Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
Mở đầu trang 5
Đề bài: Xét bài toán cổ sau:
“Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui. Chia ba mỗi quả quýt rồi, Còn cam, mỗi quả chia mười vừa xinh. Trăm người, trăm miếng ngọt lành. Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?”
Trong bài toán này có hai đại lượng chưa biết (số cam và số quýt). Vậy ta có thể giải bài toán đó tương tự “giải bài toán bằng cách lập phương trình” được hay không?
Lời giải:
Sau bài học này ta sẽ trả lời được câu hỏi mở đầu. Cụ thể, gọi $x$ là số cam, $y$ là số quýt ($x, y$ nguyên dương và nhỏ hơn $17$), ta sẽ lập được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn mô tả bài toán. Lời giải chi tiết được trình bày trong phần Vận dụng ở cuối bài.
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
HĐ1 trang 6
Đề bài: Câu “Quýt, cam mười bảy quả tươi” có nghĩa là tổng số cam và số quýt là $17$. Hãy viết hệ thức với hai biến $x$ và $y$ biểu thị giả thiết này.
Lời giải:
Vì $x$ là số cam và $y$ là số quýt, mà tổng số cam và số quýt bằng $17$, nên:
$$x + y = 17.$$
HĐ2 trang 6
Đề bài: Tương tự, hãy viết hệ thức với hai biến $x$ và $y$ biểu thị giả thiết cho bởi các câu thơ thứ ba, thứ tư và thứ năm.
Lời giải:
Ta phân tích ba câu thơ:
- “Chia ba mỗi quả quýt rồi”: mỗi quả quýt chia thành $3$ miếng, nên $y$ quả quýt cho $3y$ miếng.
- “Còn cam, mỗi quả chia mười vừa xinh”: mỗi quả cam chia thành $10$ miếng, nên $x$ quả cam cho $10x$ miếng.
- “Trăm người, trăm miếng ngọt lành”: tổng số miếng đúng bằng $100$.
Suy ra:
$$10x + 3y = 100.$$
Luyện tập 1 trang 6
Đề bài: Hãy viết một phương trình bậc nhất hai ẩn và chỉ ra một nghiệm của nó.
Lời giải:
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$.
Ví dụ: Xét phương trình $2x + y = 5$ (ở đây $a = 2,\ b = 1,\ c = 5$).
Chọn thử $x = 1$, thay vào phương trình:
$$2 \cdot 1 + y = 5 \Rightarrow y = 3.$$
Kiểm tra lại: $2 \cdot 1 + 3 = 5$ (đúng).
Vậy $(1;\ 3)$ là một nghiệm của phương trình $2x + y = 5$.
(Các em có thể chọn phương trình khác, chẳng hạn $x – y = 2$ với nghiệm $(3;\ 1)$ — chỉ cần đảm bảo dạng $ax + by = c$ và thay vào ra khẳng định đúng.)
Luyện tập 2 trang 8
Đề bài: Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
a) $2x – 3y = 5$;
b) $0x + y = 3$;
c) $x + 0y = -2$.
Lời giải:
a) $2x – 3y = 5$.
Rút $y$ theo $x$: từ $2x – 3y = 5$ suy ra $3y = 2x – 5$, do đó
$$y = \dfrac{2x – 5}{3}.$$
Với mỗi $x \in \mathbb{R}$ tuỳ ý ta tìm được một giá trị $y$ tương ứng. Vậy nghiệm tổng quát là:
$$\left(x;\ \dfrac{2x – 5}{3}\right) \quad \text{với } x \in \mathbb{R} \text{ tuỳ ý.}$$
Biểu diễn hình học: Tập hợp các nghiệm là đường thẳng $d: 2x – 3y = 5$. Để vẽ đường thẳng này ta chọn hai điểm thuộc nó:
- Cho $x = 1 \Rightarrow y = \dfrac{2 \cdot 1 – 5}{3} = -1$, được điểm $A(1;\ -1)$.
- Cho $x = 4 \Rightarrow y = \dfrac{2 \cdot 4 – 5}{3} = 1$, được điểm $B(4;\ 1)$.
Đường thẳng $d$ đi qua $A(1;\ -1)$ và $B(4;\ 1)$.
b) $0x + y = 3$.
Phương trình rút gọn thành $y = 3$. Với mỗi $x \in \mathbb{R}$ tuỳ ý, $y$ luôn bằng $3$. Vậy nghiệm tổng quát là:
$$(x;\ 3) \quad \text{với } x \in \mathbb{R} \text{ tuỳ ý.}$$
Biểu diễn hình học: Tập hợp các nghiệm là đường thẳng $y = 3$ — đường thẳng song song với trục $Ox$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;\ 3)$.
c) $x + 0y = -2$.
Phương trình rút gọn thành $x = -2$. Với mỗi $y \in \mathbb{R}$ tuỳ ý, $x$ luôn bằng $-2$. Vậy nghiệm tổng quát là:
$$(-2;\ y) \quad \text{với } y \in \mathbb{R} \text{ tuỳ ý.}$$
Biểu diễn hình học: Tập hợp các nghiệm là đường thẳng $x = -2$ — đường thẳng song song với trục $Oy$ và cắt trục $Ox$ tại điểm $(-2;\ 0)$.
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Luyện tập 3 trang 9
Đề bài: Trong hai cặp số $(0;\ -2)$ và $(2;\ -1)$, cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình
$$\begin{cases} x – 2y = 4 \\ 4x + 3y = 5 \end{cases}?$$
Lời giải:
Cách kiểm tra: Một cặp số là nghiệm của hệ khi và chỉ khi nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ. Ta thay từng cặp số vào và kiểm tra.
Thử cặp số $(0;\ -2)$, tức $x = 0$ và $y = -2$:
- Phương trình thứ nhất: $x – 2y = 0 – 2 \cdot (-2) = 0 + 4 = 4$ → đúng.
- Phương trình thứ hai: $4x + 3y = 4 \cdot 0 + 3 \cdot (-2) = 0 – 6 = -6 \neq 5$ → sai.
Vì cặp $(0;\ -2)$ không thoả mãn phương trình thứ hai, nên không là nghiệm của hệ.
Thử cặp số $(2;\ -1)$, tức $x = 2$ và $y = -1$:
- Phương trình thứ nhất: $x – 2y = 2 – 2 \cdot (-1) = 2 + 2 = 4$ → đúng.
- Phương trình thứ hai: $4x + 3y = 4 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 8 – 3 = 5$ → đúng.
Vì cặp $(2;\ -1)$ thoả mãn cả hai phương trình, nên nó là nghiệm của hệ.
Kết luận: Cặp số $(2;\ -1)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Vận dụng trang 9, 10
Đề bài: Xét bài toán cổ trong tình huống mở đầu. Gọi $x$ là số cam, $y$ là số quýt cần tính ($x, y \in \mathbb{N}^*$), ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
$$\begin{cases} x + y = 17 \\ 10x + 3y = 100. \end{cases}$$
Trong hai cặp số $(10;\ 7)$ và $(7;\ 10)$, cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình trên? Từ đó cho biết một phương án về số cam và số quýt thoả mãn yêu cầu của bài toán cổ.
Lời giải:
Ta lần lượt thay từng cặp số vào hệ phương trình.
Thử cặp số $(10;\ 7)$, tức $x = 10$ và $y = 7$:
- Phương trình thứ nhất: $x + y = 10 + 7 = 17$ → đúng.
- Phương trình thứ hai: $10x + 3y = 10 \cdot 10 + 3 \cdot 7 = 100 + 21 = 121 \neq 100$ → sai.
Vậy $(10;\ 7)$ không là nghiệm của hệ.
Thử cặp số $(7;\ 10)$, tức $x = 7$ và $y = 10$:
- Phương trình thứ nhất: $x + y = 7 + 10 = 17$ → đúng.
- Phương trình thứ hai: $10x + 3y = 10 \cdot 7 + 3 \cdot 10 = 70 + 30 = 100$ → đúng.
Vậy $(7;\ 10)$ là nghiệm của hệ.
Kết luận: Cặp $(7;\ 10)$ là nghiệm của hệ. Vậy bài toán cổ có một phương án: $7$ quả cam và $10$ quả quýt.
Kiểm tra ý nghĩa: $7$ quả cam chia mỗi quả thành $10$ miếng được $70$ miếng; $10$ quả quýt chia mỗi quả thành $3$ miếng được $30$ miếng. Tổng cộng $70 + 30 = 100$ miếng cho $100$ người — vừa đủ!
Bài tập (trang 10)
Bài 1.1 trang 10
Đề bài: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn? Vì sao?
a) $5x – 8y = 0$;
b) $4x + 0y = -2$;
c) $0x + 0y = 1$;
d) $0x – 3y = 9$.
Lời giải:
Một phương trình có dạng $ax + by = c$ là phương trình bậc nhất hai ẩn khi và chỉ khi $a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$ (tức ít nhất một trong hai hệ số $a$, $b$ phải khác $0$).
- a) $5x – 8y = 0$ có $a = 5 \neq 0$ và $b = -8 \neq 0$ → là phương trình bậc nhất hai ẩn.
- b) $4x + 0y = -2$ có $a = 4 \neq 0$ → là phương trình bậc nhất hai ẩn.
- c) $0x + 0y = 1$ có $a = 0$ và $b = 0$ → không là phương trình bậc nhất hai ẩn.
- d) $0x – 3y = 9$ có $b = -3 \neq 0$ → là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Kết luận: Các phương trình ở câu a), b), d) là phương trình bậc nhất hai ẩn; câu c) thì không.
Bài 1.2 trang 10
Đề bài:
a) Tìm giá trị thích hợp thay cho dấu “?” trong bảng sau rồi cho biết $6$ nghiệm của phương trình $2x – y = 1$:
| $x$ | $-1$ | $-0{,}5$ | $0$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = 2x – 1$ | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
b) Viết nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.
Lời giải:
a) Từ $2x – y = 1$ ta rút ra $y = 2x – 1$. Thay lần lượt các giá trị của $x$ vào để tìm $y$:
- $x = -1 \Rightarrow y = 2 \cdot (-1) – 1 = -2 – 1 = -3$.
- $x = -0{,}5 \Rightarrow y = 2 \cdot (-0{,}5) – 1 = -1 – 1 = -2$.
- $x = 0 \Rightarrow y = 2 \cdot 0 – 1 = -1$.
- $x = 0{,}5 \Rightarrow y = 2 \cdot 0{,}5 – 1 = 1 – 1 = 0$.
- $x = 1 \Rightarrow y = 2 \cdot 1 – 1 = 1$.
- $x = 2 \Rightarrow y = 2 \cdot 2 – 1 = 3$.
Ta có bảng:
| $x$ | $-1$ | $-0{,}5$ | $0$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = 2x – 1$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $3$ |
Vậy $6$ nghiệm của phương trình $2x – y = 1$ là:
$$(-1;\ -3),\ \ (-0{,}5;\ -2),\ \ (0;\ -1),\ \ (0{,}5;\ 0),\ \ (1;\ 1),\ \ (2;\ 3).$$
b) Nghiệm tổng quát: Vì với mỗi $x \in \mathbb{R}$ tuỳ ý ta tính được $y = 2x – 1$ tương ứng, nên nghiệm tổng quát của phương trình $2x – y = 1$ là:
$$(x;\ 2x – 1) \quad \text{với } x \in \mathbb{R} \text{ tuỳ ý.}$$
Bài 1.3 trang 10
Đề bài: Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
a) $2x – y = 3$;
b) $0x + 2y = -4$;
c) $3x + 0y = 5$.
Lời giải:
a) $2x – y = 3$.
Rút $y$ theo $x$: $y = 2x – 3$. Với mỗi $x \in \mathbb{R}$ tuỳ ý ta tìm được một $y$ tương ứng. Vậy nghiệm tổng quát:
$$(x;\ 2x – 3) \quad \text{với } x \in \mathbb{R} \text{ tuỳ ý.}$$
Biểu diễn hình học: Tập hợp các nghiệm là đường thẳng $d: 2x – y = 3$. Chọn hai điểm thuộc đường thẳng để vẽ:
- $x = 0 \Rightarrow y = -3$, được điểm $A(0;\ -3)$.
- $x = 2 \Rightarrow y = 1$, được điểm $B(2;\ 1)$.
Đường thẳng $d$ đi qua $A(0;\ -3)$ và $B(2;\ 1)$.
b) $0x + 2y = -4$.
Phương trình rút gọn thành $2y = -4 \Leftrightarrow y = -2$. Với mỗi $x \in \mathbb{R}$ tuỳ ý, $y$ luôn bằng $-2$. Vậy nghiệm tổng quát:
$$(x;\ -2) \quad \text{với } x \in \mathbb{R} \text{ tuỳ ý.}$$
Biểu diễn hình học: Tập hợp các nghiệm là đường thẳng $y = -2$ — đường thẳng song song với trục $Ox$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;\ -2)$.
c) $3x + 0y = 5$.
Phương trình rút gọn thành $3x = 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{3}$. Với mỗi $y \in \mathbb{R}$ tuỳ ý, $x$ luôn bằng $\dfrac{5}{3}$. Vậy nghiệm tổng quát:
$$\left(\dfrac{5}{3};\ y\right) \quad \text{với } y \in \mathbb{R} \text{ tuỳ ý.}$$
Biểu diễn hình học: Tập hợp các nghiệm là đường thẳng $x = \dfrac{5}{3}$ — đường thẳng song song với trục $Oy$ và cắt trục $Ox$ tại điểm $\left(\dfrac{5}{3};\ 0\right)$.
Bài 1.4 trang 10
Đề bài: Cho hệ phương trình
$$\begin{cases} 2x = -6 \\ 5x + 4y = 1. \end{cases}$$
a) Hệ phương trình trên có là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn không? Vì sao?
b) Cặp số $(-3;\ 4)$ có là một nghiệm của hệ phương trình đã cho hay không? Vì sao?
Lời giải:
a) Ta xét từng phương trình của hệ:
- $2x = -6$ có thể viết lại thành $2x + 0y = -6$, có $a = 2 \neq 0$ → là phương trình bậc nhất hai ẩn.
- $5x + 4y = 1$ có $a = 5 \neq 0$ và $b = 4 \neq 0$ → là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vì cả hai phương trình của hệ đều là phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ đã cho là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Thay $x = -3$ và $y = 4$ vào từng phương trình của hệ:
- Phương trình thứ nhất: $2x = 2 \cdot (-3) = -6$ → đúng.
- Phương trình thứ hai: $5x + 4y = 5 \cdot (-3) + 4 \cdot 4 = -15 + 16 = 1$ → đúng.
Vì cặp số $(-3;\ 4)$ thoả mãn cả hai phương trình của hệ, nên $(-3;\ 4)$ là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Bài 1.5 trang 10
Đề bài: Cho các cặp số $(-2;\ 1)$, $(0;\ 2)$, $(1;\ 0)$, $(1{,}5;\ 3)$, $(4;\ -3)$ và hai phương trình
$$5x + 4y = 8, \qquad (1)$$ $$3x + 5y = -3. \qquad (2)$$
Trong các cặp số đã cho:
a) Những cặp số nào là nghiệm của phương trình $(1)$?
b) Cặp số nào là nghiệm của hệ hai phương trình gồm phương trình $(1)$ và phương trình $(2)$?
c) Vẽ hai đường thẳng $5x + 4y = 8$ và $3x + 5y = -3$ trên cùng một mặt phẳng toạ độ để minh hoạ kết luận ở câu b.
Lời giải:
a) Ta thay lần lượt từng cặp số vào phương trình $(1)$: $5x + 4y = 8$.
- $(-2;\ 1)$: $5 \cdot (-2) + 4 \cdot 1 = -10 + 4 = -6 \neq 8$ → không là nghiệm.
- $(0;\ 2)$: $5 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 0 + 8 = 8$ → là nghiệm.
- $(1;\ 0)$: $5 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 5 + 0 = 5 \neq 8$ → không là nghiệm.
- $(1{,}5;\ 3)$: $5 \cdot 1{,}5 + 4 \cdot 3 = 7{,}5 + 12 = 19{,}5 \neq 8$ → không là nghiệm.
- $(4;\ -3)$: $5 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 20 – 12 = 8$ → là nghiệm.
Vậy các cặp số là nghiệm của phương trình $(1)$ là: $(0;\ 2)$ và $(4;\ -3)$.
b) Một cặp số là nghiệm của hệ khi nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình $(1)$ và $(2)$. Ở câu a) ta đã có hai cặp là nghiệm của $(1)$, nên chỉ cần thử thêm hai cặp này vào phương trình $(2)$: $3x + 5y = -3$.
- $(0;\ 2)$: $3 \cdot 0 + 5 \cdot 2 = 0 + 10 = 10 \neq -3$ → không là nghiệm của $(2)$.
- $(4;\ -3)$: $3 \cdot 4 + 5 \cdot (-3) = 12 – 15 = -3$ → là nghiệm của $(2)$.
Vậy cặp số $(4;\ -3)$ là nghiệm của hệ hai phương trình gồm $(1)$ và $(2)$.
c) Vẽ hai đường thẳng để minh hoạ.
- Đường thẳng $d_1: 5x + 4y = 8$. Chọn hai điểm thuộc nó:
- Cho $x = 0 \Rightarrow 4y = 8 \Rightarrow y = 2$, được điểm $(0;\ 2)$.
- Cho $x = 4 \Rightarrow 20 + 4y = 8 \Rightarrow 4y = -12 \Rightarrow y = -3$, được điểm $(4;\ -3)$.
- Đường thẳng $d_2: 3x + 5y = -3$. Chọn hai điểm thuộc nó:
- Cho $x = -1 \Rightarrow -3 + 5y = -3 \Rightarrow 5y = 0 \Rightarrow y = 0$, được điểm $(-1;\ 0)$.
- Cho $x = 4 \Rightarrow 12 + 5y = -3 \Rightarrow 5y = -15 \Rightarrow y = -3$, được điểm $(4;\ -3)$.
Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ cùng đi qua điểm $(4;\ -3)$, tức là chúng cắt nhau tại điểm $M(4;\ -3)$. Điều này phù hợp với kết luận ở câu b): cặp số $(4;\ -3)$ là nghiệm duy nhất chung của hai phương trình.
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du