Mở đầu trang 10

Đề bài: Trên một mảnh đất hình chữ nhật có kích thước $28$ m $\times$ $16$ m, người ta dự định làm một bể bơi có đường đi xung quanh (H.6.9). Hỏi bề rộng của đường đi là bao nhiêu để diện tích của bể bơi là $288$ m²?

Lời giải:

Bài toán này sẽ được giải đầy đủ ở phần Vận dụng (trang 15). Cách làm: gọi $x$ (m) là bề rộng đường đi ($0 < x < 8$), lập phương trình bậc hai và giải, ta sẽ tìm được $x = 2$ m.

1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

HĐ1 trang 10

Đề bài: Gọi $x$ (m) là bề rộng của mặt đường ($0 < x < 8$). Tính chiều dài và chiều rộng của bể bơi theo $x$.

Lời giải:

Mảnh đất dài $28$ m, hai phía dài có đường đi rộng $x$ m, nên chiều dài của bể bơi:

$$28 – 2x \ (\text{m}).$$

Mảnh đất rộng $16$ m, hai phía rộng cũng có đường đi rộng $x$ m, nên chiều rộng của bể bơi:

$$16 – 2x \ (\text{m}).$$

HĐ2 trang 10

Đề bài: Dựa vào kết quả HĐ1, tính diện tích của bể bơi theo $x$.

Lời giải:

Diện tích bể bơi (hình chữ nhật) bằng chiều dài nhân chiều rộng:

$$S = (28 – 2x)(16 – 2x) \ (\text{m}^2).$$

HĐ3 trang 10

Đề bài: Sử dụng giả thiết và kết quả HĐ2, hãy viết phương trình để tìm $x$.

Lời giải:

Diện tích bể bơi là $288$ m², nên:

$$(28 – 2x)(16 – 2x) = 288.$$

Khai triển vế trái:

$$28 \cdot 16 – 28 \cdot 2x – 16 \cdot 2x + 4x^2 = 288 ;\Leftrightarrow; 4x^2 – 88x + 448 = 288.$$

Chuyển $288$ sang vế trái và chia hai vế cho $4$:

$$4x^2 – 88x + 160 = 0 ;\Leftrightarrow; x^2 – 22x + 40 = 0.$$

Đây là phương trình bậc hai cần giải để tìm $x$.

Luyện tập 1 trang 11

Đề bài: Trong các phương trình sau, những phương trình nào là phương trình bậc hai ẩn $x$? Chỉ rõ các hệ số $a$, $b$, $c$ của mỗi phương trình bậc hai đó.

a) $x^2 + 5 = 0$;

b) $2x^2 + 7x = 0$;

c) $\dfrac{x^2 – 2x + 5}{x} = 0$;

d) $0{,}5x^2 = 0$.

Lời giải:

Phương trình bậc hai một ẩn $x$ có dạng $ax^2 + bx + c = 0$ với $a \neq 0$.

• a) $x^2 + 5 = 0$ là phương trình bậc hai với $a = 1,\ b = 0,\ c = 5$.
• b) $2x^2 + 7x = 0$ là phương trình bậc hai với $a = 2,\ b = 7,\ c = 0$.
• c) $\dfrac{x^2 – 2x + 5}{x} = 0$: do có $\dfrac{1}{x}$ (sau khi tách phân thức), không phải dạng $ax^2 + bx + c = 0$ nên không là phương trình bậc hai.
• d) $0{,}5x^2 = 0$ là phương trình bậc hai với $a = 0{,}5,\ b = 0,\ c = 0$.

Tranh luận trang 11

Đề bài: Anh Pi nói rằng: “Phương trình (ẩn $x$) $mx^2 + 2x + 1 = 0$ ($m$ là một số cho trước) là một phương trình bậc hai với $a = m,\ b = 2,\ c = 1$.” Ý kiến của em thế nào?

Lời giải:

Ý kiến của anh Pi chưa chính xác. Lý do: phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ chỉ là phương trình bậc hai khi $a \neq 0$. Ở đây $a = m$ là một số cho trước, có thể bằng $0$ hoặc khác $0$:

• Nếu $m \neq 0$: phương trình là bậc hai với $a = m,\ b = 2,\ c = 1$.
• Nếu $m = 0$: phương trình trở thành $2x + 1 = 0$ — đây là phương trình bậc nhất, không phải bậc hai.

Vậy chỉ khi có thêm điều kiện $m \neq 0$ thì khẳng định của anh Pi mới đúng.

2. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn có dạng đặc biệt

Luyện tập 2 trang 12

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $2x^2 + 6x = 0$;

b) $5x^2 + 11x = 0$.

Lời giải:

Đây là các phương trình bậc hai khuyết $c$ (hệ số tự do bằng $0$). Cách giải: đặt nhân tử chung $x$ rồi đưa về dạng tích.

a) $2x^2 + 6x = 0 ;\Leftrightarrow; 2x(x + 3) = 0$.

Suy ra $2x = 0$ hoặc $x + 3 = 0$, tức $x = 0$ hoặc $x = -3$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 0,\ x_2 = -3$.

b) $5x^2 + 11x = 0 ;\Leftrightarrow; x(5x + 11) = 0$.

Suy ra $x = 0$ hoặc $5x + 11 = 0$, tức $x = 0$ hoặc $x = -\dfrac{11}{5}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 0,\ x_2 = -\dfrac{11}{5}$.

Luyện tập 3 trang 12

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $x^2 – 25 = 0$;

b) $(x + 3)^2 = 5$.

Lời giải:

a) Phương trình bậc hai khuyết $b$. Chuyển $-25$ sang vế phải:

$$x^2 = 25 ;\Leftrightarrow; x = 5 \text{ hoặc } x = -5.$$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 5,\ x_2 = -5$.

b) Vì $5 \geq 0$, áp dụng tính chất $A^2 = B$ ($B \geq 0$) thì $A = \sqrt{B}$ hoặc $A = -\sqrt{B}$:

$$x + 3 = \sqrt{5} \text{ hoặc } x + 3 = -\sqrt{5}.$$

Suy ra: $x = -3 + \sqrt{5}$ hoặc $x = -3 – \sqrt{5}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = -3 + \sqrt{5},\ x_2 = -3 – \sqrt{5}$.

Luyện tập 4 trang 13

Đề bài: Cho phương trình $x^2 + 6x = 1$. Hãy cộng vào cả hai vế của phương trình với cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó, hãy giải phương trình đã cho.

Lời giải:

Để vế trái $x^2 + 6x$ trở thành bình phương dạng $(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2$, ta so sánh: $2p = 6 \Rightarrow p = 3$, nên cần thêm $p^2 = 9$ vào.

Cộng $9$ vào hai vế:

$$x^2 + 6x + 9 = 1 + 9 ;\Leftrightarrow; (x + 3)^2 = 10.$$

Suy ra: $x + 3 = \sqrt{10}$ hoặc $x + 3 = -\sqrt{10}$, tức $x = -3 + \sqrt{10}$ hoặc $x = -3 – \sqrt{10}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = -3 + \sqrt{10},\ x_2 = -3 – \sqrt{10}$.

3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

HĐ4 trang 13

Đề bài: Thực hiện lần lượt các bước sau để giải phương trình $2x^2 – 8x + 3 = 0$:

a) Chuyển hạng tử tự do sang vế phải.

b) Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của $x^2$.

c) Thêm vào hai vế của phương trình nhận được ở câu b với cùng một số để vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó tìm nghiệm $x$.

Lời giải:

a) Chuyển hạng tử tự do $3$ sang vế phải:

$$2x^2 – 8x = -3.$$

b) Chia cả hai vế cho $2$:

$$x^2 – 4x = -\dfrac{3}{2}.$$

c) Để vế trái có dạng $(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2$, ta so sánh: $2p = -4 \Rightarrow p = -2$, nên cộng thêm $p^2 = 4$ vào hai vế:

$$x^2 – 4x + 4 = -\dfrac{3}{2} + 4 ;\Leftrightarrow; (x – 2)^2 = \dfrac{5}{2}.$$

Suy ra: $x – 2 = \sqrt{\dfrac{5}{2}}$ hoặc $x – 2 = -\sqrt{\dfrac{5}{2}}$.

Với $\sqrt{\dfrac{5}{2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$, ta được:

$$x = 2 + \dfrac{\sqrt{10}}{2} = \dfrac{4 + \sqrt{10}}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = 2 – \dfrac{\sqrt{10}}{2} = \dfrac{4 – \sqrt{10}}{2}.$$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = \dfrac{4 + \sqrt{10}}{2},\ x_2 = \dfrac{4 – \sqrt{10}}{2}$.

Luyện tập 5 trang 14

Đề bài: Áp dụng công thức nghiệm, giải các phương trình sau:

a) $2x^2 – 5x + 1 = 0$;

b) $x^2 + 8x + 16 = 0$;

c) $x^2 – x + 1 = 0$.

Lời giải:

a) $a = 2,\ b = -5,\ c = 1$. Tính biệt thức:

$$\Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 – 8 = 17 > 0.$$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{5 + \sqrt{17}}{4}, \quad x_2 = \dfrac{5 – \sqrt{17}}{4}.$$

b) $a = 1,\ b = 8,\ c = 16$. Tính biệt thức:

$$\Delta = 8^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 – 64 = 0.$$

Phương trình có nghiệm kép:

$$x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{8}{2} = -4.$$

c) $a = 1,\ b = -1,\ c = 1$. Tính biệt thức:

$$\Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 – 4 = -3 < 0.$$

Phương trình vô nghiệm.

Thử thách nhỏ trang 14

Đề bài: Có thể nói gì về nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ nếu $a$ và $c$ trái dấu?

Lời giải:

Nếu $a$ và $c$ trái dấu thì tích $ac < 0$, suy ra $-4ac > 0$. Khi đó:

$$\Delta = b^2 – 4ac.$$

Vì $b^2 \geq 0$ với mọi $b$ và $-4ac > 0$, nên $\Delta = b^2 + (-4ac) > 0$.

Vậy nếu $a$ và $c$ trái dấu thì $\Delta > 0$, do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Luyện tập 6 trang 15

Đề bài: Xác định $a$, $b’$, $c$ rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình sau:

a) $3x^2 + 8x – 3 = 0$;

b) $x^2 + 6\sqrt{2},x + 2 = 0$.

Lời giải:

a) $a = 3$; $b = 8 = 2 \cdot 4$ nên $b’ = 4$; $c = -3$. Tính biệt thức thu gọn:

$$\Delta’ = b’^2 – ac = 4^2 – 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25 > 0.$$

$\sqrt{\Delta’} = 5$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \dfrac{-b’ + \sqrt{\Delta’}}{a} = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}, \quad x_2 = \dfrac{-4 – 5}{3} = -3.$$

b) $a = 1$; $b = 6\sqrt{2} = 2 \cdot 3\sqrt{2}$ nên $b’ = 3\sqrt{2}$; $c = 2$. Tính biệt thức thu gọn:

$$\Delta’ = (3\sqrt{2})^2 – 1 \cdot 2 = 18 – 2 = 16 > 0.$$

$\sqrt{\Delta’} = 4$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \dfrac{-3\sqrt{2} + 4}{1} = 4 – 3\sqrt{2}, \quad x_2 = -3\sqrt{2} – 4.$$

Vận dụng trang 15

Đề bài: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

Theo HĐ3, ta đưa bài toán về phương trình bậc hai:

$$x^2 – 22x + 40 = 0 \quad (\text{với điều kiện } 0 < x < 8).$$

Có $a = 1$; $b = -22$ nên $b’ = -11$; $c = 40$.

$$\Delta’ = (-11)^2 – 1 \cdot 40 = 121 – 40 = 81 > 0.$$

$\sqrt{\Delta’} = 9$. Phương trình có hai nghiệm:

$$x_1 = \dfrac{11 + 9}{1} = 20, \quad x_2 = \dfrac{11 – 9}{1} = 2.$$

Đối chiếu điều kiện $0 < x < 8$:

• $x_1 = 20$: loại (vì $20 > 8$).
• $x_2 = 2$: nhận.

Kết luận: Bề rộng của đường đi quanh bể bơi là $2$ m.

Kiểm tra: chiều dài bể bơi $= 28 – 2 \cdot 2 = 24$ m, chiều rộng $= 16 – 2 \cdot 2 = 12$ m, diện tích $= 24 \cdot 12 = 288$ m² ✓.

4. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai bằng máy tính cầm tay

Luyện tập 7 trang 16

Đề bài: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các phương trình sau:

a) $5x^2 + 2\sqrt{10},x + 2 = 0$;

b) $3x^2 – 5x + 7 = 0$;

c) $4x^2 – 11x + 1 = 0$.

Lời giải:

Sử dụng MTCT, chế độ giải phương trình bậc hai (MODE → 5 → 3), nhập lần lượt các hệ số $a$, $b$, $c$.

a) Nhập $a = 5,\ b = 2\sqrt{10},\ c = 2$. MTCT cho nghiệm kép:

$$x_1 = x_2 = -\dfrac{\sqrt{10}}{5}.$$

Kiểm tra bằng biệt thức: $\Delta = (2\sqrt{10})^2 – 4 \cdot 5 \cdot 2 = 40 – 40 = 0$ ✓.

b) Nhập $a = 3,\ b = -5,\ c = 7$. MTCT báo vô nghiệm (hoặc hiện kết quả có $i$, nghĩa là không có nghiệm thực).

Kiểm tra: $\Delta = 25 – 84 = -59 < 0$ ✓.

c) Nhập $a = 4,\ b = -11,\ c = 1$. MTCT cho hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \dfrac{11 + \sqrt{105}}{8}, \quad x_2 = \dfrac{11 – \sqrt{105}}{8}.$$

Bài tập

Bài 6.8 trang 16

Đề bài: Đưa các phương trình sau về dạng $ax^2 + bx + c = 0$ và xác định các hệ số $a$, $b$, $c$:

a) $3x^2 + 2x – 1 = x^2 – x$;

b) $(2x + 1)^2 = x^2 + 1$.

Lời giải:

a) Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái:

$$3x^2 + 2x – 1 – x^2 + x = 0 ;\Leftrightarrow; 2x^2 + 3x – 1 = 0.$$

Vậy $a = 2,\ b = 3,\ c = -1$.

b) Khai triển vế trái: $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$. Phương trình trở thành:

$$4x^2 + 4x + 1 = x^2 + 1 ;\Leftrightarrow; 4x^2 + 4x + 1 – x^2 – 1 = 0 ;\Leftrightarrow; 3x^2 + 4x = 0.$$

Vậy $a = 3,\ b = 4,\ c = 0$.

Bài 6.9 trang 16

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $2x^2 + \dfrac{1}{3}x = 0$;

b) $(3x + 2)^2 = 5$.

Lời giải:

a) Đây là phương trình bậc hai khuyết $c$. Đặt nhân tử chung $x$:

$$x\left(2x + \dfrac{1}{3}\right) = 0.$$

Suy ra $x = 0$ hoặc $2x + \dfrac{1}{3} = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{1}{6}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 0,\ x_2 = -\dfrac{1}{6}$.

b) Vì $5 \geq 0$:

$$3x + 2 = \sqrt{5} \text{ hoặc } 3x + 2 = -\sqrt{5}.$$

Suy ra: $x = \dfrac{-2 + \sqrt{5}}{3}$ hoặc $x = \dfrac{-2 – \sqrt{5}}{3}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = \dfrac{-2 + \sqrt{5}}{3},\ x_2 = \dfrac{-2 – \sqrt{5}}{3}$.

Bài 6.10 trang 16

Đề bài: Không cần giải phương trình, hãy xác định các hệ số $a$, $b$, $c$, tính biệt thức $\Delta$ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) $11x^2 + 13x – 1 = 0$;

b) $9x^2 + 42x + 49 = 0$;

c) $x^2 – 2x + 3 = 0$.

Lời giải:

a) $a = 11,\ b = 13,\ c = -1$.

$$\Delta = 13^2 – 4 \cdot 11 \cdot (-1) = 169 + 44 = 213 > 0.$$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) $a = 9,\ b = 42,\ c = 49$.

$$\Delta = 42^2 – 4 \cdot 9 \cdot 49 = 1764 – 1764 = 0.$$

Phương trình có nghiệm kép.

c) $a = 1,\ b = -2,\ c = 3$.

$$\Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 – 12 = -8 < 0.$$

Phương trình vô nghiệm.

Bài 6.11 trang 17

Đề bài: Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, giải các phương trình sau:

a) $x^2 – 2\sqrt{5},x + 2 = 0$;

b) $4x^2 + 28x + 49 = 0$;

c) $3x^2 – 3\sqrt{2},x + 1 = 0$.

Lời giải:

a) $a = 1,\ b = -2\sqrt{5}$ nên $b’ = -\sqrt{5}$; $c = 2$. Dùng công thức nghiệm thu gọn:

$$\Delta’ = (-\sqrt{5})^2 – 1 \cdot 2 = 5 – 2 = 3 > 0.$$

Hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{1} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$, $x_2 = \sqrt{5} – \sqrt{3}$.

b) $a = 4,\ b = 28$ nên $b’ = 14$; $c = 49$. Tính:

$$\Delta’ = 14^2 – 4 \cdot 49 = 196 – 196 = 0.$$

Phương trình có nghiệm kép: $x_1 = x_2 = -\dfrac{b’}{a} = -\dfrac{14}{4} = -\dfrac{7}{2}$.

c) $a = 3,\ b = -3\sqrt{2},\ c = 1$. Tính:

$$\Delta = (-3\sqrt{2})^2 – 4 \cdot 3 \cdot 1 = 18 – 12 = 6 > 0.$$

Hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \dfrac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{6}, \quad x_2 = \dfrac{3\sqrt{2} – \sqrt{6}}{6}.$$

Bài 6.12 trang 17

Đề bài: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các phương trình sau:

a) $0{,}1x^2 + 2{,}5x – 0{,}2 = 0$;

b) $0{,}01x^2 – 0{,}05x + 0{,}0625 = 0$;

c) $1{,}2x^2 + 0{,}75x + 2{,}5 = 0$.

Lời giải:

Sử dụng MTCT (MODE → 5 → 3), nhập lần lượt các hệ số.

a) Nhập $a = 0{,}1,\ b = 2{,}5,\ c = -0{,}2$. MTCT cho hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 \approx 0{,}08, \quad x_2 \approx -25{,}08.$$

(Dạng chính xác: $x_{1\,2} = \dfrac{-25 \pm \sqrt{633}}{2}$ — học sinh có thể đối chiếu khi nhập máy.)

b) Nhập $a = 0{,}01,\ b = -0{,}05,\ c = 0{,}0625$. MTCT cho nghiệm kép:

$$x_1 = x_2 = 2{,}5.$$

c) Nhập $a = 1{,}2,\ b = 0{,}75,\ c = 2{,}5$. MTCT báo vô nghiệm (do $\Delta = 0{,}75^2 – 4 \cdot 1{,}2 \cdot 2{,}5 = 0{,}5625 – 12 < 0$).

Bài 6.13 trang 17

Đề bài: Độ cao $h$ (mét) so với mặt đất của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu $v_0 = 19{,}6$ m/s cho bởi công thức $h = 19{,}6t – 4{,}9t^2$, ở đó $t$ (giây) là thời gian kể từ khi phóng. Hỏi sau bao lâu kể từ khi phóng, vật sẽ rơi trở lại mặt đất?

Lời giải:

Vật rơi trở lại mặt đất khi độ cao $h = 0$:

$$19{,}6t – 4{,}9t^2 = 0 ;\Leftrightarrow; 4{,}9t(4 – t) = 0.$$

Suy ra $t = 0$ hoặc $t = 4$.

• $t = 0$: thời điểm vật bắt đầu được phóng (loại).
• $t = 4$: thời điểm vật rơi trở lại mặt đất (nhận).

Vậy sau $4$ giây kể từ khi phóng, vật rơi trở lại mặt đất.

Bài 6.14 trang 17

Đề bài: Kích thước màn hình ti vi hình chữ nhật được xác định bằng độ dài đường chéo. Ti vi truyền thống có định dạng $4:3$ (tỉ lệ giữa chiều dài và chiều rộng là $4:3$). Hỏi diện tích của màn hình ti vi truyền thống $37$ in là bao nhiêu? Diện tích của màn hình ti vi LCD $37$ in có định dạng $16:9$ là bao nhiêu? Màn hình ti vi nào có diện tích lớn hơn? (Diện tích tính bằng inch vuông.)

Lời giải:

Ý tưởng: Với màn hình tỉ lệ $p:q$ và đường chéo $d$, gọi chiều dài là $pk$ và chiều rộng là $qk$ ($k > 0$). Theo định lý Pythagore (áp dụng cho tam giác vuông tạo bởi chiều dài, chiều rộng và đường chéo):

$$(pk)^2 + (qk)^2 = d^2 ;\Leftrightarrow; (p^2 + q^2)k^2 = d^2.$$

Diện tích: $S = pk \cdot qk = pq \cdot k^2 = \dfrac{pq \cdot d^2}{p^2 + q^2}$.

TV truyền thống $4:3$, đường chéo $37$ inch:

$$S_1 = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 37^2}{4^2 + 3^2} = \dfrac{12 \cdot 1369}{25} = \dfrac{16\,428}{25} = 657{,}12 \ (\text{inch}^2).$$

TV LCD $16:9$, đường chéo $37$ inch:

$$S_2 = \dfrac{16 \cdot 9 \cdot 37^2}{16^2 + 9^2} = \dfrac{144 \cdot 1369}{337} = \dfrac{197\,136}{337} \approx 584{,}97 \ (\text{inch}^2).$$

So sánh: $S_1 \approx 657{,}12 > S_2 \approx 584{,}97$.

Kết luận: Diện tích màn hình TV truyền thống lớn hơn diện tích màn hình TV LCD (với cùng độ dài đường chéo $37$ in).

Bài 6.15 trang 17

Đề bài: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng nhỏ hơn chiều dài $6$ m và có diện tích bằng $280$ m². Tính các kích thước của mảnh vườn đó.

Lời giải:

Gọi chiều rộng của mảnh vườn là $x$ (m), điều kiện $x > 0$. Chiều dài: $x + 6$ (m).

Diện tích mảnh vườn:

$$x(x + 6) = 280 ;\Leftrightarrow; x^2 + 6x – 280 = 0.$$

Có $a = 1,\ b = 6$ nên $b’ = 3$; $c = -280$.

$$\Delta’ = 3^2 – 1 \cdot (-280) = 9 + 280 = 289 > 0.$$

$\sqrt{\Delta’} = 17$. Hai nghiệm:

$$x_1 = \dfrac{-3 + 17}{1} = 14, \quad x_2 = \dfrac{-3 – 17}{1} = -20.$$

Đối chiếu điều kiện $x > 0$:

• $x_1 = 14$: nhận.
• $x_2 = -20$: loại.

Vậy chiều rộng mảnh vườn là $14$ m, chiều dài là $14 + 6 = 20$ m.

Kiểm tra: diện tích $= 14 \cdot 20 = 280$ m² ✓.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du