Mở đầu trang 60

Đề bài: Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cặp gene của cây con được lấy ngẫu nhiên một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ. Phép thử là cho lai hai cây đậu Hà Lan, trong đó cây bố và cây mẹ có kiểu hình là “hạt vàng và trơn”. Hỏi xác suất để cây con có kiểu hình như cây bố và cây mẹ là bao nhiêu?

Lời giải:

Để trả lời được câu hỏi này, ta cần biết kiểu gene cụ thể của cây bố và cây mẹ (vì cùng kiểu hình “hạt vàng và trơn” có thể ứng với nhiều kiểu gene khác nhau).

Trong Ví dụ 3 (trang 62–63), sách đã giả sử cây bố có kiểu gene là $(AA, Bb)$ và cây mẹ có kiểu gene là $(Aa, Bb)$. Khi đó, xác suất cây con có hạt vàng và trơn là $P(M) = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.

Chi tiết cách tính được trình bày trong Ví dụ 3.

1. Kết quả thuận lợi cho một biến cố liên quan tới phép thử

HĐ trang 60

Đề bài: Bạn Tùng gieo một con xúc xắc liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:

• $E$: “Cả hai lần gieo con xúc xắc đều xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố”;
• $F$: “Cả hai lần gieo con xúc xắc đều không xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn”.

a) Phép thử là gì?

b) Giả sử số chấm xuất hiện trên con xúc xắc trong lần gieo thứ nhất, thứ hai tương ứng là $2$ và $5$ chấm. Khi đó, biến cố nào xảy ra? Biến cố nào không xảy ra?

Lời giải:

a) Phép thử là gieo một con xúc xắc liên tiếp hai lần.

b) Số chấm xuất hiện lần thứ nhất là $2$, lần thứ hai là $5$.

Xét biến cố $E$: Trong các số $1, 2, 3, 4, 5, 6$, các số nguyên tố là $2, 3, 5$.

• Lần thứ nhất: $2$ là số nguyên tố ✓
• Lần thứ hai: $5$ là số nguyên tố ✓

Cả hai lần đều ra mặt có số chấm là số nguyên tố, vậy biến cố $E$ xảy ra.

Xét biến cố $F$: Trong $1, 2, 3, 4, 5, 6$, các số chẵn là $2, 4, 6$.

• Lần thứ nhất: $2$ là số chẵn ⟹ có xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn.

Vậy biến cố $F$ không xảy ra (vì $F$ yêu cầu cả hai lần đều không có số chẵn, nhưng lần thứ nhất ra $2$ là số chẵn).

Luyện tập 1 trang 61

Đề bài: Bạn Hoàng lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ một túi đựng $2$ quả cầu gồm một quả màu đen và một quả màu trắng, có cùng khối lượng và kích thước. Bạn Hải rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ một hộp đựng $3$ tấm thẻ A, B, C.

a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.

b) Xét các biến cố sau:

• $E$: “Bạn Hoàng lấy được quả cầu màu đen”;
• $F$: “Bạn Hoàng lấy được quả cầu màu trắng và bạn Hải không rút được tấm thẻ A”.

Hãy mô tả các kết quả thuận lợi cho hai biến cố $E$ và $F$.

Lời giải:

a) Kí hiệu Đ là quả cầu màu đen, T là quả cầu màu trắng. Kết quả của phép thử là một cặp $(x, y)$, trong đó $x$ là màu quả cầu Hoàng lấy ($x \in {\text{Đ}, \text{T}}$), $y$ là tên thẻ Hải rút ($y \in {\text{A}, \text{B}, \text{C}}$).

Lập bảng liệt kê:

Không gian mẫu:

$$\Omega = {(\text{Đ, A}); (\text{Đ, B}); (\text{Đ, C}); (\text{T, A}); (\text{T, B}); (\text{T, C})}.$$

$\Omega$ có $\boxed{6}$ phần tử.

b) Biến cố $E$: “Hoàng lấy được quả cầu màu đen” — xảy ra khi $x = $ Đ (Hải rút thẻ nào cũng được).

Các kết quả thuận lợi cho $E$ là: $(\text{Đ, A}); (\text{Đ, B}); (\text{Đ, C})$ — gồm $3$ kết quả.

Biến cố $F$: “Hoàng lấy được quả cầu màu trắng và Hải không rút được thẻ A” — xảy ra khi $x = $ T và $y \ne $ A (tức là $y$ là B hoặc C).

Các kết quả thuận lợi cho $F$ là: $(\text{T, B}); (\text{T, C})$ — gồm $2$ kết quả.

2. Tính xác suất của biến cố liên quan đến phép thử khi các kết quả của phép thử đồng khả năng

Luyện tập 2 trang 62

Đề bài: Cho hai túi I và II, mỗi túi chứa $3$ tấm thẻ được ghi các số $2; 3; 7$. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một tấm thẻ và ghép thành số có hai chữ số với chữ số trên tấm thẻ rút từ túi I là chữ số hàng chục. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) $A$: “Số tạo thành chia hết cho $4$”;

b) $B$: “Số tạo thành là số nguyên tố”.

Lời giải:

Bước 1 & 2: Mô tả không gian mẫu.

Kết quả của phép thử là một cặp $(a, b)$, trong đó $a$ là số trên thẻ rút từ túi I (hàng chục), $b$ là số trên thẻ rút từ túi II (hàng đơn vị). Số tạo thành là $\overline{ab}$.

Lập bảng các số tạo thành:

Không gian mẫu gồm $9$ số: $\Omega = {22; 23; 27; 32; 33; 37; 72; 73; 77}$.

Vì việc rút thẻ là ngẫu nhiên nên $9$ kết quả này đồng khả năng. Suy ra $n(\Omega) = 9$.

Bước 3 & 4: Tính xác suất.

a) Biến cố $A$: “Số tạo thành chia hết cho $4$”.

Kiểm tra từng số:

• $22 = 4 \cdot 5 + 2$ → không chia hết cho $4$.
• $23, 27$: lẻ → không chia hết cho $4$.
• $\mathbf{32 = 4 \cdot 8}$ → chia hết cho $4$ ✓
• $33, 37$: lẻ → không.
• $\mathbf{72 = 4 \cdot 18}$ → chia hết cho $4$ ✓
• $73, 77$: lẻ → không.

Các kết quả thuận lợi cho $A$ là $32; 72$ — có $n(A) = 2$.

$$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{2}{9}.$$

b) Biến cố $B$: “Số tạo thành là số nguyên tố”.

Kiểm tra từng số (số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1$, chỉ có hai ước là $1$ và chính nó):

• $22 = 2 \cdot 11$ → không.
• $\mathbf{23}$ → là số nguyên tố ✓
• $27 = 3^3$ → không.
• $32 = 2^5$ → không.
• $33 = 3 \cdot 11$ → không.
• $\mathbf{37}$ → là số nguyên tố ✓
• $72 = 2^3 \cdot 3^2$ → không.
• $\mathbf{73}$ → là số nguyên tố ✓
• $77 = 7 \cdot 11$ → không.

Các kết quả thuận lợi cho $B$ là $23; 37; 73$ — có $n(B) = 3$.

$$P(B) = \dfrac{n(B)}{n(\Omega)} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}.$$

Luyện tập 3 trang 63

Đề bài: Trở lại Ví dụ 3, tính xác suất để cây con có hạt vàng và nhăn.

Lời giải:

Theo Ví dụ 3, cây bố có kiểu gene $(AA, Bb)$ và cây mẹ có kiểu gene $(Aa, Bb)$. Không gian mẫu của phép thử là:

$$\Omega = \{(AA, BB); (AA, Bb); (AA, bB); (AA, bb);$$

$$\ (Aa, BB); (Aa, Bb); (Aa, bB); (Aa, bb)\}.$$

Tập $\Omega$ có $8$ phần tử và các kết quả là đồng khả năng. Suy ra $n(\Omega) = 8$.

Gọi $N$ là biến cố “Cây con có hạt vàng và nhăn”.

Phân tích điều kiện:

• Cây con có hạt vàng khi trong gene màu hạt có ít nhất một allele trội A (vì A trội hơn a). Quan sát: cả hai kiểu gene màu hạt $AA$ và $Aa$ đều có chứa allele A → mọi kết quả trong $\Omega$ đều cho hạt vàng.
• Cây con có hạt nhăn khi gene dạng hạt không có allele trội B (vì B trội nên chỉ cần có B là hạt trơn). Vậy gene dạng hạt phải là $bb$.

Các kết quả thuận lợi cho $N$ là các phần tử có dạng hạt $bb$:

$$(AA, bb); (Aa, bb) \ \Rightarrow \ n(N) = 2.$$

Vậy:

$$P(N) = \dfrac{n(N)}{n(\Omega)} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}.$$

Bài tập (trang 63)

Bài 8.5 trang 63

Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một gia đình có hai con. Giả thiết rằng biến cố “Sinh con trai” và biến cố “Sinh con gái” là đồng khả năng. Tính xác suất của các biến cố sau:

• $A$: “Gia đình đó có cả con trai và con gái”;
• $B$: “Gia đình đó có con trai”.

Lời giải:

Mô tả không gian mẫu. Kí hiệu T là con trai, G là con gái. Kết quả là cặp $(x, y)$ với $x$ là giới tính con đầu, $y$ là giới tính con sau (như đã làm ở Bài 8.1):

$$\Omega = {(T, T); (T, G); (G, T); (G, G)}.$$

Vì “Sinh con trai” và “Sinh con gái” là đồng khả năng nên $4$ kết quả trên đồng khả năng. Suy ra $n(\Omega) = 4$.

a) Biến cố $A$: “Có cả con trai và con gái”.

Các kết quả thuận lợi: $(T, G); (G, T)$ — có $n(A) = 2$.

$$P(A) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.$$

b) Biến cố $B$: “Có con trai” (tức là có ít nhất một con trai).

Các kết quả thuận lợi: $(T, T); (T, G); (G, T)$ — có $n(B) = 3$.

$$P(B) = \dfrac{3}{4}.$$

Bài 8.6 trang 63

Đề bài: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất I và II. Tính xác suất các biến cố sau:

• $E$: “Có đúng một con xúc xắc xuất hiện mặt $6$ chấm”;
• $F$: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt $6$ chấm”;
• $G$: “Tích của hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng $6$”.

Lời giải:

Mô tả không gian mẫu. Kết quả là cặp $(a, b)$ với $a$ là số chấm xúc xắc I, $b$ là số chấm xúc xắc II; $a, b \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$.

Số phần tử: $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$. Vì hai xúc xắc cân đối, đồng chất nên $36$ kết quả này đồng khả năng.

a) Biến cố $E$: “Có đúng một con xúc xắc xuất hiện mặt $6$ chấm”.

Có hai trường hợp:

• Xúc xắc I ra $6$, xúc xắc II khác $6$: $(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)$ — $5$ cặp.
• Xúc xắc I khác $6$, xúc xắc II ra $6$: $(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6)$ — $5$ cặp.

Tổng: $n(E) = 5 + 5 = 10$.

$$P(E) = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}.$$

b) Biến cố $F$: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt $6$ chấm”.

“Có ít nhất một” gồm: có đúng $1$ con ra $6$ hoặc cả $2$ con đều ra $6$.

• Đúng $1$ con ra $6$: $10$ cặp (theo câu a).
• Cả $2$ con ra $6$: $(6, 6)$ — $1$ cặp.

Tổng: $n(F) = 10 + 1 = 11$.

$$P(F) = \dfrac{11}{36}.$$

c) Biến cố $G$: “Tích hai số chấm nhỏ hơn hoặc bằng $6$” (tức $a \cdot b \le 6$).

Đếm theo từng giá trị của $a$:

• $a = 1$: $1 \cdot b \le 6$ với mọi $b \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ → $6$ cặp.
• $a = 2$: $2b \le 6 \Leftrightarrow b \le 3$ → $b \in {1, 2, 3}$ → $3$ cặp.
• $a = 3$: $3b \le 6 \Leftrightarrow b \le 2$ → $b \in {1, 2}$ → $2$ cặp.
• $a = 4$: $4b \le 6 \Leftrightarrow b \le 1{,}5$ → $b = 1$ → $1$ cặp.
• $a = 5$: $5b \le 6$ → $b = 1$ → $1$ cặp.
• $a = 6$: $6b \le 6$ → $b = 1$ → $1$ cặp.

Tổng: $n(G) = 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 14$.

$$P(G) = \dfrac{14}{36} = \dfrac{7}{18}.$$

Bài 8.7 trang 63

Đề bài: Bạn An gieo một đồng xu cân đối và bạn Bình rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp chứa $5$ tấm thẻ ghi các số $1; 2; 3; 4; 5$. Tính xác suất của các biến cố sau:

• $E$: “Rút được tấm thẻ ghi số lẻ”;
• $F$: “Rút được tấm thẻ ghi số chẵn và đồng xu xuất hiện mặt sấp”;
• $G$: “Rút được tấm thẻ ghi số $5$ hoặc đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.

Lời giải:

Mô tả không gian mẫu. Kí hiệu S là mặt sấp, N là mặt ngửa. Kết quả là cặp $(x, y)$ với $x$ là mặt đồng xu ($x \in {S, N}$), $y$ là số trên thẻ ($y \in {1, 2, 3, 4, 5}$).

Lập bảng:

$n(\Omega) = 2 \times 5 = 10$. Vì đồng xu cân đối và rút thẻ ngẫu nhiên nên các kết quả là đồng khả năng.

a) Biến cố $E$: “Rút được tấm thẻ ghi số lẻ” (số lẻ trong ${1; 2; 3; 4; 5}$ là $1, 3, 5$).

Các kết quả thuận lợi: $(S, 1), (S, 3), (S, 5), (N, 1), (N, 3), (N, 5)$ — có $n(E) = 6$.

$$P(E) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}.$$

b) Biến cố $F$: “Rút được tấm thẻ ghi số chẵn và đồng xu xuất hiện mặt sấp”.

Cần thỏa đồng thời: $y \in {2, 4}$ và $x = S$.

Các kết quả thuận lợi: $(S, 2), (S, 4)$ — có $n(F) = 2$.

$$P(F) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}.$$

c) Biến cố $G$: “Rút được tấm thẻ ghi số $5$ hoặc đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.

Cần thỏa ít nhất một trong hai điều kiện: $y = 5$ hoặc $x = N$.

Liệt kê:

• Các kết quả có $x = N$: $(N, 1), (N, 2), (N, 3), (N, 4), (N, 5)$ — $5$ kết quả.
• Các kết quả có $y = 5$ mà chưa được tính ở trên: chỉ còn $(S, 5)$ — $1$ kết quả (vì $(N, 5)$ đã tính rồi).

Tổng: $n(G) = 5 + 1 = 6$.

$$P(G) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}.$$

Bài 8.8 trang 63

Đề bài: Có hai túi I và II, mỗi túi chứa $4$ tấm thẻ được đánh số $1; 2; 3; 4$. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một tấm thẻ và nhân hai số ghi trên hai tấm thẻ với nhau. Tính xác suất của các biến cố sau:

• $A$: “Kết quả là một số lẻ”;
• $B$: “Kết quả là $1$ hoặc một số nguyên tố”.

Lời giải:

Mô tả không gian mẫu. Kết quả là cặp $(a, b)$ với $a$ là số trên thẻ túi I, $b$ là số trên thẻ túi II; $a, b \in {1, 2, 3, 4}$. Tích của hai số là $a \cdot b$.

Lập bảng tích:

$n(\Omega) = 4 \times 4 = 16$. Vì rút thẻ ngẫu nhiên nên các kết quả là đồng khả năng.

a) Biến cố $A$: “Kết quả là một số lẻ”.

Tích $a \cdot b$ là số lẻ khi và chỉ khi cả $a$ và $b$ đều lẻ.

• $a$ lẻ: $a \in {1, 3}$.
• $b$ lẻ: $b \in {1, 3}$.

Các kết quả thuận lợi: $(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)$ — có $n(A) = 4$.

$$P(A) = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}.$$

b) Biến cố $B$: “Kết quả là $1$ hoặc một số nguyên tố”.

Quan sát bảng tích, các giá trị xuất hiện là $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16$. Trong đó:

• Là $1$: chỉ $1$ ✓
• Là số nguyên tố: $2, 3$ ✓
• Còn lại $4, 6, 8, 9, 12, 16$ đều không phải $1$ và không phải số nguyên tố.

Đếm các ô trong bảng có giá trị $1, 2$ hoặc $3$:

• Tích $= 1$: $(1, 1)$ — $1$ ô.
• Tích $= 2$: $(1, 2), (2, 1)$ — $2$ ô.
• Tích $= 3$: $(1, 3), (3, 1)$ — $2$ ô.

Tổng: $n(B) = 1 + 2 + 2 = 5$.

$$P(B) = \dfrac{5}{16}.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du