Bảng Tần Số Tương Đối Và Biểu Đồ Tần Số Tương Đối
Khái niệm tần số tương đối, bảng tần số tương đối, biểu đồ cột và biểu đồ hình quạt tròn
Ở Bài $22$, ta đã biết dùng bảng tần số để thể hiện số lần xuất hiện của mỗi giá trị. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp ta cần biết tỉ lệ phần trăm của mỗi giá trị so với toàn bộ mẫu — khi đó ta dùng tần số tương đối.
Tần số tương đối $f_i$ của giá trị $x_i$ là:
🔵 Bảng tần số tương đối liệt kê các giá trị khác nhau cùng tần số tương đối tương ứng:
| Giá trị | $x_1$ | $x_2$ | $\ldots$ | $x_k$ |
|---|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | $f_1$ | $f_2$ | $\ldots$ | $f_k$ |
• Tổng các tần số tương đối luôn bằng $100\%$: $f_1 + f_2 + \cdots + f_k = 100\%$.
• Tần số tương đối là ước lượng cho xác suất xuất hiện của giá trị đó.
• Tần số tương đối giúp so sánh tỉ lệ giữa các mẫu có cỡ mẫu khác nhau.
Thu thập dữ liệu chất lượng không khí trong $40$ ngày, ghi theo $4$ mức: M1 (Tốt), M2 (Trung bình), M3 (Kém), M4 (Xấu). Tần số: $m_1 = 10$, $m_2 = 18$, $m_3 = 8$, $m_4 = 4$.
Bước 1 — Cỡ mẫu: $n = 40$.
Bước 2 — Tính tần số tương đối:
Bảng tần số tương đối:
| Mức | M1 (Tốt) | M2 (TB) | M3 (Kém) | M4 (Xấu) |
|---|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | $25\%$ | $45\%$ ★ | $20\%$ | $10\%$ |
Kiểm tra: $25\% + 45\% + 20\% + 10\% = 100\%$ ✓.
Nhận xét: Mức M2 (Trung bình) có tỉ lệ cao nhất ($45\%$) → khả năng cao nhất khu đô thị có chất lượng không khí ở mức Trung bình.
Có hai dạng biểu đồ tần số tương đối thường gặp:
• Trục đứng: tần số tương đối ($\%$).
• Mỗi cột có chiều cao bằng tần số tương đối.
• Diện tích hình quạt tỉ lệ với tần số tương đối.
• Tổng các hình quạt tạo thành một hình tròn.
🔵 Cách vẽ biểu đồ hình quạt tròn:
$= 360° \times f_i$
chia thành các quạt
chú giải, tiêu đề
Bảng tần số tương đối thể loại sách yêu thích của lớp $9B$:
| Thể loại | Truyện tranh | Khoa học | Văn học |
|---|---|---|---|
| Tỉ lệ | $40\%$ | $35\%$ | $25\%$ |
Bước 1 — Tính số đo cung:
Kiểm tra: $144° + 126° + 90° = 360°$ ✓
Bước 2 + 3 — Vẽ và ghi chú: Vẽ hình tròn, dùng thước đo góc chia thành $3$ hình quạt với các góc ở tâm $144°$, $126°$, $90°$. Tô màu phân biệt, ghi tỉ lệ phần trăm trên mỗi hình quạt.
• $50\% = 180°$ (nửa hình tròn)
• $25\% = 90°$ (một phần tư)
• $20\% = 72°$
• $10\% = 36°$
• $\dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\% = 120°$
Biểu đồ hình quạt tròn chỉ dùng được khi tổng các tần số tương đối đúng bằng $100\%$. Nếu tổng các tỉ lệ phần trăm khác $100\%$, ta KHÔNG dùng được biểu đồ hình quạt tròn mà phải dùng biểu đồ cột.
Ví dụ: phiếu khảo sát chỉ chọn $1$ đáp án.
Ví dụ: phiếu khảo sát cho chọn nhiều đáp án.
Mỗi học sinh được chọn nhiều hơn $1$ địa điểm:
| Địa điểm | Ba Vì | Cát Bà | Cúc Phương |
|---|---|---|---|
| Tỉ lệ | $70\%$ | $30\%$ | $50\%$ |
Kiểm tra tổng: $70\% + 30\% + 50\% = 150\% \neq 100\%$.
🔵 Trường hợp khác — Tỉ lệ KHÔNG phải tần số tương đối:
Khi đề cho một bảng các tỉ lệ phần trăm nhưng không biểu thị tỉ lệ trong tổng thể (ví dụ: mức tăng trưởng GDP, tỉ lệ tăng dân số,...), tổng các tỉ lệ này thường khác $100\%$. Đây không phải bảng tần số tương đối, do đó cũng không dùng được biểu đồ hình quạt tròn.
| Khu vực | Nông nghiệp | Công nghiệp | Dịch vụ |
|---|---|---|---|
| Mức tăng trưởng | $3{,}36\%$ | $7{,}78\%$ | $9{,}99\%$ |
Tổng: $3{,}36\% + 7{,}78\% + 9{,}99\% = 21{,}13\% \neq 100\%$.
Các giá trị này là mức tăng trưởng của mỗi khu vực, không phải tỉ lệ phần trăm trong tổng thể → KHÔNG phải tần số tương đối → dùng biểu đồ cột.
• Tổng $= 100\%$ → là bảng tần số tương đối → có thể dùng biểu đồ hình quạt tròn.
• Tổng $\neq 100\%$ → KHÔNG phải bảng tần số tương đối → phải dùng biểu đồ cột.
🔵 Dạng 1 — Lập bảng tần số tương đối từ dữ liệu cho trước:
Lớp có $40$ bạn: $20$ bạn mặc cỡ M, $13$ bạn mặc cỡ S, $7$ bạn mặc cỡ L. Lập bảng tần số tương đối.
Bước 1: Cỡ mẫu $n = 40$.
Kiểm tra: $50\% + 32{,}5\% + 17{,}5\% = 100\%$ ✓.
🔵 Dạng 2 — Ước lượng xác suất:
Tần số tương đối của một giá trị chính là ước lượng cho xác suất xuất hiện giá trị đó. Sau khi lập xong bảng tần số tương đối, ta có thể đọc trực tiếp xác suất từ bảng.
Quay $150$ lần một tấm bìa hình tròn $4$ màu Xanh, Đỏ, Tím, Vàng. Số lần mũi tên chỉ vào: Xanh: $60$, Đỏ: $30$, Tím: $40$, Vàng: $20$.
Tính tần số tương đối:
Ước lượng: Xác suất mũi tên chỉ vào màu Xanh khoảng $40\%$; chỉ vào màu Vàng khoảng $13{,}3\%$.
🔵 Dạng 3 — Vẽ biểu đồ hình quạt tròn:
🔵 Dạng 4 — Lựa chọn biểu đồ phù hợp:
• Rút gọn phân số $\dfrac{m_i}{n}$ trước khi nhân $100\%$. Ví dụ: $\dfrac{20}{40} = \dfrac{1}{2} = 50\%$.
• Giá trị cuối cùng tính bằng phép trừ: $100\%$ trừ tổng các giá trị đã có → vừa nhanh vừa đảm bảo tổng $= 100\%$.
| Khái niệm | Nội dung |
|---|---|
| Tần số tương đối | $f_i = \dfrac{m_i}{n} \cdot 100\%$ — còn gọi là tần suất |
| Tổng các tần số tương đối | Luôn bằng $100\%$ |
| Ý nghĩa tần số tương đối | Ước lượng xác suất xuất hiện của giá trị |
| Biểu đồ tần số tương đối | Có $2$ dạng: biểu đồ cột và biểu đồ hình quạt tròn |
| Số đo cung hình quạt | $= 360° \times f_i$ ($f_i$ ở dạng thập phân) |
| Khi nào dùng hình quạt tròn? | Chỉ khi tổng tỉ lệ $= 100\%$ |
| Khi tổng tỉ lệ $\neq 100\%$ | Phải dùng biểu đồ cột (không dùng hình quạt tròn) |
Luyện tập về Tần số tương đối!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du