Bài 27 mở đầu chương Hàm số và đồ thị — một chương quan trọng đặt nền móng cho toàn bộ phần hàm số ở các lớp trên. Bài này giới thiệu ba nội dung cốt lõi: khái niệm hàm số (khi nào $y$ là hàm số của $x$), mặt phẳng tọa độ (cách xác định vị trí điểm bằng cặp số), và đồ thị của hàm số (biểu diễn hình ảnh hàm số trên mặt phẳng tọa độ). Nắm vững bài này sẽ giúp các em học tốt hàm số bậc nhất ở ngay bài tiếp theo.

1. Khái niệm hàm số

Nhận biết khái niệm hàm số

Trong thực tế, có rất nhiều tình huống mà một đại lượng phụ thuộc vào đại lượng khác. Ví dụ: quãng đường đi được phụ thuộc vào thời gian, nhiệt độ trong ngày phụ thuộc vào thời điểm, số lượng hàng tiêu thụ phụ thuộc vào tháng… Khi mối phụ thuộc đó thỏa mãn một điều kiện đặc biệt, ta có khái niệm hàm số.

Định nghĩa: Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao cho với mỗi giá trị của $x$ ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của $y$, thì $y$ được gọi là hàm số của $x$ và $x$ gọi là biến số.

Điều kiện then chốt: mỗi giá trị của $x$ → đúng một giá trị của $y$. Nếu có một giá trị $x$ mà ứng với nó có hai giá trị $y$ khác nhau → không phải hàm số.

Chú ý:

• Khi $y$ là hàm số của $x$, ta thường viết $y = f(x)$ hoặc $y = g(x)$.
• Ví dụ: với hàm số $y = f(x) = 2x + 1$, khi $x = 1$ thì $f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$.
• Hàm số có thể được cho bằng công thức (như $y = 60t$), bằng bảng (bảng giá trị tương ứng), hoặc bằng biểu đồ.

Ví dụ: Cho hàm số $y = f(x) = 5x$. Lập bảng giá trị tương ứng của $y$ khi $x$ nhận các giá trị $-2$; $-1$; $0$; $1$; $2$.

Ví dụ: Các giá trị tương ứng của hai đại lượng $x$ và $y$ được cho bởi bảng. $y$ có phải hàm số của $x$ không?

a)

Mỗi giá trị của $x$ ứng với đúng một giá trị $y$ → $y$ là hàm số của $x$.

b)

Với $x = -3$ có hai giá trị $y = -2$ và $y = 2$ → $y$ không phải hàm số của $x$.

2. Mặt phẳng tọa độ

Nhận biết tọa độ của một điểm trong mặt phẳng tọa độ

Để biểu diễn hàm số trên hình vẽ, ta cần một “sân chơi” — đó là mặt phẳng tọa độ.

Trên mặt phẳng, ta vẽ hai trục số $Ox$ và $Oy$ vuông góc với nhau, cắt nhau tại gốc $O$ của mỗi trục số. Khi đó:

• Trục $Ox$ (nằm ngang) gọi là trục hoành.
• Trục $Oy$ (thẳng đứng) gọi là trục tung.
• Giao điểm $O$ gọi là gốc tọa độ.
• Mặt phẳng có hệ trục tọa độ $Oxy$ gọi là mặt phẳng tọa độ.

Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi điểm $M$ xác định duy nhất một cặp số $(x_0; y_0)$ và mỗi cặp số $(x_0; y_0)$ xác định duy nhất một điểm $M$.

Cặp số $(x_0; y_0)$ gọi là tọa độ của điểm $M$, kí hiệu $M(x_0; y_0)$, trong đó $x_0$ là hoành độ và $y_0$ là tung độ.

Các lưu ý quan trọng:

• Gốc tọa độ $O$ có tọa độ $(0; 0)$.
• Điểm có hoành độ bằng $0$ nằm trên trục tung $Oy$.
• Điểm có tung độ bằng $0$ nằm trên trục hoành $Ox$.
• Hệ trục tọa độ chia mặt phẳng thành 4 góc phần tư (I, II, III, IV):
  • Góc phần tư I: $x > 0$, $y > 0$.
  • Góc phần tư II: $x < 0$, $y > 0$.
  • Góc phần tư III: $x < 0$, $y < 0$.
  • Góc phần tư IV: $x > 0$, $y < 0$.

Ví dụ: Cho các điểm $A(3; -2)$, $B(-1; 4)$, $C(0; -3)$, $D(-2; 0)$.

• $A(3; -2)$: hoành độ $3 > 0$, tung độ $-2 < 0$ → $A$ nằm ở góc phần tư IV.
• $B(-1; 4)$: hoành độ $-1 < 0$, tung độ $4 > 0$ → $B$ nằm ở góc phần tư II.
• $C(0; -3)$: hoành độ bằng $0$ → $C$ nằm trên trục tung $Oy$.
• $D(-2; 0)$: tung độ bằng $0$ → $D$ nằm trên trục hoành $Ox$.

3. Đồ thị của hàm số

Nhận biết khái niệm đồ thị của hàm số

Khi hàm số được cho bằng bảng giá trị, ta có thể biểu diễn các cặp $(x; y)$ trên mặt phẳng tọa độ. Tập hợp tất cả các điểm đó chính là đồ thị của hàm số.

Định nghĩa: Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng $(x; y)$ trên mặt phẳng tọa độ.

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số $y = f(x)$ cho bởi bảng:

Các cặp giá trị: $(-3; -3)$, $(-1; -1)$, $(1; 1)$, $(3; 3)$.

Đồ thị gồm bốn điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết hàm số và tính giá trị hàm số

Phương pháp giải:

• Nhận biết hàm số: Kiểm tra với mỗi giá trị $x$ có ứng với đúng một giá trị $y$ hay không. Nếu tồn tại một $x$ mà có hai giá trị $y$ khác nhau → không phải hàm số.
• Tính giá trị hàm số: Thay giá trị $x$ vào công thức $f(x)$, thực hiện phép tính.
• Tìm $x$ khi biết $f(x)$: Đặt $f(x)$ bằng giá trị cho trước, giải phương trình tìm $x$.

Ví dụ mẫu 1 (BT 7.18): Các giá trị tương ứng cho bởi bảng. $y$ có phải hàm số của $x$ không?

a)

b)

Lời giải chi tiết:

a) Kiểm tra: mỗi giá trị $x \in {-3; -1; 0; 2; 4}$ đều ứng với đúng một giá trị $y = 1$.

Vậy $y$ là hàm số của $x$ (hàm hằng $y = 1$).

b) Kiểm tra: với $x = 1$ có hai giá trị $y = 1$ và $y = 2$ (xuất hiện hai lần trong bảng: $x = 1$ ứng $y = 1$ ở cột 2 và $x = 1$ ứng $y = 2$ ở cột 4).

Vậy $y$ không phải hàm số của $x$.

Ví dụ mẫu 2 (BT 7.19): Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{4}{x}$.

a) Tính $f(-4)$; $f(8)$.

b) Hoàn thành bảng:

Lời giải chi tiết:

a) $f(-4) = \dfrac{4}{-4} = -1$.

$f(8) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.

b) Tính các giá trị chưa biết:

• $x = -2$: $f(-2) = \dfrac{4}{-2} = -2$.
• $y = -4$: $\dfrac{4}{x} = -4$ → $x = \dfrac{4}{-4} = -1$.
• $x = 2$: $f(2) = \dfrac{4}{2} = 2$.
• $x = 3$: $f(3) = \dfrac{4}{3}$.
• $y = 8$: $\dfrac{4}{x} = 8$ → $x = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.

Bảng hoàn chỉnh:

Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số $y = f(x) = 5 – 2x$.

a) Tính $f(-2)$; $f(-1)$; $f(0)$; $f(3)$.

b) Tìm $x$ khi $f(x) = 5$; $f(x) = 3$; $f(x) = -1$.

Lời giải chi tiết:

a)

$f(-2) = 5 – 2 \cdot (-2) = 5 + 4 = 9$.

$f(-1) = 5 – 2 \cdot (-1) = 5 + 2 = 7$.

$f(0) = 5 – 2 \cdot 0 = 5$.

$f(3) = 5 – 2 \cdot 3 = 5 – 6 = -1$.

b) Khi $f(x) = 5$:

$$5 – 2x = 5 \implies -2x = 0 \implies x = 0$$

Khi $f(x) = 3$:

$$5 – 2x = 3 \implies -2x = -2 \implies x = 1$$

Khi $f(x) = -1$:

$$5 – 2x = -1 \implies -2x = -6 \implies x = 3$$

Dạng 2: Xác định tọa độ điểm trên mặt phẳng tọa độ

Phương pháp giải:

• Đọc tọa độ từ hình: Từ điểm $M$, kẻ đường vuông góc xuống trục hoành → hoành độ; kẻ đường vuông góc sang trục tung → tung độ. Viết $M(x_0; y_0)$ — hoành độ viết trước, tung độ viết sau.
• Xác định điểm khi biết tọa độ: Từ hoành độ trên trục $Ox$, kẻ đường thẳng đứng; từ tung độ trên trục $Oy$, kẻ đường thẳng ngang. Giao điểm hai đường thẳng là điểm cần tìm.

Ví dụ mẫu (BT 7.20):

a) Xác định tọa độ các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ trong Hình 7.8.

b) Xác định các điểm $E(0; -2)$ và $F(2; -1)$ trong Hình 7.8.

Lời giải chi tiết:

a) Đọc tọa độ từ Hình 7.8:

• $A(-3; 4)$: hoành độ $-3$, tung độ $4$.
• $B(-2; -2)$: hoành độ $-2$, tung độ $-2$.
• $C(1; -3)$: hoành độ $1$, tung độ $-3$.
• $D(3; 0)$: hoành độ $3$, tung độ $0$ → điểm $D$ nằm trên trục hoành $Ox$.

b) Xác định các điểm $E(0; -2)$ và $F(2; -1)$:

• $E(0; -2)$: hoành độ bằng $0$ → điểm nằm trên trục tung $Oy$, tại vị trí tung độ $-2$.
• $F(2; -1)$: từ $2$ trên trục $Ox$ kẻ đường thẳng đứng, từ $-1$ trên trục $Oy$ kẻ đường thẳng ngang. Giao điểm hai đường thẳng là điểm $F$.

Dạng 3: Vẽ đồ thị hàm số cho bởi bảng giá trị

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ bảng giá trị, liệt kê các cặp $(x; y)$.

Bước 2: Vẽ hệ trục tọa độ $Oxy$ với đơn vị dài phù hợp.

Bước 3: Biểu diễn từng cặp $(x; y)$ thành một điểm trên mặt phẳng tọa độ.

Bước 4: Tập hợp tất cả các điểm vừa biểu diễn chính là đồ thị.

Ví dụ mẫu (BT 7.21): Hàm số $y = f(x)$ được cho bởi bảng:

Vẽ đồ thị của hàm số $y = f(x)$.

Lời giải chi tiết:

Các cặp giá trị tương ứng: $(-2; -5)$, $(-1; -2{,}5)$, $(0; 0)$, $(1; 2{,}5)$, $(2; 5)$.

Vẽ hệ trục tọa độ $Oxy$. Biểu diễn lần lượt năm điểm:

• $(-2; -5)$: sang trái $2$ đơn vị, xuống $5$ đơn vị.
• $(-1; -2{,}5)$: sang trái $1$ đơn vị, xuống $2{,}5$ đơn vị.
• $(0; 0)$: gốc tọa độ $O$.
• $(1; 2{,}5)$: sang phải $1$ đơn vị, lên $2{,}5$ đơn vị.
• $(2; 5)$: sang phải $2$ đơn vị, lên $5$ đơn vị.

Đồ thị hàm số gồm năm điểm trên. (Các em có thể nhận thấy năm điểm này nằm trên một đường thẳng đi qua gốc tọa độ — đây là hàm số $y = 2{,}5x$.)

Dạng 4: Đọc đồ thị hàm số

Phương pháp giải:

• Tìm $f(a)$: Từ $x = a$ trên trục hoành, kẻ đường thẳng đứng cắt đồ thị tại một điểm; từ điểm đó kẻ đường thẳng ngang sang trục tung → đọc giá trị $y$.
• Tìm $x$ khi $f(x) = b$: Từ $y = b$ trên trục tung, kẻ đường thẳng ngang cắt đồ thị; từ giao điểm kẻ đường thẳng đứng xuống trục hoành → đọc giá trị $x$.
• So sánh giá trị: Đọc $f(a)$ và $f(b)$ từ đồ thị rồi so sánh.

Ví dụ mẫu (BT 7.23): Hình 7.10 là đồ thị hàm số mô tả nhiệt độ $T$ (°C) tại các thời điểm $t$ (giờ) của một thành phố châu Âu từ giữa trưa đến 6 giờ tối.

a) Tìm $T(1)$, $T(2)$, $T(5)$ và giải thích ý nghĩa.

b) Trong hai giá trị $T(1)$ và $T(4)$, giá trị nào lớn hơn?

c) Tìm $t$ sao cho $T(t) = 5$.

d) Trong khoảng thời gian nào thì nhiệt độ cao hơn $5°C$?

Lời giải chi tiết:

a) Đọc từ đồ thị (Hình 7.10):

• $T(1) = 6$: Tại thời điểm 1 giờ chiều, nhiệt độ của thành phố là $6°C$.
• $T(2) = 8$: Tại thời điểm 2 giờ chiều, nhiệt độ của thành phố là $8°C$.
• $T(5) = 4$: Tại thời điểm 5 giờ chiều, nhiệt độ của thành phố là $4°C$.

b) Từ đồ thị: $T(1) = 6$ và $T(4) = 5$.

Vì $6 > 5$ nên giá trị $T(1)$ lớn hơn.

c) Kẻ đường thẳng ngang $T = 5$ cắt đồ thị tại hai điểm ứng với $t = 0$ và $t = 4$.

Vậy $T(t) = 5$ khi $t = 0$ và $t = 4$, tức là vào lúc 12 giờ trưa và 4 giờ chiều thì nhiệt độ của thành phố là $5°C$.

d) Nhiệt độ cao hơn $5°C$ khi đồ thị nằm phía trên đường thẳng $T = 5$, tức trong khoảng thời gian từ sau 12 giờ trưa đến trước 4 giờ chiều.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Kiểm tra hàm số bằng bảng: nhìn cột $x$: Nếu có hai cột cùng giá trị $x$ mà $y$ khác nhau → không phải hàm số. Nếu tất cả $x$ đều khác nhau → luôn là hàm số (vì mỗi $x$ chỉ xuất hiện một lần).

Mẹo 2 — Nhớ vị trí 4 góc phần tư:

• Góc I: $(+; +)$ — “trên phải”.
• Góc II: $(-; +)$ — “trên trái”.
• Góc III: $(-; -)$ — “dưới trái”.
• Góc IV: $(+; -)$ — “dưới phải”.

Đi ngược chiều kim đồng hồ từ góc I.

Mẹo 3 — Tính $f(a)$: thay và tính: Khi gặp $f(a)$, chỉ cần thay $x = a$ vào công thức rồi tính. Lưu ý dấu âm: $f(-2) = 5 – 2 \cdot (-2) = 5 + 4 = 9$, không phải $5 – 4$.

Mẹo 4 — Tìm $x$ khi biết $f(x) = b$: giải phương trình: Đặt $f(x) = b$, thay công thức hàm số vào, giải phương trình tìm $x$. Đây chính là kỹ năng giải phương trình bậc nhất đã học ở bài trước.

Tổng kết

Qua Bài 27, các em cần nắm vững:

Hàm số: Đại lượng $y$ phụ thuộc vào $x$ sao cho mỗi giá trị $x$ ứng với đúng một giá trị $y$. Hàm số có thể cho bằng công thức, bảng hoặc biểu đồ. Kí hiệu $y = f(x)$.

Mặt phẳng tọa độ: Hệ trục $Oxy$ gồm trục hoành $Ox$ và trục tung $Oy$ vuông góc tại gốc $O$. Mỗi điểm $M$ ứng với duy nhất một cặp tọa độ $(x_0; y_0)$ — hoành độ viết trước, tung độ viết sau.

Đồ thị hàm số: Tập hợp tất cả các điểm $(x; f(x))$ trên mặt phẳng tọa độ. Khi hàm số cho bằng bảng, đồ thị gồm các điểm rời rạc.

Bốn dạng bài tập cốt lõi: nhận biết hàm số và tính giá trị, xác định tọa độ điểm trên mặt phẳng tọa độ, vẽ đồ thị hàm số từ bảng giá trị, và đọc đồ thị hàm số. Nắm vững bài này sẽ là nền tảng vững chắc để học hàm số bậc nhất $y = ax + b$ ở bài tiếp theo.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du