Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
Mở đầu trang 101
Đề bài: Quả bóng đá theo tiêu chuẩn FIFA (Liên đoàn Bóng đá Quốc tế) có dạng hình cầu với đường kính khoảng $22$ cm (H.10.18). Khi bơm căng quả bóng thì thể tích quả bóng bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Câu trả lời chi tiết sẽ được trình bày ở Vận dụng 1. Tóm tắt cách tính:
- Đường kính $22$ cm → bán kính $R = 11$ cm.
- Áp dụng công thức thể tích hình cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$, ta được $V = \dfrac{5\,324\pi}{3}$ cm³ $\approx 5\,575{,}28$ cm³.
1. Mặt cầu và hình cầu
Câu hỏi trang 102
Đề bài: Tìm một vài hình ảnh của hình cầu, mặt cầu trong thực tế.
Lời giải:
Một số hình ảnh hình cầu, mặt cầu trong thực tế:
- Quả bóng đá, bóng chuyền, bóng rổ, bóng bàn, bóng tennis.
- Viên bi ve, viên đạn tròn, viên ngọc trai.
- Quả địa cầu (mô hình Trái Đất).
- Trái cây hình tròn: cam, bưởi, dưa hấu (gần đúng).
- Bong bóng xà phòng, giọt nước rơi tự do.
- Khinh khí cầu, bóng đèn led tròn…
Luyện tập 1 trang 102
Đề bài: Kể tên các bán kính còn lại của mặt cầu trong Hình 10.21.
Lời giải:
Trong Hình 10.21 (Ví dụ 1 đã nêu $OP$ là một bán kính của mặt cầu tâm $O$), các điểm còn lại nằm trên mặt cầu là $M$ và $N$.
Các bán kính còn lại của mặt cầu là: $OM, ON$.
HĐ1 trang 102
Đề bài: Sọ dừa được xem là có dạng hình cầu. Người ta cắt sọ dừa khô để làm gáo dừa (H.10.22a). Em thấy miệng gáo có dạng hình gì?
Lời giải:
Miệng gáo dừa được tạo ra bằng cách cắt sọ dừa (hình cầu) bởi một mặt phẳng. Phần chung giữa mặt phẳng và hình cầu là một hình tròn.
Vậy miệng gáo dừa có dạng hình tròn.
HĐ2 trang 102
Đề bài: Khi cắt đôi một quả cam có dạng hình cầu (H.10.22b), em thấy mặt cắt có dạng hình gì?
Lời giải:
Khi cắt đôi một quả cam (hình cầu) bằng một mặt phẳng, phần chung giữa mặt phẳng và hình cầu là một hình tròn.
Vậy mặt cắt có dạng hình tròn. (Khi cắt đôi đi qua tâm, mặt cắt là một hình tròn lớn với bán kính bằng bán kính của quả cam.)
Luyện tập 2 trang 103
Đề bài: Khi cắt một hình cầu bởi một mặt phẳng đi qua tâm của hình cầu đó được một hình tròn có diện tích $25\pi$ cm². Tính bán kính của hình cầu.
Lời giải:
Vì mặt phẳng cắt đi qua tâm hình cầu, nên mặt cắt là đường tròn lớn có bán kính bằng bán kính $R$ của hình cầu.
Diện tích đường tròn lớn:
$$\pi R^2 = 25\pi ;;\Rightarrow;; R^2 = 25 ;;\Rightarrow;; R = 5 \text{ (cm)}.$$
Vậy bán kính hình cầu là $5$ cm.
2. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu
HĐ3 trang 103
Đề bài: Người ta thấy rằng lượng sơn cần dùng để sơn kín một mặt cầu bán kính $R$ bằng với lượng sơn cần dùng để sơn kín một hình tròn bán kính $2R$ (khi độ dày của lớp sơn như nhau) (H.10.24). Từ đó, em hãy dự đoán công thức tính diện tích mặt cầu bán kính $R$.
Lời giải:
Khi độ dày lớp sơn như nhau, lượng sơn cần dùng tỉ lệ thuận với diện tích cần sơn. Do đó, diện tích mặt cầu bán kính $R$ bằng diện tích hình tròn bán kính $2R$:
$$S_{\text{mặt cầu}} = S_{\text{hình tròn bán kính } 2R} = \pi \cdot (2R)^2 = 4\pi R^2.$$
Vậy dự đoán công thức diện tích mặt cầu là $S = 4\pi R^2$.
HĐ4 trang 103-104
Đề bài: Sử dụng một hình cầu bán kính $R$ và một cốc thuỷ tinh có dạng hình trụ bán kính đáy $R$, chiều cao $2R$. Ban đầu để hình cầu nằm khít trong chiếc cốc có đầy nước. Ta nhấc hình cầu ra khỏi cốc thuỷ tinh hình trụ (H.10.25). Đo độ cao cột nước còn lại trong chiếc cốc, ta thấy độ cao này chỉ bằng $\dfrac{1}{3}$ chiều cao của chiếc cốc hình trụ. Từ đó, em hãy dự đoán công thức tính thể tích hình cầu bán kính $R$.
Lời giải:
Bước 1: Thể tích nước ban đầu = thể tích cốc.
Cốc hình trụ bán kính đáy $R$, chiều cao $2R$:
$$V_{\text{cốc}} = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3.$$
Khi hình cầu nằm khít trong cốc đầy nước thì thể tích nước (= thể tích cốc trừ thể tích hình cầu) cộng với thể tích hình cầu chính là thể tích cốc.
Nói cách khác, khi nhấc hình cầu ra, lượng nước bị “đẩy đi” chính là thể tích hình cầu.
Bước 2: Thể tích nước còn lại sau khi nhấc hình cầu.
Độ cao nước còn lại $= \dfrac{1}{3} \cdot 2R = \dfrac{2R}{3}$. Vậy:
$$V_{\text{nước còn lại}} = \pi R^2 \cdot \dfrac{2R}{3} = \dfrac{2\pi R^3}{3}.$$
Bước 3: Tính thể tích hình cầu.
Thể tích hình cầu bằng thể tích nước bị “đẩy đi”:
$$V_{\text{hình cầu}} = V_{\text{cốc}} – V_{\text{nước còn lại}} = 2\pi R^3 – \dfrac{2\pi R^3}{3} = \dfrac{6\pi R^3 – 2\pi R^3}{3} = \dfrac{4\pi R^3}{3}.$$
Vậy dự đoán công thức thể tích hình cầu là $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.
Vận dụng 1 trang 104
Đề bài: Em hãy trả lời câu hỏi của tình huống mở đầu.
Lời giải:
Quả bóng đá có đường kính $22$ cm, nên bán kính:
$$R = \dfrac{22}{2} = 11 \text{ (cm)}.$$
Áp dụng công thức thể tích hình cầu:
$$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 11^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 1\,331 = \dfrac{5\,324\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Tính giá trị xấp xỉ (lấy $\pi \approx 3{,}14$):
$$V \approx \dfrac{5\,324 \cdot 3{,}14}{3} \approx 5\,575{,}28 \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Vậy thể tích quả bóng đá khoảng $5\,575{,}28$ cm³.
Vận dụng 2 trang 105
Đề bài: Giả sử một khinh khí cầu có dạng hình cầu với đường kính bằng $11$ m. Tính diện tích mặt khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của m²).
Lời giải:
Khinh khí cầu có đường kính $11$ m, nên bán kính:
$$R = \dfrac{11}{2} = 5{,}5 \text{ (m)}.$$
Áp dụng công thức diện tích mặt cầu:
$$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot (5{,}5)^2 = 4\pi \cdot 30{,}25 = 121\pi \text{ (m}^2\text{)}.$$
Tính giá trị xấp xỉ:
$$S \approx 121 \cdot 3{,}14 \approx 379{,}94 \approx 380 \text{ (m}^2\text{)}.$$
Vậy diện tích mặt khinh khí cầu khoảng $380$ m².
Bài tập (trang 105)
Bài 10.7 trang 105
Đề bài: Thay dấu “?” bằng giá trị thích hợp và hoàn thành bảng sau vào vở:
| Bán kính (cm) | Diện tích mặt cầu (cm²) | Thể tích hình cầu (cm³) |
|---|---|---|
| 3 | ? | ? |
| ? | $100\pi$ | ? |
| ? | ? | $972\pi$ |
Lời giải:
Áp dụng các công thức: $S = 4\pi R^2$ và $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.
Hàng 1: $R = 3$ cm.
$$S = 4\pi \cdot 3^2 = 36\pi \text{ (cm}^2\text{)}; \quad V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Hàng 2: $S = 100\pi$ cm². Từ $S = 4\pi R^2$:
$$4\pi R^2 = 100\pi ;;\Rightarrow;; R^2 = 25 ;;\Rightarrow;; R = 5 \text{ (cm)}.$$
$$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 125 = \dfrac{500\pi}{3} \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Hàng 3: $V = 972\pi$ cm³. Từ $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$:
$$\dfrac{4}{3}\pi R^3 = 972\pi ;;\Rightarrow;; R^3 = 729 ;;\Rightarrow;; R = 9 \text{ (cm)}.$$
$$S = 4\pi \cdot 9^2 = 4\pi \cdot 81 = 324\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Bảng hoàn chỉnh:
| Bán kính (cm) | Diện tích mặt cầu (cm²) | Thể tích hình cầu (cm³) |
|---|---|---|
| 3 | $36\pi$ | $36\pi$ |
| 5 | $100\pi$ | $\dfrac{500\pi}{3}$ |
| 9 | $324\pi$ | $972\pi$ |
Bài 10.8 trang 105
Đề bài: Một cốc đựng ba viên kem có dạng hình cầu, mỗi viên đều có bán kính bằng $3$ cm. Tính thể tích của kem đựng trong cốc (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm³).
Lời giải:
Thể tích một viên kem:
$$V_1 = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Thể tích ba viên kem:
$$V = 3 \cdot V_1 = 3 \cdot 36\pi = 108\pi \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Tính giá trị xấp xỉ:
$$V \approx 108 \cdot 3{,}14 \approx 339{,}12 \approx 339 \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Vậy thể tích kem đựng trong cốc khoảng $339$ cm³.
Bài 10.9 trang 105
Đề bài: Một quả bóng đá có chu vi của đường tròn lớn bằng $68{,}5$ cm. Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mỗi miếng có diện tích bằng $49{,}83$ cm². Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên? (Coi phần mép khâu không đáng kể).
Lời giải:
Bước 1: Tính bán kính quả bóng.
Đường tròn lớn của quả bóng có chu vi bằng chu vi mặt cầu lớn nhất, tức là $2\pi R$:
$$2\pi R = 68{,}5 ;;\Rightarrow;; R = \dfrac{68{,}5}{2\pi} \text{ (cm)}.$$
Bước 2: Tính diện tích mặt cầu (= diện tích cần ghép da).
$$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \left(\dfrac{68{,}5}{2\pi}\right)^2 = 4\pi \cdot \dfrac{68{,}5^2}{4\pi^2} = \dfrac{68{,}5^2}{\pi} = \dfrac{4\,692{,}25}{\pi} \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Tính giá trị xấp xỉ:
$$S \approx \dfrac{4\,692{,}25}{3{,}14} \approx 1\,494{,}03 \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Bước 3: Tính số miếng da tối thiểu.
$$\text{Số miếng da} \geq \dfrac{S}{49{,}83} \approx \dfrac{1\,494{,}03}{49{,}83} \approx 29{,}98.$$
Vì số miếng da phải là số nguyên và phải đủ để phủ kín mặt cầu, ta phải lấy số nguyên gần nhất lớn hơn hoặc bằng $29{,}98$, tức là $30$.
Vậy cần ít nhất $30$ miếng da để làm quả bóng.
Bài 10.10 trang 105
Đề bài: Hằng năm cứ dịp Tết đến Xuân về, dân làng Thuý Lĩnh, phường Lĩnh Nam, quận Hoàng Mai, Hà Nội lại tổ chức lễ hội vật cầu truyền thống. Trong lễ hội có sử dụng một quả cầu được tiện bằng gỗ, đường kính khoảng $35$ cm, sơn đỏ mặt ngoài. Tính diện tích mặt ngoài của quả cầu gỗ nói trên.
Lời giải:
Quả cầu gỗ có đường kính $35$ cm, nên bán kính:
$$R = \dfrac{35}{2} = 17{,}5 \text{ (cm)}.$$
Diện tích mặt ngoài quả cầu chính là diện tích mặt cầu bán kính $R$:
$$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot (17{,}5)^2 = 4\pi \cdot 306{,}25 = 1\,225\pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Tính giá trị xấp xỉ:
$$S \approx 1\,225 \cdot 3{,}14 \approx 3\,846{,}5 \text{ (cm}^2\text{)}.$$
Vậy diện tích mặt ngoài quả cầu gỗ là $1\,225\pi$ cm² $\approx 3\,846{,}5$ cm².
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du