Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn
Sin, côsin, tang, côtang — công cụ liên kết góc và cạnh trong tam giác vuông
🔵 Cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Xét góc nhọn $B$:
🔵 Định nghĩa các tỉ số lượng giác: Cho góc nhọn $\alpha$ trong tam giác vuông:
• $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ luôn dương và bé hơn 1 (vì cạnh huyền là cạnh dài nhất).
• $\cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha}$ — hai tỉ số này nghịch đảo của nhau.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 8$ cm, $AC = 15$ cm. Tính $\sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha$ với $\alpha = \widehat{B}$.
Bước 1 — Tính cạnh huyền $BC$ bằng định lí Pythagore:
Bước 2 — Xác định cạnh đối, cạnh kề của góc $B$:
Bước 3 — Áp dụng công thức:
Từ tam giác vuông cân (góc $45°$) và tam giác đều (góc $30°$ và $60°$), ta có bảng giá trị sau — cần học thuộc:
| $\alpha$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\cos\alpha$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| $\tan\alpha$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
| $\cot\alpha$ | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
• Hàng $\sin$: $\dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — tử số là $\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ tăng dần.
• Hàng $\cos$ là hàng $\sin$ đảo ngược.
• $\tan = \dfrac{\sin}{\cos}$, $\cot = \dfrac{\cos}{\sin}$.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B} = 60°$ và $BC = a$. Tính $AB$, $AC$ theo $a$.
Bước 1 — Xác định:
Bước 2 — Áp dụng công thức và tra bảng:
Kết luận: $AB = \dfrac{a}{2}$ và $AC = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
• Cần tính cạnh đối → dùng $\sin$ hoặc $\tan$.
• Cần tính cạnh kề → dùng $\cos$ hoặc $\cot$.
• Có cạnh huyền → dùng $\sin$, $\cos$. Không có cạnh huyền → dùng $\tan$, $\cot$.
🔵 Định lí: Nếu hai góc phụ nhau (tổng bằng $90°$) thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
$\tan\alpha = \cot\beta \quad ; \quad \cot\alpha = \tan\beta$
$\cos\alpha = \sin(90° - \alpha)$
$\cot\alpha = \tan(90° - \alpha)$
Viết các tỉ số sau thành tỉ số của góc nhỏ hơn $45°$: $\sin 70°$, $\cos 80°$, $\tan 85°$, $\cot 78°$.
Cách làm: Lấy $90°$ trừ đi góc đã cho và đổi tên hàm.
Tính $\dfrac{\sin 30°}{\cos 60°}$ và $\tan 40° - \cot 50°$.
🔵 Tính tỉ số lượng giác khi biết góc: Bấm phím $\sin$, $\cos$ hoặc $\tan$ rồi nhập góc.
Lưu ý với cot: Máy tính không có phím $\cot$, ta dùng $\cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha}$.
| Đề bài | Kết quả |
|---|---|
| $\sin 34°$ | $\approx 0{,}559$ |
| $\cos 41°20'$ | $\approx 0{,}751$ |
| $\tan 48°15'$ | $\approx 1{,}120$ |
| $\cot 42°35' = \dfrac{1}{\tan 42°35'}$ | $\approx 1{,}088$ |
🔵 Tìm góc khi biết tỉ số lượng giác: Bấm $\boxed{\text{SHIFT}}$ rồi $\sin$/$\cos$/$\tan$, sau đó nhập giá trị.
Tìm $\alpha$ biết $\sin\alpha = 0{,}4226$; $\cos\alpha = 0{,}5150$; $\tan\alpha = 1{,}1918$; $\cot\alpha = 1{,}3270$.
🔵 Vận dụng thực tế — Bài toán góc dốc: Khi biết độ dài đoạn dốc $a$ và độ cao đỉnh dốc $h$, ta tính góc dốc $\alpha$ qua công thức:
Một đoạn dốc vào sảnh chung cư dài $4$ m, độ cao đỉnh dốc bằng $0{,}4$ m. Tính góc dốc và cho biết có đúng tiêu chuẩn cho người đi xe lăn (góc dốc $< 6°$) hay không?
Bước 1 — Tính $\sin\alpha$:
Bước 2 — Dùng MTCT tìm $\alpha$:
Kết luận: Vì $5°44' < 6°$ nên đoạn dốc đúng tiêu chuẩn cho người đi xe lăn.
| Tỉ số lượng giác | Công thức & giá trị |
|---|---|
| $\sin\alpha$ | $\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}$ — $0 < \sin\alpha < 1$ |
| $\cos\alpha$ | $\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}$ — $0 < \cos\alpha < 1$ |
| $\tan\alpha$ | $\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}$ — $\tan\alpha > 0$ |
| $\cot\alpha$ | $\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \dfrac{1}{\tan\alpha}$ — $\cot\alpha > 0$ |
| Hai góc phụ nhau ($\alpha + \beta = 90°$) | Công thức |
|---|---|
| Đổi sin ↔ cos | $\sin\alpha = \cos\beta$ ; $\cos\alpha = \sin\beta$ |
| Đổi tan ↔ cot | $\tan\alpha = \cot\beta$ ; $\cot\alpha = \tan\beta$ |
Luyện tập tỉ số lượng giác nào!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du