Hình bình hành là một trong những tứ giác đặc biệt quan trọng nhất trong chương trình Toán 8. Nắm vững tính chất và dấu hiệu nhận biết hình bình hành sẽ giúp các em giải quyết rất nhiều bài toán hình học, đồng thời làm nền tảng để học tiếp hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông.

1. Hình bình hành và tính chất

Khái niệm hình bình hành

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Cụ thể, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$.

Hình bình hành là trường hợp đặc biệt của hình thang: nó là hình thang mà cả hai cặp cạnh đối đều song song.

Ví dụ: Cho tứ giác $MNPQ$ có $\widehat{xQM} = \widehat{QMN}$ và $\widehat{yMN} = \widehat{MNP}$ (các cặp góc so le trong bằng nhau). Khi đó $MN \parallel QP$ và $MQ \parallel NP$, nên $MNPQ$ là hình bình hành.

Tính chất của hình bình hành

Định lí 1: Trong hình bình hành:

a) Các cạnh đối bằng nhau.

b) Các góc đối bằng nhau.

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Cụ thể, trong hình bình hành $ABCD$ với $O$ là giao điểm hai đường chéo:

• $AB = CD$, $AD = BC$ (cạnh đối bằng nhau)
• $\widehat{A} = \widehat{C}$, $\widehat{B} = \widehat{D}$ (góc đối bằng nhau)
• $OA = OC$, $OB = OD$ (đường chéo chia đôi nhau)

Nhận xét: Trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh bất kì thì bù nhau (tổng bằng $180°$). Ví dụ: $\widehat{A} + \widehat{B} = 180°$, $\widehat{A} + \widehat{D} = 180°$.

2. Dấu hiệu nhận biết

Ngoài cách nhận biết hình bình hành bằng định nghĩa (tứ giác có các cạnh đối song song), ta còn có thể nhận biết qua các dấu hiệu sau.

Dấu hiệu nhận biết theo cạnh

Định lí 2:

a) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành.

b) Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là một hình bình hành.

Dấu hiệu nhận biết theo góc và đường chéo

Định lí 3:

a) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là một hình bình hành.

b) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình bình hành.

Tóm lại, có 5 cách nhận biết hình bình hành:

1. Tứ giác có các cạnh đối song song (định nghĩa).
2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau (Định lí 2a).
3. Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau (Định lí 2b).
4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau (Định lí 3a).
5. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (Định lí 3b).

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính góc của hình bình hành

Phương pháp giải:

Sử dụng hai tính chất:

• Các góc đối bằng nhau: $\widehat{A} = \widehat{C}$, $\widehat{B} = \widehat{D}$.
• Hai góc kề một cạnh bù nhau: $\widehat{A} + \widehat{B} = 180°$.

Chỉ cần biết 1 góc là tính được cả 4 góc.

Ví dụ mẫu 1 (BT 3.14): Hình bình hành $ABCD$ có $\widehat{A} = 100°$. Tính các góc còn lại.

Lời giải chi tiết:

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên:

• Góc đối: $\widehat{C} = \widehat{A} = 100°$
• Hai góc kề cạnh $AB$ bù nhau: $\widehat{A} + \widehat{B} = 180°$, suy ra $\widehat{B} = 180° – 100° = 80°$
• Góc đối: $\widehat{D} = \widehat{B} = 80°$

Vậy $\widehat{A} = \widehat{C} = 100°$, $\widehat{B} = \widehat{D} = 80°$.

Ví dụ mẫu 2 (Bài 1 tự luyện): Hình bình hành $ABCD$ có $\widehat{BAD} = 120°$ và $O$ là trung điểm của $BD$.

a) Tính số đo các góc còn lại.

b) Chứng minh $A$, $O$, $C$ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

a) $ABCD$ là hình bình hành nên:

• $\widehat{BCD} = \widehat{BAD} = 120°$ (góc đối)
• $BC \parallel AD$ nên $\widehat{ABC} + \widehat{BAD} = 180°$ (trong cùng phía)
• $\widehat{ABC} = 180° – 120° = 60°$
• $\widehat{ADC} = \widehat{ABC} = 60°$ (góc đối)

b) $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (Định lí 1c).

Mà $O$ là trung điểm của $BD$ (giả thiết), nên $O$ cũng là trung điểm của $AC$.

Suy ra $A$, $O$, $C$ thẳng hàng (cùng nằm trên đường chéo $AC$).

Dạng 2: Nhận biết tứ giác có phải hình bình hành không

Phương pháp giải:

Kiểm tra xem tứ giác thỏa mãn một trong 5 dấu hiệu nhận biết hay không. Nếu không thỏa mãn dấu hiệu nào, giải thích tại sao không phải hình bình hành.

Ví dụ mẫu 1 (BT 3.13): Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, sai?

a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.

b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.

c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Hình thang đã có một cặp cạnh đối song song (hai đáy). Nếu hai cạnh bên cũng song song, thì tứ giác có cả hai cặp cạnh đối song song → là hình bình hành (theo định nghĩa).

b) Sai. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau có thể là hình thang cân (không phải hình bình hành). Ví dụ: hình thang cân có đáy khác nhau thì hai cạnh bên bằng nhau nhưng không song song.

c) Đúng. Đây chính là định nghĩa hình bình hành: tứ giác có các cạnh đối song song.

Ví dụ mẫu 2 (BT 3.16): Tứ giác nào sau đây là hình bình hành?

a) Tứ giác có $\widehat{A} = 100°$, $\widehat{B} = 80°$, $\widehat{C} = 100°$, $\widehat{D}$ chưa biết.

b) Tứ giác có $\widehat{A} = 75°$, $\widehat{B} = 110°$, $\widehat{C} = 75°$, $\widehat{D} = 100°$.

c) Tứ giác có $\widehat{A} = 70°$, $\widehat{B} = 110°$, $\widehat{C} = 110°$, $\widehat{D}$ chưa biết.

Lời giải chi tiết:

a) $\widehat{A} = \widehat{C} = 100°$ (góc đối bằng nhau). Tính $\widehat{D} = 360° – 100° – 80° – 100° = 80°$, nên $\widehat{B} = \widehat{D} = 80°$. Tứ giác có các góc đối bằng nhau → là hình bình hành (Định lí 3a).

b) $\widehat{A} = 75° \ne \widehat{C} = 75°$… nhưng $\widehat{B} = 110° \ne \widehat{D} = 100°$. Hai góc đối $\widehat{B}$ và $\widehat{D}$ không bằng nhau → không phải hình bình hành.

c) $\widehat{A} = 70°$, $\widehat{C} = 110°$ → $\widehat{A} \ne \widehat{C}$. Và $\widehat{B} = 110°$. Tính $\widehat{D} = 360° – 70° – 110° – 110° = 70°$. Vậy $\widehat{A} = \widehat{D} = 70°$ và $\widehat{B} = \widehat{C} = 110°$. Nhưng đây là hai góc kề bằng nhau, không phải góc đối. Các góc đối: $\widehat{A} \ne \widehat{C}$, $\widehat{B} \ne \widehat{D}$ → không phải hình bình hành.

Dạng 3: Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ giác thỏa mãn một trong 5 dấu hiệu nhận biết. Cách thường dùng nhất:

• Chứng minh một cặp cạnh đối song song và bằng nhau (Định lí 2b) — đây là cách phổ biến nhất.
• Chứng minh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (Định lí 3b) — dùng khi đề liên quan đến trung điểm.

Ví dụ mẫu 1 (Ví dụ 2 SGK): Cho hình bình hành $ABCD$. Từ $A$, $C$ kẻ $AH$, $CK$ cùng vuông góc với $BD$ ($H, K \in BD$). Chứng minh tứ giác $AHCK$ là hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

$ABCD$ là hình bình hành nên $AD \parallel BC$ và $AD = BC$, suy ra $\widehat{D_1} = \widehat{B_1}$ (so le trong).

Hai tam giác vuông $AHD$ và $CKB$ có:

• $AD = BC$ (chứng minh trên)
• $\widehat{D_1} = \widehat{B_1}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\triangle AHD = \triangle CKB$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó $AH = CK$.

Mặt khác, $AH$ và $CK$ cùng vuông góc với $BD$ nên $AH \parallel CK$.

Tứ giác $AHCK$ có cặp cạnh đối $AH$, $CK$ song song và bằng nhau → theo Định lí 2b, $AHCK$ là hình bình hành.

Ví dụ mẫu 2 (BT 3.18): Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo hình bình hành $ABCD$. Đường thẳng qua $O$ cắt $AB$ tại $M$, cắt $CD$ tại $N$. Chứng minh $\triangle OAM = \triangle OCN$. Suy ra $MBND$ là hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

$ABCD$ là hình bình hành nên $OA = OC$ (đường chéo chia đôi nhau).

Vì $AB \parallel CD$ nên:

• $\widehat{OAM} = \widehat{OCN}$ (so le trong)
• $\widehat{AOM} = \widehat{CON}$ (đối đỉnh)

Xét $\triangle OAM$ và $\triangle OCN$:

• $OA = OC$ (chứng minh trên)
• $\widehat{OAM} = \widehat{OCN}$ (so le trong)
• $\widehat{AOM} = \widehat{CON}$ (đối đỉnh)

Suy ra $\triangle OAM = \triangle OCN$ (g.c.g).

Do đó $OM = ON$.

Mà $OB = OD$ (tính chất hình bình hành).

Tứ giác $MBND$ có hai đường chéo $MN$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ mỗi đường → theo Định lí 3b, $MBND$ là hình bình hành.

Dạng 4: Bài toán tổng hợp (tam giác cân, tia phân giác kết hợp hình bình hành)

Phương pháp giải:

Kết hợp nhiều kiến thức: tính chất hình bình hành, tam giác cân, tia phân giác, đường song song, chứng minh tam giác bằng nhau…

Ví dụ mẫu 1 (Bài 2 tự luyện): Cho $\triangle ABC$ cân tại $A$ có điểm $D$ trên cạnh $BC$. Kẻ $DM \parallel AC$, $DN \parallel AB$.

a) Chứng minh $AMDN$ là hình bình hành.

b) $\triangle BDM$ là tam giác gì?

c) So sánh $DM + DN$ với $AB$.

Lời giải chi tiết:

a) Tứ giác $AMDN$ có: $AM \parallel DN$ (vì $DN \parallel AB$) và $AN \parallel MD$ (vì $DM \parallel AC$).

Tứ giác có các cạnh đối song song → $AMDN$ là hình bình hành (định nghĩa).

b) $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$, suy ra $\widehat{B} = \widehat{C}$.

Vì $MD \parallel AC$ nên $\widehat{BDM} = \widehat{C}$ (đồng vị).

Mà $\widehat{B} = \widehat{C}$ nên $\widehat{BDM} = \widehat{B}$.

Suy ra $\triangle BDM$ cân tại $M$, do đó $MB = MD$.

c) $AMDN$ là hình bình hành nên $DN = AM$.

$\triangle BDM$ cân tại $M$ nên $MB = MD$.

Vậy: $DM + DN = MB + AM = AB$.

Kết luận: $DM + DN = AB$.

Ví dụ mẫu 2 (Bài 3 tự luyện): Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB < AD$. Tia phân giác $\widehat{B}$ và $\widehat{D}$ lần lượt cắt $AD$, $BC$ tại $M$, $N$.

a) $\triangle ABM$ là tam giác gì?

b) Chứng minh $BMDN$ là hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

a) $ABCD$ là hình bình hành nên $BC \parallel AD$.

Suy ra $\widehat{AMB} = \widehat{MBC}$ (so le trong).

Mà $BM$ là tia phân giác $\widehat{B}$ nên $\widehat{MBC} = \widehat{MBA}$.

Do đó $\widehat{AMB} = \widehat{MBA}$, suy ra $\triangle ABM$ cân tại $A$.

b) $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat{B} = \widehat{D}$.

Suy ra $\dfrac{1}{2}\widehat{B} = \dfrac{1}{2}\widehat{D}$, tức $\widehat{NBM} = \widehat{NDM}$.

Vì $BN \parallel MD$ ($BC \parallel AD$) nên:

$\widehat{BMD} + \widehat{MBN} = 180°$ (trong cùng phía)

$\widehat{BND} + \widehat{NDM} = 180°$ (trong cùng phía)

Suy ra $\widehat{BND} = \widehat{BMD}$.

Tứ giác $BMDN$ có các góc đối bằng nhau ($\widehat{NBM} = \widehat{NDM}$ và $\widehat{BND} = \widehat{BMD}$) → theo Định lí 3a, $BMDN$ là hình bình hành.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh bài toán về hình bình hành

Mẹo 1 — Tính góc nhanh: Biết 1 góc → biết cả 4. Nếu $\widehat{A} = \alpha$ thì $\widehat{C} = \alpha$, $\widehat{B} = \widehat{D} = 180° – \alpha$.

Mẹo 2 — Chọn dấu hiệu phù hợp: Nếu đề cho song song → dùng Định lí 2b (song song + bằng nhau). Nếu đề cho trung điểm → dùng Định lí 3b (đường chéo chia đôi). Nếu đề cho góc → dùng Định lí 3a (góc đối bằng).

Mẹo 3 — Tận dụng Định lí 2b: Đây là dấu hiệu mạnh nhất và được dùng nhiều nhất. Chỉ cần chứng minh 1 cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là xong, không cần xét cặp còn lại.

Mẹo 4 — Tổng hợp tính chất:

$$\text{Hình bình hành } ABCD \Rightarrow \begin{cases} AB \parallel CD, \; AD \parallel BC \\ AB = CD, \; AD = BC \\ \widehat{A} = \widehat{C}, \; \widehat{B} = \widehat{D} \\ OA = OC, \; OB = OD \end{cases}$$

Tổng kết

Qua Bài 12 – Hình bình hành, các em cần nắm vững:

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. Nó có ba tính chất quan trọng: cạnh đối bằng nhau, góc đối bằng nhau, và hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

5 dấu hiệu nhận biết hình bình hành: các cạnh đối song song (định nghĩa); các cạnh đối bằng nhau; một cặp cạnh đối song song và bằng nhau; các góc đối bằng nhau; hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Trong các dấu hiệu trên, Định lí 2b (một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) là dấu hiệu được sử dụng phổ biến nhất khi làm bài tập chứng minh. Nắm chắc bài này sẽ giúp các em tiếp cận dễ dàng các bài học tiếp theo về hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du