Định Lí Viète Và Ứng Dụng
Tổng và tích nghiệm, nhẩm nghiệm, tìm hai số và phân tích đa thức thành nhân tử
Cho phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) có biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$. Khi đó PT có hai nghiệm $x_1, x_2$. Ta tính được tổng và tích hai nghiệm theo các hệ số $a, b, c$:
📝 Cách nhớ: "Tổng đối $b$ trên $a$, tích lấy $c$ trên $a$". Tức là tổng có dấu trừ, tích thì không.
Không giải PT, hãy tính tổng và tích hai nghiệm của:
a) $3x^2 + 13x + 4 = 0$.
PT $x^2 - x + 1 = 0$ có $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ → vô nghiệm.
→ KHÔNG có $x_1, x_2$ → KHÔNG được nói "tổng = $1$, tích = $1$" dù công thức $-b/a = 1$ và $c/a = 1$.
① Xác định $a, b, c$.
② Tính $\Delta$ (hoặc $\Delta'$).
③ Nếu $\Delta \geq 0$: áp dụng Viète. Nếu $\Delta < 0$: kết luận PT vô nghiệm.
Định lí Viète giúp ta nhẩm nhanh nghiệm của PT bậc hai mà không cần dùng công thức $\Delta$. Có hai trường hợp đặc biệt:
$x_2 = \dfrac{c}{a}$
$x_2 = -\dfrac{c}{a}$
• Nếu $a + b + c = 0$: thay $x = 1$ vào $ax^2 + bx + c$ được $a + b + c = 0$ ✓ → $x = 1$ là nghiệm.
• Nếu $a - b + c = 0$: thay $x = -1$ vào được $a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c = 0$ ✓ → $x = -1$ là nghiệm.
• Nghiệm còn lại lấy từ tích Viète: $x_1 \cdot x_2 = c/a$.
Nhẩm nghiệm PT $x^2 - 8x + 7 = 0$.
Nhẩm nghiệm PT $3x^2 + 10x + 7 = 0$.
🔵 Giải PT khi biết một nghiệm: Nếu PT $ax^2 + bx + c = 0$ đã có sẵn một nghiệm $x_1$, ta tìm nghiệm còn lại $x_2$ bằng công thức:
PT $x^2 - 9x + 20 = 0$ có một nghiệm $x_1 = 4$. Tìm nghiệm còn lại.
Vậy hai nghiệm: $x_1 = 4, x_2 = 5$.
Đây là chiều ngược lại của định lí Viète: thay vì biết PT để tính tổng/tích, ta biết tổng/tích để tìm hai số.
🔵 Cách thiết lập PT: Giả sử cần tìm hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$. Gọi một số là $x$, số kia là $S - x$. Tích hai số bằng $P$:
thì hai số đó là nghiệm của PT:
Tìm hai số có tổng bằng $7$ và tích bằng $10$.
Vậy hai số cần tìm là $\mathbf{2}$ và $\mathbf{5}$.
Tìm hai số có tổng bằng $2$ và tích bằng $15$.
🔵 Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử: Nếu PT $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thì đa thức $ax^2 + bx + c$ phân tích được thành tích:
Phân tích đa thức $x^2 - 5x + 6$ thành nhân tử.
Phân tích $3x^2 + 5x - 2$ thành nhân tử.
🔵 Bài toán thực tế — Bài toán mở đầu:
Bác An có $40$ m hàng rào. Bác muốn rào xung quanh một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $96$ m² để trồng rau. Tính chiều dài và chiều rộng.
Bước 1 — Phân tích: Gọi chiều dài $d$, chiều rộng $r$ ($d, r > 0$).
Bước 2 — Lập PT: $d$ và $r$ là nghiệm của PT $x^2 - 20x + 96 = 0$.
Kết luận: Mảnh vườn có chiều dài $\mathbf{12}$ m và chiều rộng $\mathbf{8}$ m.
Nhiều bài toán cho PT bậc hai chứa tham số $m$, yêu cầu tìm $m$ để hai nghiệm $x_1, x_2$ thoả một biểu thức đối xứng (như $x_1^2 + x_2^2$, $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$, $\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}$…). Chìa khoá là biến đổi mọi biểu thức về tổng $S$ và tích $P$ rồi thay định lí Viète.
$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{S}{P}$
$\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \dfrac{S^2 - 2P}{P}$
$(x_1 - x_2)^2 = S^2 - 4P$
$x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3PS$
① Kiểm tra điều kiện PT có hai nghiệm: $\Delta \geq 0$ (hoặc $\Delta > 0$ nếu cần hai nghiệm phân biệt).
② Nếu biểu thức có $\dfrac{1}{x_1}, \dfrac{1}{x_2}$ hoặc $\dfrac{x_1}{x_2}$ thì cần thêm điều kiện $x_1 x_2 \neq 0$ (tức $c \neq 0$).
③ Tìm $m$ xong phải đối chiếu lại với hai điều kiện trên để loại nghiệm không thoả.
Cho PT $x^2 - 2mx - 2m^2 - 1 = 0$. Tìm $m$ để hai nghiệm $x_1, x_2$ thoả $\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = -3$.
| Nội dung | Công thức cần nhớ |
|---|---|
| Định lí Viète | $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $\;x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ |
| Nhẩm nghiệm khi $a + b + c = 0$ | $x_1 = 1$, $\;x_2 = \dfrac{c}{a}$ |
| Nhẩm nghiệm khi $a - b + c = 0$ | $x_1 = -1$, $\;x_2 = -\dfrac{c}{a}$ |
| Biết một nghiệm $x_1$ | $x_2 = \dfrac{c}{a \cdot x_1}$ |
| Tìm hai số biết tổng $S$ và tích $P$ | Giải $x^2 - Sx + P = 0$, ĐK: $S^2 - 4P \geq 0$ |
| Phân tích nhân tử | $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ |
| Dạng bài | Phương pháp |
|---|---|
| Tính tổng & tích nghiệm | Kiểm tra $\Delta \geq 0$ → áp dụng Viète |
| Nhẩm nghiệm | Kiểm tra $a + b + c = 0$ hoặc $a - b + c = 0$ |
| Tìm hai số biết tổng & tích | Lập $x^2 - Sx + P = 0$, giải tìm nghiệm |
| Phân tích đa thức | Giải PT → viết $a(x - x_1)(x - x_2)$ |
| Bài toán hình chữ nhật | Tổng = nửa chu vi, tích = diện tích → lập PT |
Luyện tập định lí Viète nào!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du