Bài 37 giới thiệu khái niệm hình đồng dạng — những hình có hình dạng giống nhau nhưng có thể khác nhau về kích thước. Đây là bước mở rộng tự nhiên từ khái niệm hai hình bằng nhau (cùng hình dạng, cùng kích thước) mà các em đã học. Hình đồng dạng xuất hiện rất phổ biến trong tự nhiên, nghệ thuật và kiến trúc.

Bài học gồm hai nội dung chính đan xen: hình đồng dạng phối cảnh (phóng to – thu nhỏ qua một tâm) và hình đồng dạng (khái niệm tổng quát hơn, không phụ thuộc vị trí).

1. Hình đồng dạng phối cảnh

Phóng to và thu nhỏ qua một tâm

Xét một tam giác $A’B’C’$ và một điểm $O$. Trên các tia $OA’$, $OB’$, $OC’$, ta lấy các điểm $A$, $B$, $C$ sao cho $OA = 2OA’$, $OB = 2OB’$, $OC = 2OC’$.

Khi đó $\triangle ABC \sim \triangle A’B’C’$ với tỉ số đồng dạng bằng $2$. Ta nói:

• Tam giác $ABC$ là hình phóng to (2 lần) của tam giác $A’B’C’$.
• Tam giác $A’B’C’$ là hình thu nhỏ (2 lần) của tam giác $ABC$.

Một tính chất quan trọng: các đường thẳng nối các điểm tương ứng trên hai hình (ví dụ $AA’$, $BB’$, $CC’$, hay các đường nối trung điểm các cạnh) đều đi qua cùng một điểm $O$.

Định nghĩa hình đồng dạng phối cảnh

Xét hai bức hình chân dung của một cậu bé với kích thước $2 \times 3$ (hình $\mathcal{T}$) và $4 \times 6$ (hình $\mathcal{T’}$) được đặt cạnh nhau. Các đường thẳng nối các điểm tương ứng trên hai bức hình đều đi qua cùng một điểm $O$.

Ta nói hình $\mathcal{T’}$ là hình phóng to của hình $\mathcal{T}$ với tỉ số $6 : 3 = 2$, và hình $\mathcal{T}$ là hình thu nhỏ của hình $\mathcal{T’}$ với tỉ số $3 : 6 = \dfrac{1}{2}$.

Các cặp hình phóng to – thu nhỏ như trên được gọi là các hình đồng dạng phối cảnh. Điểm đồng quy $O$ được gọi là tâm phối cảnh của cặp hình.

Trong ví dụ trên, hình $\mathcal{T’}$ đồng dạng phối cảnh với hình $\mathcal{T}$ theo tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{OA’}{OA} = 2$.

2. Hình đồng dạng

Khái niệm hình đồng dạng

Trong cặp hình phóng to – thu nhỏ, nếu ta thay đổi vị trí của một hình (xoay, lật, dịch chuyển) thì chúng vẫn có hình dạng giống nhau. Khi đó chúng được gọi là hình đồng dạng.

Định nghĩa: Một hình $\mathcal{H’}$ được gọi là đồng dạng với hình $\mathcal{H}$ nếu $\mathcal{H’}$ bằng $\mathcal{H}$, hoặc $\mathcal{H’}$ bằng một hình phóng to hay thu nhỏ của $\mathcal{H}$.

Tính chất quan trọng: Hai hình đồng dạng có hình dạng giống nhau.

Phân biệt hai khái niệm:

• Hình đồng dạng phối cảnh: hai hình phóng to – thu nhỏ của nhau qua một tâm $O$, các đường nối điểm tương ứng đồng quy tại $O$.
• Hình đồng dạng: khái niệm rộng hơn — hai hình có hình dạng giống nhau, không yêu cầu phải có tâm phối cảnh. Mọi cặp hình đồng dạng phối cảnh đều là hình đồng dạng, nhưng ngược lại chưa chắc đúng.

Ví dụ về hình đồng dạng

Trong các hình hình học đơn giản, những cặp hình dưới đây luôn là cặp hình đồng dạng:

• Hai hình vuông bất kì (cùng hình dạng, chỉ khác kích thước).
• Hai hình tròn bất kì.
• Hai tam giác đều bất kì.

Hình đồng dạng phối cảnh thường gặp: Các hình có cùng dạng và được đặt sao cho đường nối điểm tương ứng đồng quy tại một điểm.

Hình đồng dạng trong thế giới tự nhiên: lá cây lớn nhỏ, đàn bướm, những viên đá cuội.

Hình đồng dạng trong kiến trúc và trang trí: cung điện Hawa Mahal (Ấn Độ) với các cửa sổ đồng dạng, các tam giác đều lồng nhau, các kim tự tháp.

Hình đồng dạng phối cảnh trong nghệ thuật và thiết kế: búp bê Nga (Matryoshka), tác phẩm sắp đặt “The Wave” ở Copenhagen, các tầng tháp.

Tranh luận

Vuông nói: “Hai hình vuông bất kì đều đồng dạng với nhau.”

Tròn nói: “Hai tam giác đều bất kì đều đồng dạng phối cảnh với nhau.”

Phân tích:

• Vuông nói đúng. Hai hình vuông bất kì luôn có cùng hình dạng (4 góc vuông, 4 cạnh bằng nhau), chỉ khác kích thước → luôn đồng dạng.
• Tròn nói đúng. Hai tam giác đều bất kì luôn đồng dạng. Hơn nữa, ta luôn có thể đặt chúng sao cho các đường nối đỉnh tương ứng đồng quy tại một điểm → chúng đồng dạng phối cảnh.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết hình đồng dạng và hình đồng dạng phối cảnh

Phương pháp giải:

• Hình đồng dạng: Hai hình có hình dạng giống nhau (có thể khác kích thước, khác vị trí, xoay hay lật). Kiểm tra bằng cách quan sát: một hình có thể thu được từ hình kia bằng cách phóng to hoặc thu nhỏ (có thể kết hợp xoay, lật) hay không.
• Hình đồng dạng phối cảnh: Ngoài hình dạng giống nhau, còn yêu cầu các đường thẳng nối các điểm tương ứng đồng quy tại một điểm (tâm phối cảnh). Thường xảy ra khi hai hình được đặt sao cho “hướng” tương ứng giống nhau (không xoay, không lật).
• Lưu ý quan trọng: Hai hình có dạng khác nhau (ví dụ hình vuông và hình chữ nhật không vuông) thì không đồng dạng.

Ví dụ mẫu 1 (BT 9.30): Biết rằng mỗi hình dưới đây đồng dạng với một hình khác, hãy tìm các cặp hình đồng dạng.

Lời giải chi tiết:

Quan sát bốn hình hoa:

• Hình a) và hình d) có cùng hình dạng (cùng kiểu hoa, cùng số cánh, cùng hình dáng), chỉ khác kích thước → hình a) đồng dạng với hình d).
• Hình b) và hình c) có cùng hình dạng → hình b) đồng dạng với hình c).

Ví dụ mẫu 2 (BT 9.31): Trong các cặp hình đồng dạng dưới đây, cặp hình nào là đồng dạng phối cảnh?

• Cặp hình lục giác đều.
• Cặp hình tam giác đều.
• Cặp hình vuông.

Lời giải chi tiết:

Ta cần kiểm tra: trong mỗi cặp, hai hình có được đặt sao cho đường nối các điểm tương ứng đồng quy tại một điểm hay không.

• Cặp hình lục giác đều: Hai hình lục giác đều có cùng tâm đối xứng, hình nhỏ nằm bên trong hình lớn, các đường nối đỉnh tương ứng đồng quy → là đồng dạng phối cảnh.
• Cặp hình tam giác đều: Hai tam giác đều đặt lệch nhau (một hình bị lật ngược so với hình kia), các đường nối đỉnh tương ứng không đồng quy → không là đồng dạng phối cảnh (nhưng vẫn là đồng dạng).
• Cặp hình vuông: Hai hình vuông đặt lệch nhau, các đường nối đỉnh tương ứng không đồng quy → không là đồng dạng phối cảnh (nhưng vẫn là đồng dạng).

Vậy chỉ có cặp hình lục giác đều là đồng dạng phối cảnh.

Dạng 2: Vẽ hình đồng dạng phối cảnh theo tỉ số cho trước

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tâm phối cảnh $O$ và hình gốc.

Bước 2: Từ $O$, vẽ các tia đi qua từng điểm đặc trưng của hình gốc (đỉnh, đầu mút…).

Bước 3: Trên mỗi tia, xác định điểm mới theo tỉ số đồng dạng $k$:

• Nếu $k > 1$ (phóng to): điểm mới nằm xa $O$ hơn, với khoảng cách gấp $k$ lần.
• Nếu $0 < k < 1$ (thu nhỏ): điểm mới nằm gần $O$ hơn, với khoảng cách bằng $k$ lần.

Bước 4: Nối các điểm mới tương ứng để được hình đồng dạng phối cảnh.

Ví dụ mẫu (BT 9.29): Lấy một điểm $O$ nằm ngoài một đoạn thẳng $AB$. Hãy vẽ hình đồng dạng phối cảnh tâm $O$ của đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số đồng dạng $\dfrac{1}{2}$.

Lời giải chi tiết:

Tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{1}{2}$ (thu nhỏ).

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng $AB$ và lấy điểm $O$ nằm ngoài đoạn thẳng.

Bước 2: Vẽ tia $OA$ và tia $OB$.

Bước 3: Trên tia $OA$, lấy điểm $A’$ sao cho $OA’ = \dfrac{1}{2} OA$ (tức $A’$ là trung điểm của $OA$).

Trên tia $OB$, lấy điểm $B’$ sao cho $OB’ = \dfrac{1}{2} OB$ (tức $B’$ là trung điểm của $OB$).

Bước 4: Nối $A’B’$. Đoạn thẳng $A’B’$ là hình đồng dạng phối cảnh tâm $O$ của đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số $\dfrac{1}{2}$.

Nhận xét: $A’B’ = \dfrac{1}{2} AB$ và $A’B’ \parallel AB$.

Dạng 3: Tính tỉ số đồng dạng và các tỉ số liên quan trong tam giác

Phương pháp giải:

• Khi $\triangle A’B’C’$ đồng dạng phối cảnh với $\triangle ABC$ theo tỉ số $k$, thì tỉ số các cạnh tương ứng bằng $k$:

$$\dfrac{A’B’}{AB} = \dfrac{B’C’}{BC} = \dfrac{A’C’}{AC} = k$$

• Tâm phối cảnh $O$ nằm trên các đường thẳng $AA’$, $BB’$, $CC’$ và:

$$\dfrac{OA’}{OA} = \dfrac{OB’}{OB} = \dfrac{OC’}{OC} = k$$

• Từ các tỉ số trên, có thể suy ra tỉ số của các đoạn khác (đoạn nối đỉnh với tâm, đoạn từ điểm trên cạnh đến tâm…).

Ví dụ mẫu 1: Cho Hình 7: $\triangle MNQ$ đồng dạng phối cảnh với $\triangle ABC$ theo tỉ số $k = \dfrac{1}{2}$. Hãy cho biết các tỉ số sau:

a) $\dfrac{MN}{AB}$   b) $\dfrac{CO}{CQ}$   c) $\dfrac{ON}{NB}$

Lời giải chi tiết:

Vì $\triangle MNQ$ đồng dạng phối cảnh với $\triangle ABC$ theo tỉ số $k = \dfrac{1}{2}$, nên các cạnh tương ứng có tỉ số bằng $\dfrac{1}{2}$.

Trong phép đồng dạng phối cảnh tâm $O$, các điểm $M$, $N$, $Q$ lần lượt tương ứng với $A$, $B$, $C$, và $M$, $N$, $Q$ là trung điểm của $OA$, $OB$, $OC$.

a) $M$ tương ứng với $A$, $N$ tương ứng với $B$. Do tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{1}{2}$:

$$\dfrac{MN}{AB} = k = \dfrac{1}{2}$$

b) $Q$ tương ứng với $C$, và $O$ là tâm phối cảnh. Ta có $OQ = \dfrac{1}{2} OC$, suy ra $QC = OC – OQ = OC – \dfrac{1}{2}OC = \dfrac{1}{2}OC$.

Vậy $OQ = QC$, tức $Q$ là trung điểm của $OC$.

$$\dfrac{CO}{CQ} = \dfrac{OC}{\dfrac{1}{2}OC} = 2$$

c) Tương tự, $N$ tương ứng với $B$, $ON = \dfrac{1}{2} OB$, suy ra $NB = OB – ON = OB – \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}OB$.

Vậy $ON = NB$, tức:

$$\dfrac{ON}{NB} = \dfrac{\dfrac{1}{2}OB}{\dfrac{1}{2}OB} = 1$$

Ví dụ mẫu 2: Cho hình bình hành $ABCD$ có $O$ là giao điểm hai đường chéo. Lấy $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $DC$ và $BC$.

a) Chỉ ra những tam giác đồng dạng trong hình.

b) $\triangle ABD$ đồng dạng phối cảnh với tam giác nào? Xác định tâm phối cảnh và tỉ số.

Lời giải chi tiết:

a) Trong hình bình hành $ABCD$, $O$ là trung điểm của cả hai đường chéo $AC$ và $BD$.

$M$ là trung điểm $DC$, $N$ là trung điểm $BC$.

Xét $\triangle OMC$: vì $O$ là trung điểm $AC$, $M$ là trung điểm $DC$, nên $OM$ là đường trung bình của $\triangle ADC$, suy ra $OM \parallel AD$ và $OM = \dfrac{1}{2}AD$.

Tương tự, $ON$ là đường trung bình của $\triangle ABC$ (vì $O$ là trung điểm $AC$, $N$ là trung điểm $BC$), suy ra $ON \parallel AB$ và $ON = \dfrac{1}{2}AB$.

Do đó $\triangle OMC \sim \triangle ADC$ (các cạnh tương ứng có tỉ số $\dfrac{1}{2}$).

Cũng vậy, $\triangle ONC \sim \triangle ABC$.

Và $\triangle OMN \sim \triangle ADB$ (vì $OM = \dfrac{1}{2}AD$, $ON = \dfrac{1}{2}AB$, $MN = \dfrac{1}{2}BD$ — $MN$ là đường trung bình của $\triangle BDC$).

Vậy các cặp tam giác đồng dạng: $\triangle OMC \sim \triangle ADC$, $\triangle ONC \sim \triangle ABC$, $\triangle OMN \sim \triangle ADB$.

b) Từ phân tích trên, $\triangle ABD$ đồng dạng phối cảnh với $\triangle ONM$.

Tâm phối cảnh: Các đường $AO$, $BN$, $DM$ đồng quy tại điểm $C$ (vì $O$, $N$, $M$ nằm trên $AC$, $BC$, $DC$ tương ứng, và $C$ là điểm mà từ đó $O = $ trung điểm $AC$, $N = $ trung điểm $BC$, $M = $ trung điểm $DC$).

Thực chất, tâm phối cảnh chính là $C$, vì:

$$\dfrac{CO}{CA} = \dfrac{CN}{CB} = \dfrac{CM}{CD} = \dfrac{1}{2}$$

Tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{1}{2}$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 — Nhận biết nhanh hình đồng dạng: Hỏi “Nếu phóng to (hoặc thu nhỏ) hình này, có thể chồng khít lên hình kia không?” Nếu có → đồng dạng. Nếu phải bóp méo (thay đổi tỉ lệ) → không đồng dạng.

Mẹo 2 — Các cặp hình luôn đồng dạng: Hai hình vuông bất kì, hai hình tròn bất kì, hai tam giác đều bất kì luôn đồng dạng với nhau. Đây là vì các hình này được xác định hoàn toàn bởi một thông số (cạnh hoặc bán kính), nên hình dạng luôn giống nhau.

Mẹo 3 — Phân biệt đồng dạng và đồng dạng phối cảnh: Nếu hai hình cùng dạng và đặt sao cho “nhìn thẳng” từ một điểm $O$ (không xoay, không lật) → đồng dạng phối cảnh. Nếu một hình bị lật ngược hoặc xoay → chỉ đồng dạng, không phải đồng dạng phối cảnh.

Mẹo 4 — Tỉ số đồng dạng phối cảnh: Trong tam giác, nếu biết tỉ số đồng dạng $k$ thì mọi cạnh tương ứng đều có tỉ số $k$, và khoảng cách từ tâm phối cảnh đến các đỉnh tương ứng cũng có tỉ số $k$.

Tổng kết

Qua Bài 37, các em cần nắm vững:

Hình đồng dạng là những hình có hình dạng giống nhau. Hình $\mathcal{H’}$ đồng dạng với hình $\mathcal{H}$ nếu $\mathcal{H’}$ bằng $\mathcal{H}$, hoặc bằng một hình phóng to hay thu nhỏ của $\mathcal{H}$. Các cặp luôn đồng dạng: hai hình vuông bất kì, hai hình tròn bất kì, hai tam giác đều bất kì.

Hình đồng dạng phối cảnh là cặp hình phóng to – thu nhỏ qua một tâm $O$ (tâm phối cảnh), sao cho đường nối các điểm tương ứng đồng quy tại $O$. Tỉ số đồng dạng $k$ cho biết mức độ phóng to ($k > 1$) hay thu nhỏ ($0 < k < 1$).

Ba dạng bài tập cốt lõi: nhận biết hình đồng dạng và đồng dạng phối cảnh, vẽ hình đồng dạng phối cảnh theo tỉ số cho trước, và tính tỉ số đồng dạng cùng các tỉ số liên quan trong tam giác. Nắm chắc bài này sẽ tạo nền tảng cho các bài tiếp theo về tam giác đồng dạng.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du