Bài 39 giới thiệu một hình khối không gian quen thuộc: hình chóp tứ giác đều — hình dạng của những công trình nổi tiếng như Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập. Đây là bước tiếp nối tự nhiên sau hình chóp tam giác đều, giúp các em mở rộng kỹ năng tính diện tích xung quanh và thể tích cho các hình khối phức tạp hơn.

Bài học gồm hai phần chính: khái niệm và các yếu tố của hình chóp tứ giác đều (đỉnh, cạnh bên, mặt bên, đường cao, trung đoạn), và công thức tính diện tích xung quanh, thể tích — từ đó vận dụng vào nhiều dạng bài tập thực tế.

1. Hình chóp tứ giác đều

Khái niệm hình chóp tứ giác đều

Hãy hình dung một hình vuông nằm ở phía dưới làm đáy, từ một điểm phía trên (đỉnh) nối xuống bốn đỉnh của hình vuông đó, ta được bốn mặt tam giác. Nếu bốn mặt tam giác này đều là tam giác cân bằng nhau, ta có một hình chóp tứ giác đều.

Định nghĩa: Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có mặt đáy là hình vuông và các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

Các yếu tố của hình chóp tứ giác đều

Xét hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ (Hình 10.18):

• Đỉnh: Điểm $S$ nằm phía trên, là đỉnh chung của các mặt bên.
• Mặt đáy: Hình vuông $ABCD$.
• Cạnh bên: Các đoạn thẳng nối đỉnh $S$ với các đỉnh đáy: $SA$, $SB$, $SC$, $SD$.
• Mặt bên: Bốn tam giác cân: $\triangle SAB$, $\triangle SBC$, $\triangle SCD$, $\triangle SDA$.
• Đường cao: Đoạn thẳng $SO$ kẻ từ đỉnh $S$ vuông góc xuống mặt đáy ($O$ là giao điểm hai đường chéo của hình vuông $ABCD$).
• Trung đoạn: Đoạn thẳng kẻ từ đỉnh $S$ đến trung điểm một cạnh đáy (ví dụ $SH$ với $H$ là trung điểm $BC$). Trung đoạn chính là đường cao của mặt bên tam giác cân, kẻ từ đỉnh $S$.

Nhận xét quan trọng:

• Chân đường cao (điểm $O$) chính là tâm hình vuông đáy — giao điểm hai đường chéo.
• Điểm $O$ cách đều bốn đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$ của mặt đáy.

Ví dụ: Hãy cho biết đỉnh, cạnh bên, mặt bên, mặt đáy, đường cao và một trung đoạn của hình chóp tứ giác đều $S.MNPQ$ (Hình 10.19).

Lời giải:

• Đỉnh: $S$.
• Các cạnh bên: $SM$, $SN$, $SP$, $SQ$.
• Các mặt bên: $\triangle SMN$, $\triangle SNP$, $\triangle SPQ$, $\triangle SQM$.
• Mặt đáy: Hình vuông $MNPQ$.
• Đường cao: $SH$ (với $H$ là giao điểm hai đường chéo $MP$ và $NQ$).
• Một trung đoạn: $SI$ (với $I$ là trung điểm cạnh $NP$).

2. Diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tứ giác đều

Công thức diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều được tính bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

$$S_{xq} = p \cdot d$$

Trong đó:

• $p$ là nửa chu vi mặt đáy.
• $d$ là trung đoạn (đường cao mặt bên kẻ từ đỉnh).

Lưu ý: Với đáy hình vuông cạnh $a$, chu vi đáy là $4a$, nên nửa chu vi $p = \dfrac{4a}{2} = 2a$. Khi đó: $S_{xq} = 2a \cdot d$.

Công thức thể tích

Thể tích của hình chóp tứ giác đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao:

$$V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$$

Trong đó:

• $S$ là diện tích mặt đáy (với đáy hình vuông cạnh $a$: $S = a^2$).
• $h$ là chiều cao của hình chóp (đoạn $SO$).

Ví dụ: Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, biết cạnh đáy bằng $6$ cm, chiều cao bằng $4$ cm và trung đoạn bằng $5$ cm (Hình 10.22).

Lời giải:

Nửa chu vi đáy $ABCD$ là:

$$p = \dfrac{4 \times 6}{2} = 12 \text{ (cm)}$$

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ là:

$$S_{xq} = p \cdot d = 12 \times 5 = 60 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Diện tích đáy $ABCD$ là:

$$S = 6^2 = 36 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Thể tích của hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ là:

$$V = \dfrac{1}{3} \times S \times h = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 4 = 48 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh và thể tích khi đề cho trực tiếp các kích thước

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định các đại lượng đề bài cho: cạnh đáy $a$, trung đoạn $d$, chiều cao $h$.

Bước 2: Tính nửa chu vi đáy: $p = 2a$.

Bước 3: Áp dụng công thức $S_{xq} = p \cdot d$ và $V = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot h$.

Bước 4: Kết luận (ghi đúng đơn vị: cm² cho diện tích, cm³ cho thể tích).

Ví dụ mẫu 1 (BT 10.8): Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $10$ cm, trung đoạn bằng $13$ cm (Hình 10.27).

a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Lời giải chi tiết:

a) Cạnh đáy $a = 10$ cm, trung đoạn $d = 13$ cm.

Nửa chu vi đáy là:

$$p = \dfrac{4 \times 10}{2} = 20 \text{ (cm)}$$

Diện tích xung quanh của hình chóp:

$$S_{xq} = p \cdot d = 20 \times 13 = 260 \text{ (cm}^2\text{)}$$

b) Diện tích đáy (hình vuông cạnh $10$ cm):

$$S_{đáy} = 10^2 = 100 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng diện tích đáy:

$$S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} = 260 + 100 = 360 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Ví dụ mẫu 2 (BT 10.9): Bánh ít có dạng hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy bằng $3$ cm, chiều cao bằng $3$ cm. Tính thể tích của một chiếc bánh ít.

Lời giải chi tiết:

Cạnh đáy $a = 3$ cm, chiều cao $h = 3$ cm.

Diện tích đáy:

$$S = a^2 = 3^2 = 9 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Thể tích của chiếc bánh ít:

$$V = \dfrac{1}{3} \times S \times h = \dfrac{1}{3} \times 9 \times 3 = 9 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Vậy thể tích của một chiếc bánh ít là $9$ cm³.

Dạng 2: Tính trung đoạn bằng định lý Pytago, rồi tính diện tích xung quanh và thể tích

Phương pháp giải:

Khi đề bài cho cạnh đáy $a$ và chiều cao $h$ nhưng không cho trung đoạn $d$, ta cần tính trung đoạn trước bằng cách sử dụng định lý Pytago.

Bước 1: Xác định tam giác vuông $SOH$, trong đó:

• $O$ là tâm hình vuông đáy (chân đường cao).
• $H$ là trung điểm một cạnh đáy.
• $SO = h$ (chiều cao hình chóp).
• $OH = \dfrac{a}{2}$ (khoảng cách từ tâm hình vuông đến trung điểm cạnh).
• $SH = d$ (trung đoạn — cạnh huyền).

Bước 2: Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông $SOH$:

$$d = SH = \sqrt{SO^2 + OH^2} = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}$$

Bước 3: Tính $S_{xq}$ và $V$ bằng các công thức đã biết.

Ví dụ mẫu: Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $BC = 6$ cm, chiều cao $SO = 4$ cm (Hình 22).

a) Tính trung đoạn $SH$ của hình chóp $S.ABCD$.

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ (giao điểm hai đường chéo), $H$ là trung điểm cạnh $BC$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a = 6$ cm, nên khoảng cách từ tâm $O$ đến trung điểm cạnh $BC$ là:

$$OH = \dfrac{a}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \text{ (cm)}$$

Tam giác $SOH$ vuông tại $O$ (vì $SO$ vuông góc với mặt đáy). Áp dụng định lý Pytago:

$$SH = \sqrt{SO^2 + OH^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ (cm)}$$

Vậy trung đoạn $SH = 5$ cm.

b) Nửa chu vi đáy:

$$p = \dfrac{4 \times 6}{2} = 12 \text{ (cm)}$$

Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = p \cdot d = 12 \times 5 = 60 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Diện tích đáy:

$$S = 6^2 = 36 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Thể tích:

$$V = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 4 = 48 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Dạng 3: Bài toán ngược — tìm kích thước khi biết thể tích hoặc diện tích xung quanh

Phương pháp giải:

Khi đề bài cho $S_{xq}$ hoặc $V$ và yêu cầu tìm ngược lại cạnh đáy, chiều cao, ta làm ngược:

• Từ $S_{xq} = p \cdot d$, suy ra $p = \dfrac{S_{xq}}{d}$, rồi tìm $a = \dfrac{p}{2}$.
• Từ $V = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot h$, suy ra $h = \dfrac{3V}{a^2}$ hoặc $a^2 = \dfrac{3V}{h}$.
• Nếu cần tính trung đoạn để tìm $S_{xq}$: dùng thêm định lý Pytago $d = \sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{4}}$.

Ví dụ mẫu 1 Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có diện tích xung quanh bằng $12\sqrt{34}$ cm², trung đoạn $d = \sqrt{34}$ cm.

a) Tính cạnh đáy của hình chóp.

b) Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $S_{xq} = p \cdot d$, suy ra:

$$p = \dfrac{S_{xq}}{d} = \dfrac{12\sqrt{34}}{\sqrt{34}} = 12 \text{ (cm)}$$

Mà nửa chu vi $p = 2a$, nên:

$$a = \dfrac{p}{2} = \dfrac{12}{2} = 6 \text{ (cm)}$$

Vậy cạnh đáy bằng $6$ cm.

b) Để tính thể tích, ta cần tìm chiều cao $h$.

Ta có: $OH = \dfrac{a}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ (cm).

Trong tam giác vuông $SOH$, áp dụng định lý Pytago:

$$SO^2 = SH^2 – OH^2 = (\sqrt{34})^2 – 3^2 = 34 – 9 = 25$$

$$SO = \sqrt{25} = 5 \text{ (cm)}$$

Diện tích đáy: $S = 6^2 = 36$ (cm²).

Thể tích:

$$V = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 5 = 60 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Ví dụ mẫu 2: Hình chóp tứ giác đều có thể tích $V = \dfrac{64}{3}$ cm³. Biết chiều cao bằng cạnh đáy. Tính chiều cao $SO$ và diện tích xung quanh.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi cạnh đáy là $a$ (cm). Vì chiều cao bằng cạnh đáy nên $h = a$.

Diện tích đáy: $S = a^2$.

Theo công thức thể tích:

$$V = \dfrac{1}{3} \times a^2 \times h = \dfrac{1}{3} \times a^2 \times a = \dfrac{a^3}{3}$$

Mà $V = \dfrac{64}{3}$, nên:

$$\dfrac{a^3}{3} = \dfrac{64}{3}$$

$$a^3 = 64$$

$$a = \sqrt[3]{64} = 4 \text{ (cm)}$$

Vậy chiều cao $SO = a = 4$ cm.

b) Cạnh đáy $a = 4$ cm, chiều cao $h = 4$ cm.

Tính trung đoạn bằng định lý Pytago:

$$OH = \dfrac{a}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \text{ (cm)}$$

$$d = SH = \sqrt{SO^2 + OH^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ (cm)}$$

Nửa chu vi đáy: $p = 2a = 2 \times 4 = 8$ (cm).

Diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = p \cdot d = 8 \times 2\sqrt{5} = 16\sqrt{5} \text{ (cm}^2\text{)}$$

Dạng 4: Bài toán hình khối ghép và bài toán thực tế

Phương pháp giải:

Bước 1: Nhận dạng hình khối — tách thành các khối đơn giản (hình hộp chữ nhật + hình chóp tứ giác đều, hình lập phương + hình chóp…).

Bước 2: Xác định kích thước từng khối. Chú ý: cạnh đáy hình chóp thường bằng cạnh trên của hình hộp; chiều cao hình chóp bằng chiều cao tổng trừ đi chiều cao hình hộp.

Bước 3: Tính thể tích từng phần riêng biệt.

Bước 4: Cộng các thể tích lại để được thể tích tổng.

Ví dụ mẫu 1 (BT 10.10): Một khối bê tông có dạng như Hình 10.29. Phần dưới là hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông cạnh $40$ cm, chiều cao $25$ cm. Phần trên là hình chóp tứ giác đều, chiều cao $100$ cm. Tính thể tích khối bê tông.

Lời giải chi tiết:

Phần dưới — Hình hộp chữ nhật:

Đáy là hình vuông cạnh $40$ cm, chiều cao $25$ cm.

$$V_1 = 40 \times 40 \times 25 = 40\,000 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Phần trên — Hình chóp tứ giác đều:

Cạnh đáy hình chóp bằng cạnh trên của hình hộp: $a = 40$ cm. Chiều cao hình chóp: $h = 100$ cm.

Diện tích đáy hình chóp:

$$S = 40^2 = 1\,600 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Thể tích hình chóp:

$$V_2 = \dfrac{1}{3} \times 1\,600 \times 100 = \dfrac{160\,000}{3} \approx 53\,333{,}3 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Thể tích khối bê tông:

$$V = V_1 + V_2 = 40\,000 + \dfrac{160\,000}{3} = \dfrac{120\,000 + 160\,000}{3} = \dfrac{280\,000}{3} \approx 93\,333{,}3 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Ví dụ mẫu 2: Kim tự tháp Kheops có dạng hình chóp tứ giác đều cao $147$ m, cạnh đáy dài $230$ m. Tính thể tích kim tự tháp Kheops.

Lời giải chi tiết:

Cạnh đáy $a = 230$ m, chiều cao $h = 147$ m.

Diện tích đáy:

$$S = 230^2 = 52\,900 \text{ (m}^2\text{)}$$

Thể tích:

$$V = \dfrac{1}{3} \times 52\,900 \times 147 = \dfrac{7\,776\,300}{3} = 2\,592\,100 \text{ (m}^3\text{)}$$

Vậy thể tích Kim tự tháp Kheops là $2\,592\,100$ m³.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Gộp công thức nửa chu vi: Với đáy hình vuông cạnh $a$, thay thẳng $p = 2a$ vào công thức, ta có $S_{xq} = 2a \cdot d$ và $V = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot h$. Nhớ hai công thức gộp này giúp tính nhanh hơn mà không cần bước trung gian.

Mẹo 2 — Tam giác vuông “vàng” SOH: Khi đề cho $a$ và $h$ nhưng thiếu $d$, luôn vẽ tam giác vuông $SOH$ với cạnh góc vuông $SO = h$, $OH = \dfrac{a}{2}$ và cạnh huyền $SH = d$. Áp dụng Pytago: $d = \sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{4}}$. Ngược lại, nếu biết $d$ và $a$: $h = \sqrt{d^2 – \dfrac{a^2}{4}}$.

Mẹo 3 — Diện tích toàn phần: Khi đề hỏi diện tích toàn phần, nhớ cộng thêm diện tích đáy: $S_{tp} = S_{xq} + a^2$. Nhiều em chỉ tính $S_{xq}$ rồi dừng lại.

Mẹo 4 — Kiểm tra đơn vị: Diện tích luôn có đơn vị bình phương (cm², m²), thể tích luôn có đơn vị lập phương (cm³, m³). Nếu kết quả ra sai đơn vị thì cần xem lại phép tính.

Tổng kết

Qua Bài 39, các em cần nắm vững:

Hình chóp tứ giác đều có mặt đáy là hình vuông, bốn mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh. Cần phân biệt rõ đường cao (vuông góc từ đỉnh xuống tâm đáy) và trung đoạn (từ đỉnh đến trung điểm cạnh đáy).

Hai công thức cốt lõi: Diện tích xung quanh $S_{xq} = p \cdot d$ (với $p = 2a$) và thể tích $V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$ (với $S = a^2$).

Bốn dạng bài tập quan trọng: tính trực tiếp $S_{xq}$ và $V$ khi đề cho đủ kích thước, tính trung đoạn bằng định lý Pytago khi chỉ biết cạnh đáy và chiều cao, bài toán ngược tìm kích thước khi biết $S_{xq}$ hoặc $V$, và bài toán hình khối ghép. Trong đó, dạng tính trung đoạn bằng Pytago là dạng hay gặp nhất trong kiểm tra và thi, các em cần luyện kỹ.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du