Bài 24 là bài cuối cùng trong chương Phân thức đại số, hoàn thiện bộ bốn phép tính trên phân thức: cộng, trừ (đã học ở Bài 23), nhân và chia. Quy tắc nhân, chia phân thức hoàn toàn tương tự phân số: nhân thì nhân chéo tử với tử mẫu với mẫu, chia thì nhân với nghịch đảo. Kết hợp cả bốn phép tính, các em sẽ có thể rút gọn các biểu thức phân thức phức tạp — dạng bài trọng tâm nhất, xuất hiện rất nhiều trong kiểm tra và thi.

1. Nhân hai phân thức

Quy tắc nhân hai phân thức

Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, nhân các mẫu thức với nhau:

$$\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D}$$

Chú ý: Kết quả thường viết dưới dạng rút gọn. Nên phân tích nhân tử trước khi nhân để dễ rút gọn.

Ví dụ: Nhân $\dfrac{3x – 1}{4x + 1}$ và $\dfrac{4x + 1}{9x^2 – 1}$.

$$\dfrac{3x – 1}{4x + 1} \cdot \dfrac{4x + 1}{9x^2 – 1} = \dfrac{(3x-1)(4x+1)}{(4x+1)(9x^2 – 1)} = \dfrac{(3x-1)(4x+1)}{(4x+1)(3x-1)(3x+1)} = \dfrac{1}{3x + 1}$$

Tính chất của phép nhân phân thức

Phép nhân phân thức có ba tính chất quan trọng (tương tự phân số):

a) Giao hoán: $\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D} \cdot \dfrac{A}{B}$

b) Kết hợp: $\left(\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D}\right) \cdot \dfrac{E}{F} = \dfrac{A}{B} \cdot \left(\dfrac{C}{D} \cdot \dfrac{E}{F}\right)$

c) Phân phối đối với phép cộng: $\dfrac{A}{B} \cdot \left(\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}\right) = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} + \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{E}{F}$

Nhờ tính chất giao hoán và kết hợp, ta có thể đổi chỗ và nhóm các phân thức khi nhân nhiều phân thức:

$$\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{x – 1}{x + 1} \cdot \dfrac{y}{x} = \left(\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{x}\right) \cdot \dfrac{x – 1}{x + 1} = 1 \cdot \dfrac{x – 1}{x + 1} = \dfrac{x – 1}{x + 1}$$

2. Chia hai phân thức

Quy tắc chia hai phân thức

Quy tắc: Muốn chia phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$ (khác 0), ta nhân $\dfrac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\dfrac{C}{D}$:

$$\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}, \quad \text{với } \dfrac{C}{D} \neq 0$$

Phân thức nghịch đảo: $\dfrac{D}{C}$ là phân thức nghịch đảo của $\dfrac{C}{D}$ (đảo tử thành mẫu, mẫu thành tử). Ta có: $\dfrac{C}{D} \cdot \dfrac{D}{C} = 1$.

Ví dụ: Tính $\dfrac{5}{x^2 – 1} : \dfrac{3}{x^2 – x}$.

$$\dfrac{5}{x^2 – 1} : \dfrac{3}{x^2 – x} = \dfrac{5}{x^2 – 1} \cdot \dfrac{x^2 – x}{3} = \dfrac{5(x^2 – x)}{3(x^2 – 1)} = \dfrac{5x(x-1)}{3(x-1)(x+1)} = \dfrac{5x}{3(x+1)}$$

Lưu ý: Phép chia không có tính chất kết hợp. Tức là: $(A : B) : C \neq A : (B : C)$ nói chung.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhân, chia hai phân thức

Phương pháp giải:

Phép nhân: Nhân tử với tử, mẫu với mẫu. Trước khi nhân, nên phân tích nhân tử tử và mẫu của tất cả phân thức trước, rồi rút gọn các nhân tử chung. Cách này nhanh hơn nhân ra rồi mới rút gọn.

Phép chia: Đổi thành phép nhân với nghịch đảo (đảo tử mẫu phân thức chia), rồi làm như phép nhân.

Ví dụ mẫu 1 (BT 6.26b): Làm tính nhân: $\dfrac{x^2 – x}{2x + 1} \cdot \dfrac{4x^2 – 1}{x^3 – 1}$.

Lời giải chi tiết:

Phân tích nhân tử:

• $x^2 – x = x(x – 1)$.
• $4x^2 – 1 = (2x – 1)(2x + 1)$.
• $x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)$.

Nhân:

$$\dfrac{x(x-1)}{2x+1} \cdot \dfrac{(2x-1)(2x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$$

Rút gọn $(2x+1)$ và $(x-1)$:

$$= \dfrac{x(2x-1)}{x^2 + x + 1}$$

Ví dụ mẫu 2 (BT 6.27b): Làm tính chia: $\dfrac{4x^2 – 1}{8x^3 – 1} : \dfrac{4x^2 + 4x + 1}{4x^2 + 2x + 1}$.

Lời giải chi tiết:

Đổi thành phép nhân:

$$\dfrac{4x^2 – 1}{8x^3 – 1} \cdot \dfrac{4x^2 + 2x + 1}{4x^2 + 4x + 1}$$

Phân tích nhân tử:

• $4x^2 – 1 = (2x – 1)(2x + 1)$.
• $8x^3 – 1 = (2x – 1)(4x^2 + 2x + 1)$.
• $4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$.

Thay vào:

$$\dfrac{(2x-1)(2x+1)}{(2x-1)(4x^2+2x+1)} \cdot \dfrac{4x^2+2x+1}{(2x+1)^2}$$

Rút gọn $(2x-1)$ và $(4x^2+2x+1)$:

$$= \dfrac{2x + 1}{(2x+1)^2} = \dfrac{1}{2x + 1}$$

Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn điều kiện

Phương pháp giải:

Tìm $P$ khi biết $P \cdot Q = R$: Suy ra $P = R : Q = R \cdot \dfrac{1}{Q}$ (nhân $R$ với nghịch đảo của $Q$).

Tìm $Q$ khi biết $P : Q = R$: Suy ra $P = R \cdot Q$, nên $Q = P : R = P \cdot \dfrac{1}{R}$.

Ví dụ mẫu 1 (BT 6.28a): Tìm phân thức $P$ thỏa mãn: $P \cdot \dfrac{x + 1}{2x + 1} = \dfrac{x^2 + x}{4x^2 – 1}$.

Lời giải chi tiết:

$$P = \dfrac{x^2 + x}{4x^2 – 1} : \dfrac{x + 1}{2x + 1} = \dfrac{x^2 + x}{4x^2 – 1} \cdot \dfrac{2x + 1}{x + 1}$$

Phân tích: $x^2 + x = x(x + 1)$; $4x^2 – 1 = (2x – 1)(2x + 1)$.

$$P = \dfrac{x(x+1)}{(2x-1)(2x+1)} \cdot \dfrac{2x+1}{x+1} = \dfrac{x}{2x – 1}$$

Ví dụ mẫu 2 (BT 6.28b): Tìm phân thức $Q$ thỏa mãn: $Q : \dfrac{x^2}{x^2 + 4x + 4} = \dfrac{(x+1)(x+2)}{x^2 – 2x}$.

Lời giải chi tiết:

$$Q = \dfrac{(x+1)(x+2)}{x^2 – 2x} \cdot \dfrac{x^2}{x^2 + 4x + 4}$$

Phân tích: $x^2 – 2x = x(x – 2)$; $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$.

$$Q = \dfrac{(x+1)(x+2)}{x(x-2)} \cdot \dfrac{x^2}{(x+2)^2} = \dfrac{x(x+1)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{x^2 + x}{x^2 – 4}$$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức phân thức tổng hợp (cộng, trừ, nhân, chia)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ (cho tất cả mẫu $\neq 0$).

Bước 2: Thực hiện phép tính theo thứ tự ưu tiên: ngoặc trước → nhân chia trước → cộng trừ sau.

Bước 3: Ở mỗi bước, phân tích nhân tử trước khi nhân/chia, rút gọn ngay khi có thể.

Bước 4: Tính giá trị / tìm $x$ / tìm $x$ nguyên (kiểm tra ĐKXĐ).

Ví dụ mẫu 1 (BT 6.29): Cho $P = \dfrac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x}$ và $Q = \dfrac{x^2 + 3x}{x^2 – 9}$.

a) Rút gọn $P$ và $Q$.

b) Tính $P \cdot Q$ và $P : Q$.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn $P$:

$$P = \dfrac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x} = \dfrac{(x+3)^2}{x(x+3)} = \dfrac{x + 3}{x}$$

Rút gọn $Q$:

$$Q = \dfrac{x^2 + 3x}{x^2 – 9} = \dfrac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \dfrac{x}{x – 3}$$

b) Tính $P \cdot Q$:

$$P \cdot Q = \dfrac{x + 3}{x} \cdot \dfrac{x}{x – 3} = \dfrac{(x+3) \cdot x}{x \cdot (x-3)} = \dfrac{x + 3}{x – 3}$$

Tính $P : Q$:

$$P : Q = \dfrac{x + 3}{x} : \dfrac{x}{x – 3} = \dfrac{x + 3}{x} \cdot \dfrac{x – 3}{x} = \dfrac{(x+3)(x-3)}{x^2} = \dfrac{x^2 – 9}{x^2}$$

Ví dụ mẫu 2 (Bài 5 giáo án): Cho biểu thức $P = \left(\dfrac{x^2 – 2}{x^2 + 2x} + \dfrac{1}{x + 2}\right) : \dfrac{x + 1}{x}$ với $x \neq 0$, $x \neq -2$, $x \neq -1$.

a) Rút gọn $P$.

b) Tìm $x$ để $P = \dfrac{5}{2}$.

c) Tìm $x$ nguyên để $P$ nguyên.

Lời giải chi tiết:

a) Thực hiện phần ngoặc trước.

$$\dfrac{x^2 – 2}{x^2 + 2x} + \dfrac{1}{x + 2}$$

Phân tích mẫu: $x^2 + 2x = x(x + 2)$.

MTC $= x(x + 2)$.

$$= \dfrac{x^2 – 2}{x(x+2)} + \dfrac{x}{x(x+2)} = \dfrac{x^2 – 2 + x}{x(x + 2)} = \dfrac{x^2 + x – 2}{x(x + 2)}$$

Phân tích tử: $x^2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1)$.

$$= \dfrac{(x+2)(x-1)}{x(x+2)} = \dfrac{x – 1}{x}$$

Bây giờ chia cho $\dfrac{x + 1}{x}$:

$$P = \dfrac{x – 1}{x} : \dfrac{x + 1}{x} = \dfrac{x – 1}{x} \cdot \dfrac{x}{x + 1} = \dfrac{x – 1}{x + 1}$$

b) $P = \dfrac{5}{2}$:

$$\dfrac{x – 1}{x + 1} = \dfrac{5}{2}$$

$$2(x – 1) = 5(x + 1)$$

$$2x – 2 = 5x + 5$$

$$-3x = 7 \Rightarrow x = -\dfrac{7}{3}$$

Kiểm tra ĐKXĐ: $x = -\dfrac{7}{3} \neq 0, -2, -1$ ✓.

c) $P = \dfrac{x – 1}{x + 1} = \dfrac{(x + 1) – 2}{x + 1} = 1 – \dfrac{2}{x + 1}$.

Để $P$ nguyên thì $\dfrac{2}{x + 1}$ nguyên, tức $(x + 1)$ là ước của 2.

Ước của 2: $\pm 1, \pm 2$.

$x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$; $x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2$; $x + 1 = 2 \Rightarrow x = 1$; $x + 1 = -2 \Rightarrow x = -3$.

Kiểm tra ĐKXĐ ($x \neq 0, -2, -1$): $x = 0$ loại, $x = -2$ loại.

Vậy $x \in {1; -3}$.

Ví dụ mẫu 3 (Bài 8 giáo án): Cho biểu thức $A = \left(\dfrac{2x}{x – 3} + \dfrac{x}{x + 3} + \dfrac{2x^2 + 3x + 1}{9 – x^2}\right) : \dfrac{x – 1}{x + 3}$.

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn $A$.

b) Tìm $x$ để $A = 3$.

c) Tìm $x$ để $A < 1$.

Lời giải chi tiết:

a) ĐKXĐ: $x \neq \pm 3$ và $x \neq 1$.

Xử lý: $9 – x^2 = -(x^2 – 9) = -(x-3)(x+3)$.

$$\dfrac{2x^2 + 3x + 1}{9 – x^2} = \dfrac{2x^2 + 3x + 1}{-(x-3)(x+3)} = \dfrac{-(2x^2 + 3x + 1)}{(x-3)(x+3)}$$

MTC ngoặc $= (x – 3)(x + 3)$:

$$\dfrac{2x(x+3) + x(x-3) – (2x^2 + 3x + 1)}{(x-3)(x+3)}$$

Khai triển tử:

$2x^2 + 6x + x^2 – 3x – 2x^2 – 3x – 1 = x^2 – 1 = (x-1)(x+1)$.

Ngoặc $= \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-3)(x+3)}$.

Chia cho $\dfrac{x – 1}{x + 3}$:

$$A = \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-3)(x+3)} \cdot \dfrac{x+3}{x-1} = \dfrac{x + 1}{x – 3}$$

b) $A = 3$: $\dfrac{x+1}{x-3} = 3 \Rightarrow x + 1 = 3(x – 3) \Rightarrow x + 1 = 3x – 9 \Rightarrow -2x = -10 \Rightarrow x = 5$.

Kiểm tra ĐKXĐ: $5 \neq \pm 3, 1$ ✓. Vậy $x = 5$.

c) $A < 1$: $\dfrac{x+1}{x-3} < 1 \Rightarrow \dfrac{x+1}{x-3} – 1 < 0 \Rightarrow \dfrac{x+1-(x-3)}{x-3} < 0 \Rightarrow \dfrac{4}{x-3} < 0$.

Vì $4 > 0$ nên $\dfrac{4}{x-3} < 0$ khi $x – 3 < 0$, tức $x < 3$ (kết hợp ĐKXĐ: $x \neq -3, 1$).

Vậy $A < 1$ khi $x < 3$ và $x \neq -3, x \neq 1$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — “Phân tích trước, nhân sau”: Luôn phân tích nhân tử tử và mẫu của tất cả phân thức trước khi nhân. Rút gọn nhân tử chung ngay → tránh nhân ra biểu thức phức tạp rồi mới rút gọn.

Mẹo 2 — Dạng rút gọn biểu thức tổng hợp: Gặp dạng $\left(\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{D}\right) : \dfrac{E}{F}$ → tính ngoặc trước (quy đồng, cộng/trừ, rút gọn) → chia = nhân nghịch đảo → rút gọn tiếp.

Mẹo 3 — Tìm $x$ nguyên: Sau rút gọn $\dfrac{A}{B}$, chia $A$ cho $B$: viết $\dfrac{A}{B} = q + \dfrac{r}{B}$ (chia có dư). Phân thức nguyên ⟺ $B$ là ước của $r$. Liệt kê ước → tìm $x$ → kiểm tra ĐKXĐ.

Mẹo 4 — Nhóm triệt tiêu khi nhân nhiều phân thức: Trong tích nhiều phân thức, tìm nhân tử ở tử phân thức này khớp với nhân tử ở mẫu phân thức kia → triệt tiêu ngay, tương tự cách nhân nhiều phân số.

Tổng kết

Qua Bài 24, các em cần nắm vững:

Phép nhân phân thức: Nhân tử với tử, mẫu với mẫu: $\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{AC}{BD}$. Phân tích nhân tử trước khi nhân để dễ rút gọn. Phép nhân có tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối.

Phép chia phân thức: Chia = nhân với nghịch đảo: $\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}$. Phân thức nghịch đảo của $\dfrac{C}{D}$ là $\dfrac{D}{C}$.

Rút gọn biểu thức tổng hợp: Kết hợp cả bốn phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) trên phân thức. Thực hiện theo đúng thứ tự ưu tiên, phân tích nhân tử ở mỗi bước, rút gọn liên tục.

Đây là bài cuối cùng trong chương Phân thức đại số. Nắm vững tất cả bốn phép tính sẽ giúp các em giải quyết mọi dạng bài toán phân thức trong kiểm tra và thi, đặc biệt là dạng rút gọn biểu thức rồi tính giá trị, tìm $x$ nguyên — dạng bài “kinh điển” xuất hiện trong hầu hết mọi đề thi.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du