Bài 34 là bài trọng tâm nhất của chương Tam giác đồng dạng, cung cấp cho các em ba công cụ để chứng minh hai tam giác đồng dạng mà không cần kiểm tra đầy đủ cả ba cặp góc bằng nhau lẫn ba cặp cạnh tỉ lệ. Ba trường hợp này tương tự ba trường hợp bằng nhau (c.c.c, c.g.c, g.c.g) mà các em đã quen, nhưng thay “bằng nhau” bằng “tỉ lệ”.

Bài học gồm ba phần: trường hợp đồng dạng cạnh–cạnh–cạnh (c.c.c), cạnh–góc–cạnh (c.g.c) và góc–góc (g.g).

1. Trường hợp đồng dạng thứ nhất: Cạnh – Cạnh – Cạnh (c.c.c)

Định lí

Định lí (c.c.c): Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Cụ thể: Nếu $\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{A’C’}{AC} = \dfrac{B’C’}{BC}$ thì $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$.

Ví dụ 1: Cho hai tam giác $ABC$ và $MNP$ có $3AB = 4BC = 8CA$, $MN = 8$ cm, $NP = 6$ cm, $PM = 3$ cm. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle MNP$.

Lời giải:

Từ giả thiết: $3MN = 3 \times 8 = 24$; $4NP = 4 \times 6 = 24$; $8PM = 8 \times 3 = 24$.

Nên $3MN = 4NP = 8PM = 24$.

Mà $3AB = 4BC = 8CA$ (giả thiết).

Ta có: $\dfrac{AB}{MN} = \dfrac{BC}{NP} = \dfrac{CA}{PM}$ (vì cùng bằng tỉ số của các hệ số đảo).

Vậy $\triangle ABC \sim \triangle MNP$ (c.c.c).

2. Trường hợp đồng dạng thứ hai: Cạnh – Góc – Cạnh (c.g.c)

Định lí

Định lí (c.g.c): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Cụ thể: Nếu $\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{A’C’}{AC}$ và $\widehat{A’} = \widehat{A}$ thì $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$.

Lưu ý quan trọng: Góc bằng nhau phải là góc xen giữa hai cặp cạnh tỉ lệ. Nếu góc bằng nhau không phải góc xen giữa thì chưa kết luận được đồng dạng (xem phần Tranh luận SGK).

Ví dụ 2: Cho $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$ và $M$, $M’$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $B’C’$. Chứng minh $\triangle A’B’M’ \sim \triangle ABM$.

Lời giải:

Vì $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$ nên $\widehat{B’} = \widehat{B}$ và $\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{B’C’}{BC}$.

Vì $M$, $M’$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $B’C’$ nên:

$$\dfrac{M’B’}{MB} = \dfrac{\dfrac{B’C’}{2}}{\dfrac{BC}{2}} = \dfrac{B’C’}{BC} = \dfrac{A’B’}{AB}$$

Hai tam giác $A’B’M’$ và $ABM$ có: $\dfrac{M’B’}{MB} = \dfrac{A’B’}{AB}$ và $\widehat{B’} = \widehat{B}$.

Vậy $\triangle A’B’M’ \sim \triangle ABM$ (c.g.c).

Nhận xét: Nếu $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$ theo tỉ số $k$ và $AM$, $A’M’$ lần lượt là các đường trung tuyến thì $\dfrac{A’M’}{AM} = k$.

3. Trường hợp đồng dạng thứ ba: Góc – Góc (g.g)

Định lí

Định lí (g.g): Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Cụ thể: Nếu $\widehat{A’} = \widehat{A}$ và $\widehat{B’} = \widehat{B}$ thì $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$.

Đây là trường hợp dễ áp dụng nhất vì chỉ cần chứng minh hai cặp góc bằng nhau (góc thứ ba tự động bằng nhau do tổng ba góc bằng $180°$).

Ví dụ 3: Cho $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$ và $AM$, $A’M’$ lần lượt là đường phân giác của $\triangle ABC$ và $\triangle A’B’C’$. Chứng minh $\triangle A’B’M’ \sim \triangle ABM$.

Lời giải:

Vì $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$ nên $\widehat{B’} = \widehat{B}$ và $\widehat{B’A’C’} = \widehat{BAC}$.

Vì $AM$, $A’M’$ lần lượt là phân giác của $\widehat{BAC}$ và $\widehat{B’A’C’}$ nên:

$$\widehat{B’A’M’} = \dfrac{\widehat{B’A’C’}}{2} = \dfrac{\widehat{BAC}}{2} = \widehat{BAM}$$

Hai tam giác $A’B’M’$ và $ABM$ có: $\widehat{A’B’M’} = \widehat{ABM}$ (tức $\widehat{B’} = \widehat{B}$) và $\widehat{B’A’M’} = \widehat{BAM}$.

Vậy $\triangle A’B’M’ \sim \triangle ABM$ (g.g).

Nhận xét: Nếu $\triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC$ theo tỉ số $k$ và $AM$, $A’M’$ lần lượt là các đường phân giác thì $\dfrac{A’M’}{AM} = k$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Chứng minh hai tam giác đồng dạng bằng c.c.c (ba cạnh tỉ lệ)

Phương pháp giải:

• Tính (hoặc xác định) độ dài ba cạnh của mỗi tam giác.
• Lập ba tỉ số giữa các cặp cạnh tương ứng.
• Nếu ba tỉ số bằng nhau → hai tam giác đồng dạng (c.c.c).
• Lưu ý: phải ghép cạnh đúng thứ tự tương ứng (cạnh nhỏ nhất ứng cạnh nhỏ nhất, v.v.).

Ví dụ mẫu 1 (BT 9.6): Hai tam giác đồng dạng. Tam giác thứ nhất có ba cạnh $4$ cm, $8$ cm, $10$ cm. Tam giác thứ hai có chu vi $33$ cm. Tìm ba cạnh tam giác thứ hai.

Lời giải chi tiết:

Chu vi tam giác thứ nhất: $4 + 8 + 10 = 22$ cm.

Vì hai tam giác đồng dạng nên tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng:

$$k = \dfrac{33}{22} = \dfrac{3}{2}$$

Ba cạnh tam giác thứ hai:

$$4 \times \dfrac{3}{2} = 6 \text{ cm}; \quad 8 \times \dfrac{3}{2} = 12 \text{ cm}; \quad 10 \times \dfrac{3}{2} = 15 \text{ cm}$$

Kiểm tra: $6 + 12 + 15 = 33$ ✓.

Vậy đáp án là a) 6 cm, 12 cm, 15 cm.

Ví dụ mẫu 2 (BT 9.8): Cho $\triangle ABC$ có $AB = 12$ cm, $AC = 15$ cm. Trên các tia $AB$, $AC$ lần lượt lấy $M$, $N$ sao cho $AM = 10$ cm, $AN = 8$ cm. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle ANM$.

Lời giải chi tiết:

Ta cần so sánh ba cặp cạnh tương ứng giữa $\triangle ABC$ và $\triangle ANM$.

Xét tỉ số: $\dfrac{AB}{AN} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$ và $\dfrac{AC}{AM} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}$.

Hai tam giác $ABC$ và $ANM$ có góc $\widehat{A}$ chung.

Vì $\dfrac{AB}{AN} = \dfrac{AC}{AM} = \dfrac{3}{2}$ và $\widehat{A}$ chung (góc xen giữa).

Vậy $\triangle ABC \sim \triangle ANM$ (c.g.c).

(Bài này thực tế dùng c.g.c nhưng xuất phát từ việc so sánh cạnh, nên thuộc nhóm bài kiểm tra tỉ lệ cạnh.)

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác đồng dạng bằng c.g.c hoặc g.g

Phương pháp giải:

Dùng c.g.c khi:

• Biết (hoặc suy ra được) hai cặp cạnh tỉ lệ.
• Chứng minh góc xen giữa hai cặp cạnh đó bằng nhau.

Dùng g.g khi:

• Chứng minh hai cặp góc tương ứng bằng nhau.
• Nguồn góc bằng nhau phổ biến: góc chung, góc đối đỉnh, góc so le trong (hai đường song song), góc nội tiếp cùng chắn cung, đề bài cho sẵn.

Lưu ý c.g.c: Góc bằng nhau phải xen giữa hai cặp cạnh tỉ lệ, không phải góc bất kì.

Ví dụ mẫu 1 (BT 9.9): Cho góc $\widehat{BAC}$ và các điểm $M$, $N$ lần lượt trên $AB$, $AC$ sao cho $\widehat{ABN} = \widehat{ACM}$.

a) Chứng minh $\triangle ABN \sim \triangle ACM$.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $BN$ và $CM$. Chứng minh $IB \cdot IN = IC \cdot IM$.

Lời giải chi tiết:

a) Xét $\triangle ABN$ và $\triangle ACM$:

• $\widehat{A}$ chung (góc $\widehat{BAC}$).
• $\widehat{ABN} = \widehat{ACM}$ (giả thiết).

Vậy $\triangle ABN \sim \triangle ACM$ (g.g).

b) Từ $\triangle ABN \sim \triangle ACM$, ta có:

$$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BN}{CM} = \dfrac{AN}{AM}$$

Xét $\triangle BIM$ và $\triangle CIN$:

• $\widehat{BIM} = \widehat{CIN}$ (hai góc đối đỉnh).
• $\widehat{IBM} = \widehat{ABN} = \widehat{ACM} = \widehat{ICN}$ (giả thiết).

Vậy $\triangle BIM \sim \triangle CIN$ (g.g).

Suy ra: $\dfrac{IB}{IC} = \dfrac{IM}{IN}$, tức là $IB \cdot IN = IC \cdot IM$.

Ví dụ mẫu 2: Cho $\triangle ABC$ nhọn có $AB = 2$ cm, $AC = 4$ cm. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $M$ sao cho $\widehat{ABM} = \widehat{ACB}$.

a) Chứng minh $\triangle ABM \sim \triangle ACB$.

b) Tính độ dài $AM$.

Lời giải chi tiết:

a) Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACB$:

• $\widehat{A}$ chung.
• $\widehat{ABM} = \widehat{ACB}$ (giả thiết).

Vậy $\triangle ABM \sim \triangle ACB$ (g.g).

b) Từ $\triangle ABM \sim \triangle ACB$, ta có tỉ lệ:

$$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AM}{AB}$$

Thay số:

$$\dfrac{2}{4} = \dfrac{AM}{2}$$

$$AM = \dfrac{2 \times 2}{4} = 1 \text{ (cm)}$$

Ví dụ mẫu 3: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, từ $A$ hạ $AH \perp BC$.

a) Chứng minh $\widehat{HAB} = \widehat{C}$.

b) Chứng minh $\triangle HBA \sim \triangle HAC$.

Lời giải chi tiết:

a) Trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$:

$$\widehat{HAB} + \widehat{ABH} = 90°$$

Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$:

$$\widehat{B} + \widehat{C} = 90°$$

Vì $\widehat{ABH} = \widehat{B}$ nên $\widehat{HAB} = 90° – \widehat{B} = \widehat{C}$.

b) Xét $\triangle HBA$ và $\triangle HAC$:

• $\widehat{BHA} = \widehat{AHC} = 90°$ (vì $AH \perp BC$).
• $\widehat{HAB} = \widehat{C}$ (chứng minh ở câu a).

Vậy $\triangle HBA \sim \triangle HAC$ (g.g).

Dạng 3: Ứng dụng tam giác đồng dạng để tính độ dài và chứng minh hệ thức

Phương pháp giải:

• Sau khi chứng minh hai tam giác đồng dạng, viết tỉ lệ các cạnh tương ứng.
• Tính độ dài cạnh: Từ tỉ lệ, thay các giá trị đã biết và giải tìm ẩn.
• Chứng minh tích bằng nhau dạng $AB \cdot CD = EF \cdot GH$: Viết dưới dạng tỉ lệ $\dfrac{AB}{EF} = \dfrac{GH}{CD}$, rồi chỉ ra tỉ lệ này xuất hiện trong cặp tam giác đồng dạng.
• Chứng minh bình phương dạng $AB^2 = CD \cdot EF$: Viết $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{EF}{AB}$, rồi tìm cặp tam giác đồng dạng chứa tỉ lệ này.

Ví dụ mẫu 1 (BT 9.10): Hai chiếc cột thẳng đứng trên mặt đất, chiều cao $3$ m và $2$ m. Nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia, hai sợi dây cắt nhau tại một điểm. Tính độ cao $h$ của điểm đó so với mặt đất.

Lời giải chi tiết:

Gọi hai chân cột là $A$, $B$; hai đỉnh cột là $C$ ($CA = 3$ m) và $D$ ($DB = 2$ m). Hai sợi dây $CB$ và $DA$ cắt nhau tại $O$. Hạ $OH \perp AB$ ($H \in AB$), $OH = h$.

Vì $CA \perp AB$ và $OH \perp AB$ nên $CA \parallel OH$.

Xét $\triangle BCA$: $OH \parallel CA$ nên $\triangle BOH \sim \triangle BCA$ (định lí).

Suy ra: $\dfrac{OH}{CA} = \dfrac{BH}{BA}$, tức $\dfrac{h}{3} = \dfrac{BH}{BA}$. (1)

Vì $DB \perp AB$ và $OH \perp AB$ nên $DB \parallel OH$.

Xét $\triangle ADB$: $OH \parallel DB$ nên $\triangle AOH \sim \triangle ADB$.

Suy ra: $\dfrac{OH}{DB} = \dfrac{AH}{AB}$, tức $\dfrac{h}{2} = \dfrac{AH}{AB}$. (2)

Từ (1) và (2): $\dfrac{BH}{BA} + \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{h}{3} + \dfrac{h}{2}$.

Mà $\dfrac{BH + AH}{AB} = \dfrac{AB}{AB} = 1$.

Nên: $\dfrac{h}{3} + \dfrac{h}{2} = 1$, tức $\dfrac{2h + 3h}{6} = 1$, suy ra $5h = 6$, $h = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$ (m).

Vậy độ cao điểm giao là $1{,}2$ m.

Ví dụ mẫu 2: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$, đường phân giác $BD$ cắt $AH$ tại $E$.

a) Chứng minh $\triangle ABD \sim \triangle HBE$.

b) Chứng minh $AB^2 = BH \cdot BC$.

Lời giải chi tiết:

a) Xét $\triangle ABD$ và $\triangle HBE$:

• $\widehat{ABD} = \widehat{HBE}$ (vì $BD$ là phân giác $\widehat{ABC}$, $\widehat{ABD} = \widehat{DBC}$; và $\widehat{HBE} = \widehat{ABD}$).
• $\widehat{BAD} = \widehat{BHE} = 90°$ (vì $\widehat{BAC} = 90°$ và $AH \perp BC$).

Vậy $\triangle ABD \sim \triangle HBE$ (g.g).

b) Xét $\triangle ABH$ và $\triangle BCA$:

• $\widehat{BHA} = \widehat{BAC} = 90°$.
• $\widehat{B}$ chung.

Vậy $\triangle ABH \sim \triangle BCA$ (g.g).

Suy ra: $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BH}{AB}$, tức $AB^2 = BH \cdot BC$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Chọn trường hợp phù hợp: Nếu đề cho đủ ba cạnh → dùng c.c.c. Nếu cho hai cạnh và một góc xen giữa → dùng c.g.c. Nếu cho hai góc (hoặc suy ra được) → dùng g.g. Trường hợp g.g là dễ dùng nhất vì chỉ cần hai cặp góc.

Mẹo 2 — Tìm góc bằng nhau nhanh: Các nguồn góc bằng nhau phổ biến nhất: góc chung, góc đối đỉnh, góc so le trong (nhờ đường song song), góc vuông ($90°$), góc phân giác (chia đôi góc).

Mẹo 3 — Chứng minh $AB^2 = CD \cdot EF$: Viết thành $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{EF}{AB}$ (hoặc $\dfrac{AB}{EF} = \dfrac{CD}{AB}$), rồi tìm hai tam giác đồng dạng có tỉ lệ chứa $AB$ ở cả tử và mẫu.

Mẹo 4 — Tam giác vuông + đường cao = ba cặp đồng dạng: Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$, luôn có ba cặp: $\triangle HBA \sim \triangle HAC$, $\triangle HBA \sim \triangle ABC$, $\triangle HAC \sim \triangle ABC$. Nhớ thuộc kết quả này giúp giải rất nhanh.

Tổng kết

Qua Bài 34, các em cần nắm vững:

Ba trường hợp đồng dạng:

• c.c.c: Ba cạnh tỉ lệ → đồng dạng.
• c.g.c: Hai cạnh tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau → đồng dạng.
• g.g: Hai góc bằng nhau → đồng dạng (dễ dùng nhất).

Ba dạng bài tập cốt lõi: chứng minh đồng dạng bằng c.c.c (kiểm tra ba cặp cạnh tỉ lệ), chứng minh đồng dạng bằng c.g.c hoặc g.g (tìm góc bằng nhau từ góc chung, đối đỉnh, so le trong, đề cho…), và ứng dụng tam giác đồng dạng để tính độ dài cạnh hoặc chứng minh hệ thức tích. Nắm chắc bài này là chìa khoá để giải hầu hết các bài toán hình học trong chương trình.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du