Phân số thập phân và số thập phân

Phân số thập phân

Phân số thập phân là phân số có mẫu số là lũy thừa của 10 (tức là $10$, $100$, $1\,000$, …).

Ví dụ: $\dfrac{23}{10}$, $;\dfrac{-41}{100}$, $;\dfrac{7}{1\,000}$ đều là phân số thập phân.

Ngược lại, $\dfrac{3}{5}$, $;\dfrac{-8}{125}$ không phải phân số thập phân (vì mẫu không phải lũy thừa của 10).

Số thập phân

Mọi phân số thập phân đều viết được dưới dạng số thập phân và ngược lại.

Ví dụ:

$$\dfrac{23}{10} = 2{,}3;\qquad \dfrac{-41}{100} = -0{,}41;\qquad \dfrac{7}{1\,000} = 0{,}007$$

Số thập phân âm và số đối

Ở Tiểu học, các em đã quen với các số thập phân dương như $1{,}5$; $0{,}25$; $3{,}14$… Khi mở rộng sang số nguyên âm, ta có thêm số thập phân âm.

Ví dụ: $-1{,}5$; $-0{,}25$; $-3{,}14$ là các số thập phân âm.

Số thập phân dương đôi khi được viết với dấu “$+$” phía trước: $+1{,}5$; $+0{,}25$…

Hai số $1{,}5$ và $-1{,}5$ là hai số đối nhau (tổng của chúng bằng $0$).

Số đối của số thập phân $a$ là $-a$. Ví dụ: số đối của $-3{,}7$ là $3{,}7$; số đối của $4{,}15$ là $-4{,}15$.

Cấu tạo số thập phân

Mỗi số thập phân gồm hai phần, ngăn cách bởi dấu phẩy:

• Phần số nguyên: viết bên trái dấu phẩy.
• Phần thập phân: viết bên phải dấu phẩy.

Ví dụ: Số $-318{,}625$ có phần số nguyên là $-318$, phần thập phân là $625$.

Trong phần thập phân, các chữ số lần lượt thuộc hàng phần mười, hàng phần trăm, hàng phần nghìn…

So sánh hai số thập phân

Ở Tiểu học, các em đã biết cách so sánh hai số thập phân dương. Khi mở rộng sang số thập phân âm, ta có thêm các quy tắc:

• Số thập phân âm luôn nhỏ hơn $0$ và nhỏ hơn mọi số thập phân dương.
• Nếu $a$, $b$ là hai số thập phân dương và $a > b$ thì $-a < -b$.

Nói cách khác, trong hai số thập phân âm, số nào có số đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.

Ví dụ: So sánh $-7{,}35$ và $-7{,}4$.

Ta xét số đối: $7{,}35$ và $7{,}4$. Vì $7{,}35 < 7{,}4$ nên $-7{,}35 > -7{,}4$.

Ví dụ: So sánh $-15{,}8$ và $2{,}3$.

$-15{,}8$ là số âm, $2{,}3$ là số dương. Nên $-15{,}8 < 2{,}3$.

Ví dụ: So sánh $3{,}47$ và $3{,}52$.

Cả hai cùng dương, phần nguyên bằng nhau ($3 = 3$). So sánh phần thập phân: hàng phần mười $4 < 5$, nên $3{,}47 < 3{,}52$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết số thập phân, phân số thập phân, số đối

Phương pháp:

• Phân số thập phân là phân số có mẫu là lũy thừa của 10 ($10$, $100$, $1\,000$, …).
• Số thập phân dương: không có dấu “$-$” phía trước (hoặc có dấu “$+$”).
• Số thập phân âm: có dấu “$-$” phía trước.
• Số đối của $a$ là $-a$: đổi dấu dương thành âm và ngược lại.

Bài mẫu 1: Phân số nào là phân số thập phân trong các phân số sau?

$$\dfrac{3}{5};\quad \dfrac{-12}{100};\quad \dfrac{-8}{125};\quad \dfrac{19}{10};\quad \dfrac{69}{500};\quad \dfrac{-11}{1\,000}$$

Lời giải:

Phân số thập phân là phân số có mẫu là lũy thừa của 10.

Kiểm tra từng mẫu số:

• $\dfrac{3}{5}$: mẫu $5$ — không phải lũy thừa của 10 → không phải.
• $\dfrac{-12}{100}$: mẫu $100 = 10^2$ → là phân số thập phân. ✓
• $\dfrac{-8}{125}$: mẫu $125$ — không phải lũy thừa của 10 → không phải.
• $\dfrac{19}{10}$: mẫu $10 = 10^1$ → là phân số thập phân. ✓
• $\dfrac{69}{500}$: mẫu $500$ — không phải lũy thừa của 10 → không phải.
• $\dfrac{-11}{1\,000}$: mẫu $1\,000 = 10^3$ → là phân số thập phân. ✓

Vậy các phân số thập phân là: $\dfrac{-12}{100}$; $;\dfrac{19}{10}$; $;\dfrac{-11}{1\,000}$.

Bài mẫu 2: Chỉ ra số thập phân âm, số thập phân dương trong các số sau:

$$1{,}7;\quad -0{,}340;\quad -230{,}454;\quad 13{,}19;\quad 14{,}41;\quad -0{,}033$$

Lời giải:

• Số thập phân âm (có dấu “$-$”): $-0{,}340$; $;-230{,}454$; $;-0{,}033$.
• Số thập phân dương (không có dấu “$-$”): $1{,}7$; $;13{,}19$; $;14{,}41$.

Bài mẫu 3: Đọc các số thập phân, nêu phần số nguyên và phần thập phân.

a) $3{,}85$ $\qquad$ b) $-86{,}524$ $\qquad$ c) $-210{,}84$ $\qquad$ d) $-1{,}2146$

Lời giải:

a) $3{,}85$ — Đọc: “Ba phẩy tám mươi lăm”. Phần số nguyên: $3$. Phần thập phân: $85$.

b) $-86{,}524$ — Đọc: “Âm tám mươi sáu phẩy năm trăm hai mươi tư”. Phần số nguyên: $-86$. Phần thập phân: $524$.

c) $-210{,}84$ — Đọc: “Âm hai trăm mười phẩy tám mươi tư”. Phần số nguyên: $-210$. Phần thập phân: $84$.

d) $-1{,}2146$ — Đọc: “Âm một phẩy hai nghìn một trăm bốn mươi sáu”. Phần số nguyên: $-1$. Phần thập phân: $2146$.

Dạng 2: Viết số thập phân

Phương pháp:

Chuyển phân số thập phân → số thập phân: Viết tử số, rồi mẫu có bao nhiêu chữ số $0$ thì dịch dấu phẩy từ phải sang trái bấy nhiêu chữ số.

Chuyển số thập phân → phân số thập phân: Bỏ dấu phẩy để lấy tử, mẫu là $10$, $100$, $1\,000$… tùy theo số chữ số phần thập phân.

Bài mẫu 1: Viết các phân số thập phân dưới dạng số thập phân:

$$\dfrac{35}{100};\quad \dfrac{-2\,456}{1\,000};\quad \dfrac{-243}{10};\quad \dfrac{888}{10}$$

Lời giải:

• $\dfrac{35}{100}$: mẫu $100$ có 2 chữ số $0$ → dịch dấu phẩy 2 chữ số từ phải sang trái trong $35$ → $0{,}35$.
• $\dfrac{-2\,456}{1\,000}$: mẫu $1\,000$ có 3 chữ số $0$ → dịch 3 chữ số → $-2{,}456$.
• $\dfrac{-243}{10}$: mẫu $10$ có 1 chữ số $0$ → dịch 1 chữ số → $-24{,}3$.
• $\dfrac{888}{10}$: mẫu $10$ có 1 chữ số $0$ → dịch 1 chữ số → $88{,}8$.

Bài mẫu 2: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số thập phân:

$$-314{,}5;\quad 0{,}201;\quad -10{,}01;\quad -1{,}111$$

Lời giải:

• $-314{,}5$: có 1 chữ số phần thập phân → mẫu $10$. Bỏ dấu phẩy: $-3\,145$. Vậy $-314{,}5 = \dfrac{-3\,145}{10}$.
• $0{,}201$: có 3 chữ số phần thập phân → mẫu $1\,000$. Bỏ dấu phẩy: $201$. Vậy $0{,}201 = \dfrac{201}{1\,000}$.
• $-10{,}01$: có 2 chữ số phần thập phân → mẫu $100$. Bỏ dấu phẩy: $-1\,001$. Vậy $-10{,}01 = \dfrac{-1\,001}{100}$.
• $-1{,}111$: có 3 chữ số phần thập phân → mẫu $1\,000$. Bỏ dấu phẩy: $-1\,111$. Vậy $-1{,}111 = \dfrac{-1\,111}{1\,000}$.

Dạng 3: So sánh số thập phân

Phương pháp:

• Khác dấu: Số thập phân dương luôn lớn hơn số thập phân âm.
• Cùng dương: So sánh phần nguyên trước. Nếu bằng nhau, so sánh phần thập phân từ trái sang phải.
• Cùng âm: Số nào có số đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.
• Thêm số 0 vào cuối phần thập phân không làm thay đổi giá trị: $-1\,952{,}8 = -1\,952{,}80$.

Bài mẫu 1: So sánh $6{,}23$ và $6{,}987$.

Lời giải:

Cả hai cùng dương. Phần nguyên bằng nhau: $6 = 6$.

So sánh phần thập phân từ trái: hàng phần mười $2 < 9$.

Vậy $6{,}23 < 6{,}987$.

Bài mẫu 2: So sánh $-245{,}023$ và $19{,}998$.

Lời giải:

$-245{,}023$ là số âm, $19{,}998$ là số dương.

Số âm luôn nhỏ hơn số dương, nên $-245{,}023 < 19{,}998$.

Bài mẫu 3: So sánh $-2{,}6053$ và $-2{,}6047$.

Lời giải:

Cả hai cùng âm. Ta so sánh số đối của chúng: $2{,}6053$ và $2{,}6047$.

Phần nguyên bằng nhau: $2 = 2$.

Phần thập phân: hàng phần mười $6 = 6$, hàng phần trăm $0 = 0$, hàng phần nghìn $5 > 4$.

Nên $2{,}6053 > 2{,}6047$.

Vì số đối lớn hơn thì số âm nhỏ hơn, nên $-2{,}6053 < -2{,}6047$.

Bài mẫu 4: Điền dấu $<$, $>$, $=$ thích hợp:

a) $4{,}785 ;\ldots; 4{,}875$ $\qquad$ b) $24{,}518 ;\ldots; -24{,}52$

c) $-1\,952{,}8 ;\ldots; -1\,952{,}80$ $\qquad$ d) $-75{,}383 ;\ldots; -75{,}384$

Lời giải:

a) Cùng dương, phần nguyên bằng nhau ($4 = 4$). Hàng phần mười: $7 < 8$. Nên $4{,}785 < 4{,}875$.

b) $24{,}518$ là số dương, $-24{,}52$ là số âm. Nên $24{,}518 > -24{,}52$.

c) Thêm số $0$ vào cuối: $-1\,952{,}8 = -1\,952{,}80$. Nên $-1\,952{,}8 = -1\,952{,}80$.

d) Cùng âm. Xét số đối: $75{,}383$ và $75{,}384$. Hàng phần nghìn: $3 < 4$, nên $75{,}383 < 75{,}384$. Do đó $-75{,}383 > -75{,}384$.

Bài mẫu 5: So sánh $-896{,}169$ và $-895{,}166$.

Lời giải:

Cả hai cùng âm. Ta xét số đối: $896{,}169$ và $895{,}166$.

Phần nguyên: $896 > 895$, nên $896{,}169 > 895{,}166$.

Vì số đối lớn hơn thì số âm nhỏ hơn, nên $-896{,}169 < -895{,}166$.

Dạng 4: Tìm x và giải toán thực tế

Phương pháp: Xác định khoảng giá trị của $x$, rồi liệt kê các giá trị thỏa mãn (số nguyên hoặc số thập phân có dạng cho trước).

Bài mẫu 1: Tìm số nguyên $x$ biết: $252{,}12 < x < 256{,}7$.

Lời giải:

Vì $x$ là số nguyên và $252{,}12 < x < 256{,}7$, ta cần tìm các số nguyên nằm giữa $252{,}12$ và $256{,}7$.

Số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $252{,}12$ là $253$.

Số nguyên lớn nhất nhỏ hơn $256{,}7$ là $256$.

Vậy $x \in {253;; 254;; 255;; 256}$.

Bài mẫu 2: Tìm số nguyên $x$ biết: $-3{,}4 < x < 0{,}6$.

Lời giải:

Số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $-3{,}4$ là $-3$.

Số nguyên lớn nhất nhỏ hơn $0{,}6$ là $0$.

Vậy $x \in {-3;; -2;; -1;; 0}$.

Bài mẫu 3: Tìm các số thập phân $x$ có một chữ số sau dấu phẩy thỏa mãn: $2{,}63 \geq x > 2{,}27$.

Lời giải:

$x$ có một chữ số sau dấu phẩy và nằm trong khoảng $(2{,}27;; 2{,}63]$.

Các số thập phân có một chữ số sau dấu phẩy trong khoảng này là:

$$2{,}3;\quad 2{,}4;\quad 2{,}5;\quad 2{,}6$$

Kiểm tra: $2{,}3 > 2{,}27$ ✓; $;2{,}6 \leq 2{,}63$ ✓.

Vậy $x \in {2{,}3;; 2{,}4;; 2{,}5;; 2{,}6}$.

Bài mẫu 4: Tìm các số thập phân $x$ có một chữ số sau dấu phẩy thỏa mãn: $-4{,}84 < x < -4{,}43$.

Lời giải:

$x$ có một chữ số sau dấu phẩy và nằm trong khoảng $(-4{,}84;; -4{,}43)$.

Các số thập phân có một chữ số sau dấu phẩy trong khoảng này là:

$$-4{,}8;\quad -4{,}7;\quad -4{,}6;\quad -4{,}5$$

Kiểm tra: $-4{,}8 > -4{,}84$ ✓; $;-4{,}5 < -4{,}43$ ✓.

Vậy $x \in {-4{,}8;; -4{,}7;; -4{,}6;; -4{,}5}$.

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Nhận diện phân số thập phân: Chỉ cần kiểm tra mẫu có phải $10$, $100$, $1\,000$… hay không.

So sánh số âm: Đổi sang số đối (bỏ dấu trừ), so sánh bình thường, rồi đảo ngược kết luận.

Chuyển đổi nhanh: Phân số thập phân có mẫu $10^n$ thì dấu phẩy đặt cách cuối tử số đúng $n$ chữ số.

Tìm x nguyên trong khoảng: Số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $a{,}b$ là phần nguyên của $a{,}b$ cộng $1$ (nếu $a{,}b$ không nguyên). Số nguyên lớn nhất nhỏ hơn $c{,}d$ là phần nguyên của $c{,}d$ (nếu $c{,}d$ không nguyên).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du