Bài 33 mở đầu chương Tam giác đồng dạng — một chương quan trọng của chương trình Toán 8. Nếu ở phần trước các em đã học hai tam giác bằng nhau (cùng hình dạng, cùng kích thước), thì bây giờ các em sẽ gặp hai tam giác đồng dạng: cùng hình dạng nhưng kích thước có thể khác nhau, các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau.

Bài học gồm hai phần chính: định nghĩa hai tam giác đồng dạng (tỉ số đồng dạng, kí hiệu, nhận xét) và định lí (đường thẳng song song với một cạnh tạo thành tam giác đồng dạng).

1. Định nghĩa

Hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác bằng nhau khi có các góc bằng nhau và các cạnh bằng nhau. Mở rộng hơn, ta xét hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ. Hai tam giác như thế gọi là đồng dạng — về hình dạng chúng giống nhau, chỉ khác về kích thước.

Định nghĩa: Tam giác $A’B’C’$ gọi là đồng dạng với tam giác $ABC$ nếu:

$$\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{B’C’}{BC} = \dfrac{A’C’}{AC} \quad \text{và} \quad \widehat{A’} = \widehat{A}, \quad \widehat{B’} = \widehat{B}, \quad \widehat{C’} = \widehat{C}$$

Kí hiệu: $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$ (viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng).

Tỉ số đồng dạng

Tỉ số $k = \dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{B’C’}{BC} = \dfrac{A’C’}{AC}$ được gọi là tỉ số đồng dạng của $\triangle A’B’C’$ với $\triangle ABC$.

Các nhận xét quan trọng

• Nếu $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$ với tỉ số đồng dạng $k$ thì $\triangle ABC \sim \triangle A’B’C’$ với tỉ số đồng dạng $\dfrac{1}{k}$. Do vậy ta nói hai tam giác $A’B’C’$ và $ABC$ đồng dạng với nhau.
• Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau theo tỉ số đồng dạng $k = 1$. Đặc biệt, mọi tam giác đồng dạng với chính nó.
• Nếu $\triangle A”B”C” \sim \triangle A’B’C’$ với tỉ số đồng dạng $k$ và $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$ với tỉ số đồng dạng $m$ thì $\triangle A”B”C” \sim \triangle ABC$ với tỉ số đồng dạng $k \cdot m$.

Ví dụ trong lý thuyết

Ví dụ 1: Cho $ABC$ và $A’B’C’$ là hai tam giác đều có $AB = 4$ cm, $A’B’ = 3$ cm. Chứng minh $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$ và tìm tỉ số đồng dạng.

Lời giải:

Vì $\triangle ABC$ đều nên $BC = CA = AB = 4$ cm và $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = 60°$.

Vì $\triangle A’B’C’$ đều nên $B’C’ = C’A’ = A’B’ = 3$ cm và $\widehat{A’} = \widehat{B’} = \widehat{C’} = 60°$.

Ta có:

$$\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{B’C’}{BC} = \dfrac{A’C’}{AC} = \dfrac{3}{4}$$

và $\widehat{A’} = \widehat{A} = 60°$, $\widehat{B’} = \widehat{B} = 60°$, $\widehat{C’} = \widehat{C} = 60°$.

Vậy $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$ với tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{3}{4}$.

2. Định lí

Phát biểu định lí

Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Cụ thể: Cho $\triangle ABC$, $M \in AB$, $N \in AC$ sao cho $MN \parallel BC$. Khi đó:

$$\triangle AMN \sim \triangle ABC$$

Chú ý: Định lí vẫn đúng nếu đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh tam giác. Chẳng hạn, nếu $ED \parallel BC$ với $E$, $D$ nằm trên phần kéo dài của $AB$, $AC$ thì $\triangle ADE \sim \triangle ABC$.

Ví dụ trong lý thuyết

Ví dụ 2: Cho Hình 9.7, trong đó $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$; $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AM$, $AN$. Liệt kê tất cả các cặp tam giác (phân biệt) đồng dạng.

Lời giải:

$M$, $N$ là trung điểm của $AB$, $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$. Suy ra $MN \parallel BC$. (1)

Do đó $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ (theo định lí).

$P$, $Q$ là trung điểm của $AM$, $AN$ nên $PQ$ là đường trung bình của $\triangle AMN$. Suy ra $PQ \parallel MN$. (2)

Do đó $\triangle APQ \sim \triangle AMN$ (theo định lí).

Từ (1) và (2), suy ra $PQ \parallel BC$. Do đó $\triangle APQ \sim \triangle ABC$ (theo định lí).

Vậy có ba cặp tam giác đồng dạng: $\triangle AMN \sim \triangle ABC$; $\triangle APQ \sim \triangle AMN$; $\triangle APQ \sim \triangle ABC$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết tam giác đồng dạng, viết kí hiệu và tìm tỉ số đồng dạng

Phương pháp giải:

• Kiểm tra hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ hay không.
• Khi viết kí hiệu $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$, phải viết đúng thứ tự cặp đỉnh tương ứng: $A’$ ứng $A$, $B’$ ứng $B$, $C’$ ứng $C$.
• Tỉ số đồng dạng $k$ là tỉ số giữa cạnh của tam giác viết trước và cạnh tương ứng của tam giác viết sau.
• Nếu $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$ với tỉ số $k$ thì $\triangle ABC \sim \triangle A’B’C’$ với tỉ số $\dfrac{1}{k}$.

Ví dụ mẫu 1 (BT 9.1): Cho $\triangle ABC \sim \triangle MNP$. Khẳng định nào sau đây không đúng?

a) $\triangle MNP \sim \triangle ABC$   b) $\triangle BCA \sim \triangle NPM$   c) $\triangle CAB \sim \triangle PMN$   d) $\triangle ACB \sim \triangle MNP$

Lời giải chi tiết:

Từ $\triangle ABC \sim \triangle MNP$, ta có các cặp đỉnh tương ứng: $A \leftrightarrow M$, $B \leftrightarrow N$, $C \leftrightarrow P$.

a) $\triangle MNP \sim \triangle ABC$: $M \leftrightarrow A$, $N \leftrightarrow B$, $P \leftrightarrow C$ → đúng (chỉ đổi thứ tự).

b) $\triangle BCA \sim \triangle NPM$: $B \leftrightarrow N$, $C \leftrightarrow P$, $A \leftrightarrow M$ → đúng (cùng thứ tự tương ứng).

c) $\triangle CAB \sim \triangle PMN$: $C \leftrightarrow P$, $A \leftrightarrow M$, $B \leftrightarrow N$ → đúng.

d) $\triangle ACB \sim \triangle MNP$: $A \leftrightarrow M$, $C \leftrightarrow N$, $B \leftrightarrow P$. Nhưng theo đề, $C \leftrightarrow P$ và $B \leftrightarrow N$, nên $C \leftrightarrow N$ là sai thứ tự tương ứng → không đúng.

Vậy đáp án d) không đúng.

Ví dụ mẫu 2 (BT 9.2): Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

b) Hai tam giác bất kì đồng dạng với nhau.

c) Hai tam giác đều bất kì đồng dạng với nhau.

d) Hai tam giác vuông bất kì đồng dạng với nhau.

e) Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Hai tam giác bằng nhau có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau (tỉ lệ 1:1), nên đồng dạng với tỉ số $k = 1$.

b) Sai. Ví dụ: tam giác đều cạnh 3 cm và tam giác vuông có cạnh 3, 4, 5 → các góc không tương ứng bằng nhau → không đồng dạng.

c) Đúng. Hai tam giác đều đều có ba góc bằng $60°$ và ba cạnh bằng nhau (trong mỗi tam giác). Giả sử cạnh tam giác đều thứ nhất là $a$, thứ hai là $b$, thì tỉ số các cạnh tương ứng đều bằng $\dfrac{a}{b}$ → đồng dạng.

d) Sai. Hai tam giác vuông chỉ giống nhau ở góc vuông ($90°$), nhưng hai góc nhọn có thể khác nhau → chưa chắc đồng dạng.

e) Sai. Hai tam giác đồng dạng chỉ bằng nhau khi tỉ số đồng dạng $k = 1$.

Vậy các khẳng định đúng là a) và c).

Ví dụ mẫu 3: Cho $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ theo tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{3}{5}$.

a) $\triangle DEF \sim \triangle ABC$ theo tỉ số đồng dạng bao nhiêu?

b) Giả sử $DE = 10$ cm. Tính $AB$.

Lời giải chi tiết:

a) Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ với tỉ số $k = \dfrac{3}{5}$ thì $\triangle DEF \sim \triangle ABC$ với tỉ số $\dfrac{1}{k} = \dfrac{5}{3}$.

b) Từ $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ với tỉ số $k = \dfrac{3}{5}$, ta có:

$$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{3}{5}$$

Thay $DE = 10$:

$$\dfrac{AB}{10} = \dfrac{3}{5}$$

$$AB = 10 \times \dfrac{3}{5} = 6 \text{ (cm)}$$

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác đồng dạng bằng định lí (đường thẳng song song)

Phương pháp giải:

• Xác định trong hình vẽ có đường thẳng nào song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại (hoặc phần kéo dài).
• Áp dụng định lí: đường thẳng cắt hai cạnh tam giác và song song cạnh còn lại → tạo tam giác đồng dạng.
• Các trường hợp hay gặp: đường trung bình (song song với cạnh đáy), đường kẻ từ một điểm trên cạnh song song với cạnh khác, hình thang (hai đáy song song).
• Viết đúng thứ tự kí hiệu đồng dạng theo cặp đỉnh tương ứng.

Ví dụ mẫu 1 (BT 9.3): Trong Hình 9.9, $ABC$ là tam giác không cân; $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$. Tìm năm tam giác khác nhau đôi một đồng dạng.

Lời giải chi tiết:

Vì $P$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CA$ nên $PN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$, suy ra $PN \parallel BC$.

Do đó $\triangle APN \sim \triangle ABC$ (định lí).

Tương tự:

• $PM$ là đường trung bình ứng với cạnh $AC$ nên $PM \parallel AC$ → $\triangle BPM \sim \triangle BAC$, tức $\triangle BPM \sim \triangle ABC$.
• $MN$ là đường trung bình ứng với cạnh $AB$ nên $MN \parallel AB$ → $\triangle CNM \sim \triangle CAB$, tức $\triangle CNM \sim \triangle ABC$.

Ngoài ra, xét $\triangle PMN$: vì $PN \parallel BC$, $PM \parallel AC$, $MN \parallel AB$, nên $\triangle PMN$ cũng đồng dạng với $\triangle ABC$.

Cuối cùng, bản thân $\triangle ABC$ đồng dạng với chính nó.

Vậy năm tam giác đôi một đồng dạng là: $\triangle ABC$, $\triangle APN$, $\triangle BPM$, $\triangle CNM$, $\triangle PMN$.

Ví dụ mẫu 2: Cho $\triangle ABC$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $BM = \dfrac{2}{5}BC$. Từ $M$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AB$ tại $N$.

a) Chứng minh $\triangle NBM \sim \triangle ABC$.

b) Tính $\dfrac{MN}{AC}$.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $MN \parallel AC$ ($M \in BC$, $N \in AB$), theo định lí: đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo tam giác đồng dạng.

Trong $\triangle ABC$, $MN \parallel AC$ với $M \in BC$ và $N \in AB$.

Do đó $\triangle NBM \sim \triangle ABC$ (thứ tự: $N \leftrightarrow A$, $B \leftrightarrow B$, $M \leftrightarrow C$).

(Giải thích chi tiết: Vì $MN \parallel AC$ nên $\widehat{BNM} = \widehat{BAC}$ (hai góc đồng vị) và $\widehat{BMN} = \widehat{BCA}$ (hai góc đồng vị). Góc $\widehat{B}$ chung. Vậy ba cặp góc tương ứng bằng nhau.)

b) Từ $\triangle NBM \sim \triangle ABC$, tỉ số đồng dạng:

$$k = \dfrac{BM}{BC} = \dfrac{2}{5}$$

Do đó:

$$\dfrac{MN}{AC} = k = \dfrac{2}{5}$$

Dạng 3: Ứng dụng tam giác đồng dạng để tính toán và chứng minh

Phương pháp giải:

• Nhận dạng cặp tam giác đồng dạng trong hình (thường nhờ đường thẳng song song).
• Từ tỉ số đồng dạng, suy ra tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng → tính độ dài cạnh.
• Để chứng minh tích bằng nhau dạng $AB \cdot CD = EF \cdot GH$: viết dưới dạng tỉ lệ $\dfrac{AB}{EF} = \dfrac{GH}{CD}$, rồi chỉ ra tỉ lệ đó xuất hiện trong cặp tam giác đồng dạng.

Ví dụ mẫu 1 (Vận dụng SGK): Cột đèn $AB$ thẳng đứng, cọc gỗ $CD$ thẳng đứng cắm trên mặt đất. Bóng cọc gỗ do ánh đèn tạo ra có đầu tại $E$. Biết cọc gỗ cao $CD = 1$ m, $EC = 80$ cm $= 0{,}8$ m, $EB = 4$ m. Tính chiều cao $AB$ của cột đèn.

Lời giải chi tiết:

Vì cột đèn $AB$ và cọc gỗ $CD$ đều thẳng đứng nên $AB \parallel CD$.

Xét $\triangle EAB$ và $\triangle ECD$: vì $CD \parallel AB$ nên theo định lí, $\triangle ECD \sim \triangle EAB$.

Tỉ số đồng dạng:

$$\dfrac{EC}{EB} = \dfrac{CD}{AB}$$

Thay số: $EC = 0{,}8$ m, $EB = 4$ m, $CD = 1$ m:

$$\dfrac{0{,}8}{4} = \dfrac{1}{AB}$$

$$AB = \dfrac{1 \times 4}{0{,}8} = \dfrac{4}{0{,}8} = 5 \text{ (m)}$$

Vậy cột đèn cao $5$ m.

Ví dụ mẫu 2: Cho hình thang $ABCD$ có $AB \parallel CD$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh $\triangle OAB \sim \triangle OCD$.

Lời giải chi tiết:

Vì $AB \parallel CD$, xét hai tam giác $OAB$ và $OCD$:

• $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ (hai góc so le trong, vì $AB \parallel CD$ và $AC$ là cát tuyến).
• $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$ (hai góc so le trong, vì $AB \parallel CD$ và $BD$ là cát tuyến).
• $\widehat{AOB} = \widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh).

Ba cặp góc tương ứng bằng nhau, nên $\triangle OAB \sim \triangle OCD$.

(Từ đây, ta có tỉ lệ $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{AB}{CD}$, rất hữu ích cho các câu tiếp theo.)

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Tìm đường song song: Khi muốn chứng minh hai tam giác đồng dạng, hãy tìm xem trong hình có đường thẳng nào song song với một cạnh không. Các nguồn song song phổ biến: đường trung bình, cạnh đối hình thang, đường kẻ song song theo đề bài.

Mẹo 2 — Viết kí hiệu đúng thứ tự: Liệt kê các cặp góc bằng nhau trước ($\widehat{A’} = \widehat{A}$, $\widehat{B’} = \widehat{B}$, $\widehat{C’} = \widehat{C}$), rồi viết kí hiệu theo thứ tự đó.

Mẹo 3 — Tỉ số đồng dạng từ đường trung bình: Nếu $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$ ($MN \parallel BC$) thì $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ với tỉ số $k = \dfrac{1}{2}$.

Mẹo 4 — Chứng minh tích bằng nhau: $AB \cdot CD = EF \cdot GH$ tương đương $\dfrac{AB}{EF} = \dfrac{GH}{CD}$. Tìm cặp tam giác đồng dạng chứa tỉ lệ này.

Tổng kết

Qua Bài 33, các em cần nắm vững:

Hai tam giác đồng dạng khi có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ. Tỉ số các cạnh tương ứng gọi là tỉ số đồng dạng $k$. Kí hiệu $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$ phải viết đúng thứ tự cặp đỉnh tương ứng.

Định lí: Đường thẳng cắt hai cạnh tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành tam giác mới đồng dạng với tam giác ban đầu. Đây là công cụ chủ yếu để chứng minh đồng dạng trong bài này.

Ba dạng bài tập cốt lõi: nhận biết và viết kí hiệu đồng dạng (chú ý thứ tự đỉnh, tỉ số thuận/nghịch), chứng minh đồng dạng bằng định lí đường song song (đường trung bình, hình thang), và ứng dụng tính độ dài cạnh hoặc chứng minh tích bằng nhau. Nắm chắc bài này là nền tảng cho các bài tiếp theo về các trường hợp đồng dạng (c-c-c, c-g-c, g-g).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du