Trung điểm của đoạn thẳng - Lý thuyết, dạng bài tập, cách giải

Mục lục [Ẩn]

Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó

Trung điểm của đoạn thẳng là gì?
Định nghĩa
Hai điều kiện cần và đủ
Cách xác định trung điểm bằng thước
Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng liên quan đến trung điểm
Dạng 2: Chứng minh một điểm là trung điểm của đoạn thẳng
Sai lầm thường gặp
Mẹo ghi nhớ nhanh

Trung điểm của đoạn thẳng là gì?

Khi chơi bập bênh, thanh gỗ phải được gắn lên trục ở đúng điểm chính giữa thì hai bên mới cân bằng. Nếu hình dung thanh gỗ là đoạn thẳng, thì điểm đặt trục chính là trung điểm của đoạn thẳng đó.

Một ví dụ khác: sợi dây dài $120\text{ cm}$, gấp đôi lại cho hai đầu trùng nhau, chỗ gấp cách mỗi đầu đúng $60\text{ cm}$. Điểm gấp chính là trung điểm của sợi dây.

Định nghĩa

Nếu điểm $I$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$, đồng thời $IA = IB$, thì $I$ được gọi là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

Khi $I$ là trung điểm của $AB$, ta có:

$$IA = IB = \dfrac{AB}{2}$$

Nói cách khác, trung điểm chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau.

Hai điều kiện cần và đủ

Để khẳng định $I$ là trung điểm của $AB$, cần đồng thời thoả mãn hai điều kiện:

$I$ nằm giữa $A$ và $B$ (tức $AI + IB = AB$).
$IA = IB$ (hai đoạn bằng nhau).

Chỉ thoả một điều kiện thôi thì chưa đủ. Ví dụ: nếu chỉ biết $IA = IB$ nhưng $I$ không nằm giữa $A$, $B$ thì $I$ không phải trung điểm.

Cách xác định trung điểm bằng thước

Để tìm trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ bằng thước có vạch chia:

Đo độ dài $AB$.
Tính $AM = \dfrac{AB}{2}$.
Từ $A$, đo theo hướng $B$ một đoạn bằng $\dfrac{AB}{2}$, đánh dấu điểm $M$. Đó là trung điểm.

Hình vẽ thước đo xác định trung điểm M của AB

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng liên quan đến trung điểm

Phương pháp

Sử dụng hai công cụ chính:

Nếu $M$ nằm giữa $A$ và $B$: $AM + MB = AB$.
Nếu $M$ là trung điểm của $AB$: $MA = MB = \dfrac{AB}{2}$.

Khi bài cho nhiều trung điểm lồng nhau (ví dụ: $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AM$), ta tính từ trong ra ngoài hoặc từ dữ kiện đã biết ngược lại tìm cái chưa biết.

Bài mẫu 1

Đề bài: Gọi $C$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Tính độ dài hai đoạn thẳng $AC$ và $BC$, biết $AB = 6\text{ cm}$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định dữ kiện. $C$ là trung điểm của $AB$ và $AB = 6\text{ cm}$.

Bước 2: Áp dụng định nghĩa trung điểm. Vì $C$ là trung điểm của $AB$ nên:

$$CA = CB = \dfrac{AB}{2}$$

Bước 3: Thay số:

$$CA = CB = \dfrac{6}{2} = 3 \text{ (cm)}$$

→ Vậy $AC = BC = 3\text{ cm}$.

Bài mẫu 2

Đề bài: Vẽ đoạn thẳng $AB = 7\text{ cm}$. $C$ là điểm nằm giữa $A$ và $B$, $AC = 3\text{ cm}$. $M$ là trung điểm của $BC$. Tính $BM$.

Các điểm A, C, M, B trên đoạn thẳng

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính $BC$.

$C$ nằm giữa $A$ và $B$ nên:

$$AC + BC = AB$$

$$3 + BC = 7$$

$$BC = 7 – 3 = 4 \text{ (cm)}$$

Bước 2: Tính $BM$.

$M$ là trung điểm của $BC$ nên:

$$BM = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \text{ (cm)}$$

→ Vậy $BM = 2\text{ cm}$.

Bài mẫu 3

Đề bài: Cho đoạn thẳng $AB$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AM$. Giả sử $AN = 1{,}5\text{ cm}$. Tính $AB$.

Các điểm A, N, M, B trên đoạn thẳng

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính $AM$ từ $AN$.

$N$ là trung điểm của $AM$ nên:

$$AN = NM = \dfrac{AM}{2}$$

Suy ra:

$$AM = 2 \times AN = 2 \times 1{,}5 = 3 \text{ (cm)}$$

Bước 2: Tính $AB$ từ $AM$.

$M$ là trung điểm của $AB$ nên:

$$AM = BM = \dfrac{AB}{2}$$

Suy ra:

$$AB = 2 \times AM = 2 \times 3 = 6 \text{ (cm)}$$

→ Vậy $AB = 6\text{ cm}$.