Bài tập

Bài 3.28 trang 63

Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\dfrac{5 + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} – \dfrac{1}{\sqrt{5} – 2}$;

b) $\sqrt{(\sqrt{7} – 2)^2} – \sqrt{63} + \dfrac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}}$;

c) $\dfrac{\sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(\sqrt{3} – \sqrt{2})^2}}{2\sqrt{12}}$;

d) $\dfrac{\sqrt[3]{(\sqrt{2} + 1)^3} – 1}{\sqrt{50}}$.

Lời giải:

a) Tính từng phân số:

Phân số thứ nhất: tách tử số rồi rút gọn:

$$\dfrac{5 + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{5}{\sqrt{5}} + \dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} + 3 = 3 + \sqrt{5}.$$

(Vì $\dfrac{5}{\sqrt{5}} = \dfrac{(\sqrt{5})^2}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.)

Phân số thứ hai: trục căn thức ở mẫu (nhân với biểu thức liên hợp $\sqrt{5} + 2$):

$$\dfrac{1}{\sqrt{5} – 2} = \dfrac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} – 2)(\sqrt{5} + 2)} = \dfrac{\sqrt{5} + 2}{5 – 4} = \sqrt{5} + 2.$$

Trừ:

$$\dfrac{5 + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} – \dfrac{1}{\sqrt{5} – 2} = (3 + \sqrt{5}) – (\sqrt{5} + 2) = 1.$$

b) Tính từng phần:

• $\sqrt{(\sqrt{7} – 2)^2} = |\sqrt{7} – 2|$. Vì $\sqrt{7} > \sqrt{4} = 2$ nên $\sqrt{7} – 2 > 0$, do đó $|\sqrt{7} – 2| = \sqrt{7} – 2$.
• $\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$.
• $\dfrac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{56}{2}} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

Thay vào biểu thức ban đầu:

$$(\sqrt{7} – 2) – 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = (\sqrt{7} – 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7}) – 2 = 0 – 2 = -2.$$

c) Áp dụng $\sqrt{A^2} = |A|$ cho tử số:

• $\sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = |\sqrt{3} + \sqrt{2}| = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ (vì $\sqrt{3} + \sqrt{2} > 0$).
• $\sqrt{(\sqrt{3} – \sqrt{2})^2} = |\sqrt{3} – \sqrt{2}| = \sqrt{3} – \sqrt{2}$ (vì $\sqrt{3} > \sqrt{2}$).

Tử số: $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} – \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$.

Mẫu số: $2\sqrt{12} = 2 \cdot \sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Vậy:

$$\dfrac{\sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(\sqrt{3} – \sqrt{2})^2}}{2\sqrt{12}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}.$$

d) Áp dụng $\sqrt[3]{A^3} = A$ cho tử số:

$$\sqrt[3]{(\sqrt{2} + 1)^3} – 1 = (\sqrt{2} + 1) – 1 = \sqrt{2}.$$

Mẫu số: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

Vậy:

$$\dfrac{\sqrt[3]{(\sqrt{2} + 1)^3} – 1}{\sqrt{50}} = \dfrac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = \dfrac{1}{5}.$$

Bài 3.29 trang 63

Đề bài: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $3\sqrt{45} + \dfrac{5\sqrt{15}}{\sqrt{3}} – 2\sqrt{245}$;

b) $\dfrac{\sqrt{12} – \sqrt{4}}{\sqrt{3} – 1} – \dfrac{\sqrt{21} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} + 1} + \sqrt{7}$;

c) $\dfrac{3 – \sqrt{3}}{1 – \sqrt{3}} + \sqrt{3}(2\sqrt{3} – 1) + \sqrt{12}$;

d) $\dfrac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} – 1} – \dfrac{6}{\sqrt{6}}$.

Lời giải:

a) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn ở mỗi hạng tử:

• $3\sqrt{45} = 3 \cdot \sqrt{9 \cdot 5} = 3 \cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$.
• $\dfrac{5\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = 5 \cdot \sqrt{\dfrac{15}{3}} = 5\sqrt{5}$.
• $2\sqrt{245} = 2 \cdot \sqrt{49 \cdot 5} = 2 \cdot 7\sqrt{5} = 14\sqrt{5}$.

Tổng: $9\sqrt{5} + 5\sqrt{5} – 14\sqrt{5} = (9 + 5 – 14)\sqrt{5} = 0$.

b) Tính từng phân số.

Phân số thứ nhất: tử $\sqrt{12} – \sqrt{4} = 2\sqrt{3} – 2 = 2(\sqrt{3} – 1)$. Do đó:

$$\dfrac{\sqrt{12} – \sqrt{4}}{\sqrt{3} – 1} = \dfrac{2(\sqrt{3} – 1)}{\sqrt{3} – 1} = 2.$$

Phân số thứ hai: tử $\sqrt{21} + \sqrt{7} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{7} = \sqrt{7}(\sqrt{3} + 1)$. Do đó:

$$\dfrac{\sqrt{21} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{\sqrt{7}(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{7}.$$

Thay vào biểu thức ban đầu:

$$2 – \sqrt{7} + \sqrt{7} = 2.$$

c) Tính từng phần:

Phần 1: tử $3 – \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} – \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3} – 1) = -\sqrt{3}(1 – \sqrt{3})$. Do đó:

$$\dfrac{3 – \sqrt{3}}{1 – \sqrt{3}} = \dfrac{-\sqrt{3}(1 – \sqrt{3})}{1 – \sqrt{3}} = -\sqrt{3}.$$

Phần 2: phân phối:

$$\sqrt{3}(2\sqrt{3} – 1) = 2 \cdot 3 – \sqrt{3} = 6 – \sqrt{3}.$$

Phần 3: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Tổng:

$$-\sqrt{3} + (6 – \sqrt{3}) + 2\sqrt{3} = 6 + (-\sqrt{3} – \sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = 6 + 0 = 6.$$

d) Tính từng phân số.

Phân số thứ nhất: nhân tử và mẫu với $\sqrt{2}$:

$$\dfrac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{3} – 1)\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{2}.$$

Phân số thứ hai: nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp $\sqrt{3} + 1$:

$$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} – 1} = \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} + 1)} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{3 – 1} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}.$$

Phân số thứ ba: $\dfrac{6}{\sqrt{6}} = \dfrac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$.

Tổng hai phân số đầu:

$$\dfrac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} = \dfrac{(\sqrt{6} – \sqrt{2}) + (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} = \dfrac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}.$$

Trừ tiếp phần ba: $\sqrt{6} – \sqrt{6} = 0$.

Bài 3.30 trang 63

Đề bài: Giả sử lực $F$ của gió khi thổi theo phương vuông góc với bề mặt cánh buồm của một con thuyền tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ của gió, hệ số tỉ lệ là $30$. Trong đó, lực $F$ được tính bằng N (Newton) và tốc độ được tính bằng m/s.

a) Khi tốc độ của gió là $10$ m/s thì lực $F$ là bao nhiêu Newton?

b) Nếu cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là $12\,000$ N thì con thuyền đó có thể đi được trong gió với tốc độ gió tối đa là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi $v$ (m/s) là tốc độ của gió và $F$ (N) là lực gió tác động vuông góc lên cánh buồm. Theo đề:

$$F = 30 v^2.$$

a) Khi $v = 10$ m/s, thay vào công thức:

$$F = 30 \cdot 10^2 = 30 \cdot 100 = 3\,000 \ (\text{N}).$$

Vậy lực $F$ là $3\,000$ N.

b) Cánh buồm chịu được áp lực tối đa $F_{\max} = 12\,000$ N. Tốc độ gió tối đa $v_{\max}$ thoả mãn:

$$30 v_{\max}^2 = 12\,000 ;\Leftrightarrow; v_{\max}^2 = 400.$$

Vì $v_{\max} > 0$ nên:

$$v_{\max} = \sqrt{400} = 20 \ (\text{m/s}).$$

Vậy con thuyền có thể đi được trong gió với tốc độ gió tối đa là $20$ m/s.

Bài 3.31 trang 63

Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{(-x – 1)^3}$;

b) $\sqrt[3]{8x^3 – 12x^2 + 6x – 1}$.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức $\sqrt[3]{A^3} = A$ với $A = -x – 1$:

$$\sqrt[3]{(-x – 1)^3} = -x – 1.$$

b) Nhận xét biểu thức dưới căn có dạng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu $(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$ với $a = 2x$ và $b = 1$:

$$(2x)^3 – 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (2x) \cdot 1^2 – 1^3 = 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1.$$

Vậy $8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 = (2x – 1)^3$. Áp dụng $\sqrt[3]{A^3} = A$:

$$\sqrt[3]{8x^3 – 12x^2 + 6x – 1} = \sqrt[3]{(2x – 1)^3} = 2x – 1.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du