Bài tập

Bài 3.12 trang 53

Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{(\sqrt{3} – \sqrt{2})^2} + \sqrt{(1 – \sqrt{2})^2}$;

b) $\sqrt{(\sqrt{7} – 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{7} + 3)^2}$.

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$, rồi xét dấu từng biểu thức để bỏ dấu trị tuyệt đối.

a) Ta có:

$$\sqrt{(\sqrt{3} – \sqrt{2})^2} + \sqrt{(1 – \sqrt{2})^2} = |\sqrt{3} – \sqrt{2}| + |1 – \sqrt{2}|.$$

Xét dấu từng biểu thức:

• $\sqrt{3} – \sqrt{2}$: vì $3 > 2$ nên $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, suy ra $\sqrt{3} – \sqrt{2} > 0$. Do đó $|\sqrt{3} – \sqrt{2}| = \sqrt{3} – \sqrt{2}$.
• $1 – \sqrt{2}$: vì $\sqrt{2} > \sqrt{1} = 1$ nên $1 – \sqrt{2} < 0$. Do đó $|1 – \sqrt{2}| = -(1 – \sqrt{2}) = \sqrt{2} – 1$.

Cộng lại:

$$\sqrt{(\sqrt{3} – \sqrt{2})^2} + \sqrt{(1 – \sqrt{2})^2} = (\sqrt{3} – \sqrt{2}) + (\sqrt{2} – 1) = \sqrt{3} – 1.$$

b) Ta có:

$$\sqrt{(\sqrt{7} – 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{7} + 3)^2} = |\sqrt{7} – 3| + |\sqrt{7} + 3|.$$

Xét dấu từng biểu thức:

• $\sqrt{7} – 3$: vì $\sqrt{7} < \sqrt{9} = 3$ nên $\sqrt{7} – 3 < 0$. Do đó $|\sqrt{7} – 3| = -(\sqrt{7} – 3) = 3 – \sqrt{7}$.
• $\sqrt{7} + 3 > 0$ (hiển nhiên), nên $|\sqrt{7} + 3| = \sqrt{7} + 3$.

Cộng lại:

$$\sqrt{(\sqrt{7} – 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{7} + 3)^2} = (3 – \sqrt{7}) + (\sqrt{7} + 3) = 6.$$

Bài 3.13 trang 53

Đề bài: Thực hiện phép tính:

a) $\sqrt{3}(\sqrt{192} – \sqrt{75})$;

b) $\dfrac{-3\sqrt{18} + 5\sqrt{50} – \sqrt{128}}{7\sqrt{2}}$.

Lời giải:

a) Phân phối $\sqrt{3}$ vào trong ngoặc:

$$\sqrt{3}(\sqrt{192} – \sqrt{75}) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{192} – \sqrt{3} \cdot \sqrt{75}.$$

Áp dụng $\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} = \sqrt{AB}$:

• $\sqrt{3} \cdot \sqrt{192} = \sqrt{3 \cdot 192} = \sqrt{576} = 24$.
• $\sqrt{3} \cdot \sqrt{75} = \sqrt{3 \cdot 75} = \sqrt{225} = 15$.

Vậy $\sqrt{3}(\sqrt{192} – \sqrt{75}) = 24 – 15 = 9$.

b) Rút gọn từng căn ở tử số. Ta tách phần dưới căn thành tích, trong đó có một thừa số là số chính phương:

• $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
• $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.

Thay vào tử số:

$$-3\sqrt{18} + 5\sqrt{50} – \sqrt{128} = -3 \cdot 3\sqrt{2} + 5 \cdot 5\sqrt{2} – 8\sqrt{2} = -9\sqrt{2} + 25\sqrt{2} – 8\sqrt{2} = 8\sqrt{2}.$$

Chia cho mẫu $7\sqrt{2}$:

$$\dfrac{8\sqrt{2}}{7\sqrt{2}} = \dfrac{8}{7}.$$

Vậy giá trị biểu thức bằng $\dfrac{8}{7}$.

Bài 3.14 trang 53

Đề bài: Chứng minh rằng:

a) $(1 – \sqrt{2})^2 = 3 – 2\sqrt{2}$;

b) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{6}$.

Lời giải:

a) Áp dụng hằng đẳng thức $(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ với $a = 1,\ b = \sqrt{2}$:

$$(1 – \sqrt{2})^2 = 1^2 – 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 – 2\sqrt{2} + 2 = 3 – 2\sqrt{2}.$$

Vậy $(1 – \sqrt{2})^2 = 3 – 2\sqrt{2}$ (điều phải chứng minh).

b) Áp dụng hằng đẳng thức $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ với $a = \sqrt{3},\ b = \sqrt{2}$:

$$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{3 \cdot 2} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}.$$

Vậy $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{6}$ (điều phải chứng minh).

Bài 3.15 trang 53

Đề bài: Cho căn thức $\sqrt{x^2 – 4x + 4}$.

a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của $x$.

b) Rút gọn căn thức đã cho với $x \ge 2$.

c) Chứng tỏ rằng với mọi $x \ge 2$, biểu thức $\sqrt{x – \sqrt{x^2 – 4x + 4}}$ có giá trị không đổi.

Lời giải:

a) Ta biến đổi biểu thức dưới căn theo hằng đẳng thức $(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$:

$$x^2 – 4x + 4 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x – 2)^2.$$

Vì $(x – 2)^2 \ge 0$ với mọi số thực $x$, nên căn thức $\sqrt{x^2 – 4x + 4}$ xác định với mọi giá trị của $x$.

b) Áp dụng $\sqrt{A^2} = |A|$:

$$\sqrt{x^2 – 4x + 4} = \sqrt{(x – 2)^2} = |x – 2|.$$

Vì $x \ge 2$ nên $x – 2 \ge 0$, suy ra $|x – 2| = x – 2$. Vậy:

$$\sqrt{x^2 – 4x + 4} = x – 2 \quad (\text{với } x \ge 2).$$

c) Với $x \ge 2$, từ kết quả câu b) ta có $\sqrt{x^2 – 4x + 4} = x – 2$. Thay vào biểu thức:

$$x – \sqrt{x^2 – 4x + 4} = x – (x – 2) = x – x + 2 = 2.$$

Do đó:

$$\sqrt{x – \sqrt{x^2 – 4x + 4}} = \sqrt{2}.$$

Vậy với mọi $x \ge 2$, biểu thức luôn bằng $\sqrt{2}$ — đây là một giá trị không đổi (điều phải chứng minh).

Bài 3.16 trang 53

Đề bài: Vận tốc (m/s) của một vật đang bay được cho bởi công thức $v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}$, trong đó $E$ là động năng của vật (tính bằng Joule, kí hiệu là J) và $m$ (kg) là khối lượng của vật. Tính vận tốc bay của một vật khi biết vật đó có khối lượng $2{,}5$ kg và động năng $281{,}25$ J.

Lời giải:

Thay $E = 281{,}25$ J và $m = 2{,}5$ kg vào công thức $v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}$:

$$v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 281{,}25}{2{,}5}}.$$

Tính tử số: $2 \cdot 281{,}25 = 562{,}5$. Tiếp đó:

$$\dfrac{562{,}5}{2{,}5} = 225.$$

Do đó:

$$v = \sqrt{225} = 15 \ (\text{m/s}).$$

Vậy vận tốc bay của vật là $15$ m/s.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du