử đồng dạng.

Ví dụ mẫu: Rút gọn các biểu thức sau.

a) $(x – 3y)^2 – (x + 3y)^2$

Lời giải chi tiết:

Cách 1 — Khai triển rồi trừ:

$$(x – 3y)^2 = x^2 – 6xy + 9y^2$$

$$(x + 3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2$$

$$\Rightarrow (x^2 – 6xy + 9y^2) – (x^2 + 6xy + 9y^2) = -12xy$$

Cách 2 — Dùng hiệu hai bình phương:

$$= [(x – 3y) – (x + 3y)][(x – 3y) + (x + 3y)]$$

$$= (-6y)(2x) = -12xy$$

b) $(3x + 4y)^2 + (4x – 3y)^2$

$$(3x + 4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2$$

$$(4x – 3y)^2 = 16x^2 – 24xy + 9y^2$$

Cộng lại:

$$= 9x^2 + 24xy + 16y^2 + 16x^2 – 24xy + 9y^2 = 25x^2 + 25y^2$$

Dạng 5: Tính giá trị biểu thức bằng hằng đẳng thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Rút gọn biểu thức bằng cách khai triển và thu gọn (hoặc thu gọn về hằng đẳng thức).

Bước 2: Thay giá trị đã cho. Nếu đề cho dạng $x – 4y = 5$ (không cho riêng $x$, $y$), hãy tìm cách đưa biểu thức về dạng chứa $(x – 4y)$.

Ví dụ mẫu: Tính giá trị biểu thức $C = x^2 – 8xy + 16y^2$ tại $x – 4y = 5$.

Lời giải chi tiết:

Nhận dạng:

$$C = x^2 – 2 \cdot x \cdot 4y + (4y)^2 = (x – 4y)^2$$

Thay $x – 4y = 5$:

$$C = 5^2 = 25$$

Dạng 6: Tìm $x$ bằng hằng đẳng thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Khai triển và rút gọn phương trình (nếu cần).

Bước 2: Đưa về dạng hằng đẳng thức hoặc phân tích thành nhân tử.

Bước 3: Với dạng $A^2 – B^2 = 0$: phân tích $(A-B)(A+B) = 0$, suy ra $A – B = 0$ hoặc $A + B = 0$.

Ví dụ mẫu 1: Tìm $x$ biết $x^2 – 9 = 0$.

$$x^2 – 9 = 0 \Leftrightarrow x^2 – 3^2 = 0 \Leftrightarrow (x – 3)(x + 3) = 0$$

$$\Leftrightarrow x – 3 = 0 \text{ hoặc } x + 3 = 0$$

$$\Leftrightarrow x = 3 \text{ hoặc } x = -3$$

Ví dụ mẫu 2: Tìm $x$ biết $(2x + 1)^2 – 4x(x – 1) = 17$.

Lời giải chi tiết:

Khai triển vế trái:

$$(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$$

$$4x(x – 1) = 4x^2 – 4x$$

Vế trái:

$$4x^2 + 4x + 1 – 4x^2 + 4x = 8x + 1$$

Phương trình trở thành:

$$8x + 1 = 17 \Leftrightarrow 8x = 16 \Leftrightarrow x = 2$$

Dạng 7: Chứng minh đẳng thức, chia hết và biểu thức luôn dương

Phương pháp giải:

Chứng minh chia hết: Khai triển biểu thức bằng hằng đẳng thức, phân tích kết quả thành tích chứa thừa số cần chia hết.

Chứng minh biểu thức > 0: Biến đổi biểu thức về dạng $(…)^2 + c$ với $c > 0$, hoặc $(…)^2 + (…)^2 + c \ge c > 0$.

Tìm GTNN: Biến đổi về dạng $(…)^2 + c$. Vì $(…)^2 \ge 0$ nên biểu thức $\ge c$, dấu bằng xảy ra khi $(…) = 0$.

Tìm GTLN: Biến đổi về dạng $c – (…)^2$. Vì $(…)^2 \ge 0$ nên biểu thức $\le c$, dấu bằng xảy ra khi $(…) = 0$.

Ví dụ mẫu 1: Chứng minh $(n + 2)^2 – n^2$ chia hết cho $4$ với mọi số tự nhiên $n$.

Lời giải chi tiết:

$$(n + 2)^2 – n^2 = [(n + 2) – n][(n + 2) + n] = 2(2n + 2) = 4(n + 1)$$

Vì $4(n + 1)$ luôn chia hết cho $4$ với mọi $n$ tự nhiên. (đpcm)

Ví dụ mẫu 2: Chứng minh $x^2 – 6x + 10 > 0$ với mọi $x$.

Lời giải chi tiết:

$$x^2 – 6x + 10 = (x^2 – 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 1 = (x – 3)^2 + 1$$

Vì $(x – 3)^2 \ge 0$ với mọi $x$, nên $(x – 3)^2 + 1 \ge 1 > 0$ với mọi $x$. (đpcm)

Ví dụ mẫu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của $A = x^2 – 4x + 1$.

Lời giải chi tiết:

$$A = x^2 – 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 – 3 = (x – 2)^2 – 3$$

Vì $(x – 2)^2 \ge 0$ nên $A \ge -3$.

Dấu bằng xảy ra khi $x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

Vậy $A_{\min} = -3$ khi $x = 2$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Nhận dạng nhanh 3 hằng đẳng thức:

• Thấy $A^2 – B^2$ → hiệu hai bình phương → $(A-B)(A+B)$
• Thấy $A^2 + 2AB + B^2$ → bình phương tổng → $(A+B)^2$
• Thấy $A^2 – 2AB + B^2$ → bình phương hiệu → $(A-B)^2$

Mẹo 2 — Tính nhanh bình phương số gần tròn: $n^2 = (\text{số tròn} \pm d)^2$. Ví dụ: $97^2 = (100-3)^2 = 10000 – 600 + 9 = 9409$.

Mẹo 3 — Tính nhanh tích hai số: Nếu hai số cách đều một số tròn: $a \cdot b = (\text{trung bình})^2 – d^2$. Ví dụ: $47 \cdot 53 = 50^2 – 3^2 = 2491$.

Mẹo 4 — Kiểm tra hằng đẳng thức: Khi viết $a^2 + … + b^2 = (a \pm b)^2$, luôn kiểm tra hạng tử giữa: phải bằng đúng $\pm 2ab$.

Mẹo 5 — Tìm GTNN/GTLN: Biến đổi về dạng bình phương: GTNN dùng $(…)^2 + c$; GTLN dùng $c – (…)^2$.

Tổng kết

Bài 6 giới thiệu ba hằng đẳng thức đáng nhớ đầu tiên:

$$A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$$

$$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$$

$$(A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2$$

Ba công thức này được sử dụng rất nhiều trong các dạng bài: khai triển biểu thức, tính nhanh giá trị số, viết biểu thức dưới dạng bình phương hoặc dạng tích, rút gọn biểu thức, tìm $x$, chứng minh chia hết, chứng minh biểu thức luôn dương, và tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.

Các em cần thuộc lòng ba hằng đẳng thức này vì chúng sẽ xuất hiện liên tục trong toàn bộ chương trình Toán từ lớp 8 trở đi.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du