Mở đầu trang 11

Đề bài: Một mảnh vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Hãy tính số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó, biết rằng:

– Nếu tăng thêm $8$ luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi $3$ cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi $108$ cây;

– Nếu giảm đi $4$ luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm $2$ cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm $64$ cây.

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ trả lời được câu hỏi mở đầu bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, trong đó:

• $x$: số luống trong vườn,
• $y$: số cây cải bắp trồng trên mỗi luống.

Chi tiết lời giải được trình bày ở phần Vận dụng 1 (trang 12).

1. Phương pháp thế

HĐ1 trang 11

Đề bài: Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x – 3y = 1 \end{cases}$. Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:

1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn $y$ theo $x$ rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình với một ẩn $x$. Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của $x$.
2. Sử dụng giá trị tìm được của $x$ để tìm giá trị của $y$ rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Lời giải:

Bước 1. Từ phương trình thứ nhất $x + y = 3$, biểu diễn $y$ theo $x$:

$$y = 3 – x.$$

Thế $y = 3 – x$ vào phương trình thứ hai $2x – 3y = 1$:

$$2x – 3(3 – x) = 1.$$

Bỏ dấu ngoặc và thu gọn:

$$2x – 9 + 3x = 1 ;\Leftrightarrow; 5x = 10 ;\Leftrightarrow; x = 2.$$

Bước 2. Thay $x = 2$ vào biểu thức $y = 3 – x$ để tìm $y$:

$$y = 3 – 2 = 1.$$

Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(2;\ 1)$.

Luyện tập 1 trang 12

Đề bài: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\begin{cases} x – 3y = 2 \\ -2x + 5y = 1 \end{cases}$;

b) $\begin{cases} 4x + y = -1 \\ 7x + 2y = -3 \end{cases}$.

Lời giải:

a) Từ phương trình thứ nhất $x – 3y = 2$, biểu diễn $x$ theo $y$:

$$x = 3y + 2.$$

Thế vào phương trình thứ hai:

$$-2(3y + 2) + 5y = 1 ;\Leftrightarrow; -6y – 4 + 5y = 1 ;\Leftrightarrow; -y = 5 ;\Leftrightarrow; y = -5.$$

Thay $y = -5$ vào $x = 3y + 2$:

$$x = 3 \cdot (-5) + 2 = -13.$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(-13;\ -5)$.

b) Từ phương trình thứ nhất $4x + y = -1$, biểu diễn $y$ theo $x$:

$$y = -1 – 4x.$$

Thế vào phương trình thứ hai:

$$7x + 2(-1 – 4x) = -3 ;\Leftrightarrow; 7x – 2 – 8x = -3 ;\Leftrightarrow; -x = -1 ;\Leftrightarrow; x = 1.$$

Thay $x = 1$ vào $y = -1 – 4x$:

$$y = -1 – 4 \cdot 1 = -5.$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(1;\ -5)$.

Luyện tập 2 trang 12

Đề bài: Giải hệ phương trình $\begin{cases} -2x + y = 3 \\ 4x – 2y = -4 \end{cases}$ bằng phương pháp thế.

Lời giải:

Từ phương trình thứ nhất $-2x + y = 3$, ta có:

$$y = 2x + 3.$$

Thế vào phương trình thứ hai:

$$4x – 2(2x + 3) = -4 ;\Leftrightarrow; 4x – 4x – 6 = -4 ;\Leftrightarrow; -6 = -4.$$

Đây là một khẳng định sai, không có giá trị nào của $x$ thoả mãn.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Luyện tập 3 trang 12

Đề bài: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x + 3y = -1 \\ 3x + 9y = -3 \end{cases}$ bằng phương pháp thế.

Lời giải:

Từ phương trình thứ nhất $x + 3y = -1$, ta có:

$$x = -1 – 3y.$$

Thế vào phương trình thứ hai:

$$3(-1 – 3y) + 9y = -3 ;\Leftrightarrow; -3 – 9y + 9y = -3 ;\Leftrightarrow; -3 = -3.$$

Đây là một khẳng định luôn đúng với mọi giá trị của $y$. Với mỗi giá trị tuỳ ý của $y$, giá trị tương ứng của $x$ được tính bởi $x = -1 – 3y$.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm, dạng:

$$(-1 – 3y;\ y) \quad \text{với } y \in \mathbb{R} \text{ tuỳ ý.}$$

Vận dụng 1 trang 12

Đề bài: Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi $x$ là số luống trong vườn, $y$ là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống ($x, y \in \mathbb{N}^*$).

a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn $x$, $y$.

b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.

Lời giải:

a) Lập hệ phương trình.

Số cây cải bắp trồng trên cả vườn ban đầu là $xy$ (cây).

Tình huống 1: Tăng thêm $8$ luống ($x + 8$), mỗi luống ít đi $3$ cây ($y – 3$), số cây ít đi $108$:

$$(x + 8)(y – 3) = xy – 108.$$

Khai triển: $xy – 3x + 8y – 24 = xy – 108 ;\Leftrightarrow; -3x + 8y = -84 ;\Leftrightarrow; 3x – 8y = 84$.

Tình huống 2: Giảm $4$ luống ($x – 4$), mỗi luống tăng $2$ cây ($y + 2$), số cây tăng $64$:

$$(x – 4)(y + 2) = xy + 64.$$

Khai triển: $xy + 2x – 4y – 8 = xy + 64 ;\Leftrightarrow; 2x – 4y = 72 ;\Leftrightarrow; x – 2y = 36$.

Vậy ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} 3x – 8y = 84 \\ x – 2y = 36. \end{cases}$$

b) Giải hệ phương trình.

Từ phương trình thứ hai $x – 2y = 36$, ta có $x = 2y + 36$. Thế vào phương trình thứ nhất:

$$3(2y + 36) – 8y = 84 ;\Leftrightarrow; 6y + 108 – 8y = 84 ;\Leftrightarrow; -2y = -24 ;\Leftrightarrow; y = 12.$$

Thay $y = 12$ vào $x = 2y + 36$:

$$x = 2 \cdot 12 + 36 = 60.$$

Vậy mảnh vườn có $60$ luống, mỗi luống trồng $12$ cây cải bắp. Số cây cải bắp được trồng trên cả mảnh vườn là:

$$60 \times 12 = 720 \ (\text{cây}).$$

2. Phương pháp cộng đại số

HĐ2 trang 13

Đề bài: Cho hệ phương trình $\begin{cases} 2x + 2y = 3 \\ x – 2y = 6 \end{cases}$. Ta thấy hệ số của $y$ trong hai phương trình là hai số đối nhau (tổng bằng $0$). Từ đặc điểm đó, hãy giải hệ phương trình theo hướng dẫn:

1. Cộng từng vế của hai phương trình để được phương trình một ẩn $x$. Giải để tìm $x$.
2. Thay $x$ tìm được vào một trong hai phương trình để tìm $y$ rồi viết nghiệm.

Lời giải:

Bước 1. Cộng từng vế của hai phương trình:

$$(2x + 2y) + (x – 2y) = 3 + 6 ;\Leftrightarrow; 3x = 9 ;\Leftrightarrow; x = 3.$$

Bước 2. Thay $x = 3$ vào phương trình thứ hai $x – 2y = 6$:

$$3 – 2y = 6 ;\Leftrightarrow; -2y = 3 ;\Leftrightarrow; y = -\dfrac{3}{2}.$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left(3;\ -\dfrac{3}{2}\right)$.

Luyện tập 4 trang 14

Đề bài: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\begin{cases} -4x + 3y = 0 \\ 4x – 5y = -8 \end{cases}$;

b) $\begin{cases} 4x + 3y = 0 \\ x + 3y = 9 \end{cases}$.

Lời giải:

a) Hệ số của $x$ trong hai phương trình là $-4$ và $4$ — đối nhau. Cộng từng vế:

$$(-4x + 3y) + (4x – 5y) = 0 + (-8) ;\Leftrightarrow; -2y = -8 ;\Leftrightarrow; y = 4.$$

Thế $y = 4$ vào phương trình thứ nhất $-4x + 3y = 0$:

$$-4x + 3 \cdot 4 = 0 ;\Leftrightarrow; -4x = -12 ;\Leftrightarrow; x = 3.$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(3;\ 4)$.

b) Hệ số của $y$ trong hai phương trình bằng nhau ($3$ và $3$). Trừ từng vế (phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai):

$$(4x + 3y) – (x + 3y) = 0 – 9 ;\Leftrightarrow; 3x = -9 ;\Leftrightarrow; x = -3.$$

Thế $x = -3$ vào phương trình thứ hai $x + 3y = 9$:

$$-3 + 3y = 9 ;\Leftrightarrow; 3y = 12 ;\Leftrightarrow; y = 4.$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(-3;\ 4)$.

Luyện tập 5 trang 14

Đề bài: Giải hệ phương trình $\begin{cases} 4x + 3y = 6 \\ -5x + 2y = 4 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải:

Vì hệ số của hai ẩn trong hai phương trình không bằng nhau cũng không đối nhau, ta nhân hai vế của mỗi phương trình với số thích hợp để đưa hệ số của một ẩn về bằng nhau hoặc đối nhau.

Để khử ẩn $x$, ta nhân phương trình thứ nhất với $5$ và phương trình thứ hai với $4$:

$$\begin{cases} 20x + 15y = 30 \\ -20x + 8y = 16. \end{cases}$$

Cộng từng vế của hệ mới:

$$23y = 46 ;\Leftrightarrow; y = 2.$$

Thế $y = 2$ vào phương trình thứ nhất của hệ ban đầu $4x + 3y = 6$:

$$4x + 3 \cdot 2 = 6 ;\Leftrightarrow; 4x = 0 ;\Leftrightarrow; x = 0.$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(0;\ 2)$.

Luyện tập 6 trang 14

Đề bài: Bằng phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình $\begin{cases} -0{,}5x + 0{,}5y = 1 \\ -2x + 2y = 8 \end{cases}$.

Lời giải:

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $4$, ta được hệ:

$$\begin{cases} -2x + 2y = 4 \\ -2x + 2y = 8. \end{cases}$$

Trừ từng vế (phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất):

$$(-2x + 2y) – (-2x + 2y) = 8 – 4 ;\Leftrightarrow; 0 = 4.$$

Đây là khẳng định sai. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Thực hành trang 15

Đề bài: Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} 2x + 3y = -4 \\ -3x – 7y = 13 \end{cases}$;

b) $\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ -x – 1{,}5y = 1 \end{cases}$;

c) $\begin{cases} 8x – 2y – 6 = 0 \\ 4x – y – 3 = 0 \end{cases}$.

Lời giải:

Trước hết, ta đưa mỗi hệ về dạng chuẩn $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$, sau đó nhập các hệ số vào máy tính theo các bước đã hướng dẫn trong sách.

a) Hệ đã ở dạng chuẩn với $a_1 = 2,\ b_1 = 3,\ c_1 = -4;\ a_2 = -3,\ b_2 = -7,\ c_2 = 13$.

Bấm máy theo các bước, ta được: $x = \dfrac{11}{5} = 2{,}2$ và $y = -\dfrac{14}{5} = -2{,}8$.

Vậy nghiệm của hệ là $\left(\dfrac{11}{5};\ -\dfrac{14}{5}\right)$.

b) Hệ đã ở dạng chuẩn với $a_1 = 2,\ b_1 = 3,\ c_1 = 1;\ a_2 = -1,\ b_2 = -1{,}5,\ c_2 = 1$.

Khi bấm máy, máy báo “No-Solution”.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Chuyển về dạng chuẩn: $\begin{cases} 8x – 2y = 6 \\ 4x – y = 3 \end{cases}$, tức $a_1 = 8,\ b_1 = -2,\ c_1 = 6;\ a_2 = 4,\ b_2 = -1,\ c_2 = 3$.

Khi bấm máy, máy báo “Infinite Sol”.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Vận dụng 2 trang 16

Đề bài: Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau để tính số mililít dung dịch acid HCl nồng độ $20%$ và số mililít dung dịch acid HCl nồng độ $5%$ cần dùng để pha chế $2$ lít dung dịch acid HCl nồng độ $10%$.

a) Gọi $x$ là số mililít dung dịch acid HCl nồng độ $20%$, $y$ là số mililít dung dịch acid HCl nồng độ $5%$ cần lấy. Hãy biểu thị qua $x$ và $y$:

– Thể tích của dung dịch acid HCl $10%$ nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu.

– Tổng số gam acid HCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này.

b) Lập một hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn $x$, $y$ rồi giải để tính số mililít cần lấy của mỗi dung dịch.

Lời giải:

a) Biểu thị qua $x$ và $y$.

Thể tích dung dịch sau khi trộn: trộn $x$ ml và $y$ ml ta được:

$$x + y \ (\text{ml}).$$

Tổng số gam acid HCl nguyên chất trong hai dung dịch: dung dịch nồng độ $20%$ chứa $0{,}2x$ (g) acid; dung dịch nồng độ $5%$ chứa $0{,}05y$ (g) acid. Tổng:

$$0{,}2x + 0{,}05y \ (\text{g}).$$

b) Lập hệ phương trình và giải.

Đổi $2$ lít $= 2000$ ml. Dung dịch sau khi trộn có thể tích $2000$ ml và nồng độ $10%$, nên lượng acid HCl nguyên chất là $0{,}1 \cdot 2000 = 200$ (g).

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} x + y = 2000 \\ 0{,}2x + 0{,}05y = 200. \end{cases}$$

Từ phương trình thứ nhất: $y = 2000 – x$. Thế vào phương trình thứ hai:

$$0{,}2x + 0{,}05(2000 – x) = 200.$$

Khai triển và thu gọn:

$$0{,}2x + 100 – 0{,}05x = 200 ;\Leftrightarrow; 0{,}15x = 100 ;\Leftrightarrow; x = \dfrac{2000}{3} \approx 666{,}67.$$

Thay vào $y = 2000 – x$:

$$y = 2000 – \dfrac{2000}{3} = \dfrac{4000}{3} \approx 1333{,}33.$$

Vậy cần lấy khoảng $\dfrac{2000}{3} \approx 666{,}67$ ml dung dịch acid HCl nồng độ $20%$ và $\dfrac{4000}{3} \approx 1333{,}33$ ml dung dịch acid HCl nồng độ $5%$.

Bài tập (trang 16)

Bài 1.6 trang 16

Đề bài: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\begin{cases} x – y = 3 \\ 3x – 4y = 2 \end{cases}$;

b) $\begin{cases} 7x – 3y = 13 \\ 4x + y = 2 \end{cases}$;

c) $\begin{cases} 0{,}5x – 1{,}5y = 1 \\ -x + 3y = 2 \end{cases}$.

Lời giải:

a) Từ phương trình thứ nhất: $x = y + 3$. Thế vào phương trình thứ hai:

$$3(y + 3) – 4y = 2 ;\Leftrightarrow; 3y + 9 – 4y = 2 ;\Leftrightarrow; -y = -7 ;\Leftrightarrow; y = 7.$$

Suy ra $x = 7 + 3 = 10$. Vậy hệ có nghiệm $(10;\ 7)$.

b) Từ phương trình thứ hai: $y = 2 – 4x$. Thế vào phương trình thứ nhất:

$$7x – 3(2 – 4x) = 13 ;\Leftrightarrow; 7x – 6 + 12x = 13 ;\Leftrightarrow; 19x = 19 ;\Leftrightarrow; x = 1.$$

Suy ra $y = 2 – 4 \cdot 1 = -2$. Vậy hệ có nghiệm $(1;\ -2)$.

c) Từ phương trình thứ hai: $x = 3y – 2$. Thế vào phương trình thứ nhất:

$$0{,}5(3y – 2) – 1{,}5y = 1 ;\Leftrightarrow; 1{,}5y – 1 – 1{,}5y = 1 ;\Leftrightarrow; -1 = 1.$$

Đây là khẳng định sai. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 1.7 trang 16

Đề bài: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\begin{cases} 3x + 2y = 6 \\ 2x – 2y = 14 \end{cases}$;

b) $\begin{cases} 0{,}3x + 0{,}5y = 3 \\ 1{,}5x – 2y = 1{,}5 \end{cases}$;

c) $\begin{cases} -2x + 6y = 8 \\ 3x – 9y = -12 \end{cases}$.

Lời giải:

a) Hệ số của $y$ là $2$ và $-2$ — đối nhau. Cộng từng vế:

$$(3x + 2y) + (2x – 2y) = 6 + 14 ;\Leftrightarrow; 5x = 20 ;\Leftrightarrow; x = 4.$$

Thế $x = 4$ vào phương trình thứ hai $2x – 2y = 14$:

$$2 \cdot 4 – 2y = 14 ;\Leftrightarrow; -2y = 6 ;\Leftrightarrow; y = -3.$$

Vậy hệ có nghiệm $(4;\ -3)$.

b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $5$:

$$\begin{cases} 1{,}5x + 2{,}5y = 15 \\ 1{,}5x – 2y = 1{,}5. \end{cases}$$

Trừ từng vế (phương trình mới thứ nhất trừ phương trình thứ hai):

$$4{,}5y = 13{,}5 ;\Leftrightarrow; y = 3.$$

Thế $y = 3$ vào phương trình thứ nhất ban đầu $0{,}3x + 0{,}5y = 3$:

$$0{,}3x + 0{,}5 \cdot 3 = 3 ;\Leftrightarrow; 0{,}3x = 1{,}5 ;\Leftrightarrow; x = 5.$$

Vậy hệ có nghiệm $(5;\ 3)$.

c) Chia hai vế của phương trình thứ nhất cho $2$: $-x + 3y = 4$. Chia hai vế của phương trình thứ hai cho $3$: $x – 3y = -4$, tức $-x + 3y = 4$.

Như vậy hai phương trình của hệ thực ra là cùng một phương trình $-x + 3y = 4$. Mọi nghiệm của phương trình này đều là nghiệm của hệ.

Từ $-x + 3y = 4$, suy ra $x = 3y – 4$. Vậy hệ có vô số nghiệm:

$$(3y – 4;\ y) \quad \text{với } y \in \mathbb{R} \text{ tuỳ ý.}$$

Bài 1.8 trang 16

Đề bài: Cho hệ phương trình $\begin{cases} 2x – y = -3 \\ -2m^2x + 9y = 3(m + 3) \end{cases}$, trong đó $m$ là số đã cho. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:

a) $m = -2$;

b) $m = -3$;

c) $m = 3$.

Lời giải:

Với mỗi giá trị của $m$, ta thay vào phương trình thứ hai để tính các hệ số cụ thể, sau đó giải hệ.

a) $m = -2$. Khi đó:

• $-2m^2 = -2 \cdot (-2)^2 = -2 \cdot 4 = -8$.
• $3(m + 3) = 3 \cdot (-2 + 3) = 3 \cdot 1 = 3$.

Hệ trở thành:

$$\begin{cases} 2x – y = -3 \\ -8x + 9y = 3. \end{cases}$$

Từ phương trình thứ nhất: $y = 2x + 3$. Thế vào phương trình thứ hai:

$$-8x + 9(2x + 3) = 3 ;\Leftrightarrow; -8x + 18x + 27 = 3 ;\Leftrightarrow; 10x = -24 ;\Leftrightarrow; x = -\dfrac{12}{5}.$$

Suy ra $y = 2 \cdot \left(-\dfrac{12}{5}\right) + 3 = -\dfrac{24}{5} + \dfrac{15}{5} = -\dfrac{9}{5}$.

Vậy hệ có nghiệm $\left(-\dfrac{12}{5};\ -\dfrac{9}{5}\right)$.

b) $m = -3$. Khi đó:

• $-2m^2 = -2 \cdot 9 = -18$.
• $3(m + 3) = 3 \cdot 0 = 0$.

Hệ trở thành:

$$\begin{cases} 2x – y = -3 \\ -18x + 9y = 0. \end{cases}$$

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho $9$: $-2x + y = 0$, tức $y = 2x$. Thế vào phương trình thứ nhất:

$$2x – 2x = -3 ;\Leftrightarrow; 0 = -3.$$

Khẳng định sai, hệ vô nghiệm.

c) $m = 3$. Khi đó:

• $-2m^2 = -2 \cdot 9 = -18$.
• $3(m + 3) = 3 \cdot 6 = 18$.

Hệ trở thành:

$$\begin{cases} 2x – y = -3 \\ -18x + 9y = 18. \end{cases}$$

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho $9$: $-2x + y = 2$, tức $y = 2x + 2$. Thế vào phương trình thứ nhất:

$$2x – (2x + 2) = -3 ;\Leftrightarrow; -2 = -3.$$

Khẳng định sai, hệ vô nghiệm.

Bài 1.9 trang 16

Đề bài: Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) $\begin{cases} 12x – 5y + 24 = 0 \\ -5x – 3y – 10 = 0 \end{cases}$;

b) $\begin{cases} \dfrac{1}{3}x – y = \dfrac{2}{3} \\ x – 3y = 2 \end{cases}$;

c) $\begin{cases} 3x – 2y = 1 \\ -x + \dfrac{2}{3}y = 0 \end{cases}$;

d) $\begin{cases} \dfrac{4}{9}x – \dfrac{3}{5}y = 11 \\ \dfrac{2}{9}x + \dfrac{1}{5}y = -2. \end{cases}$

Lời giải:

Với mỗi hệ, ta đưa về dạng chuẩn $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ rồi nhập hệ số vào MTCT.

a) Chuyển về dạng chuẩn:

$$\begin{cases} 12x – 5y = -24 \\ -5x – 3y = 10. \end{cases}$$

Nhập $a_1 = 12,\ b_1 = -5,\ c_1 = -24;\ a_2 = -5,\ b_2 = -3,\ c_2 = 10$. MTCT cho kết quả $x = -2,\ y = 0$.

Vậy hệ có nghiệm $(-2;\ 0)$.

b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $3$, ta được phương trình $x – 3y = 2$ — trùng với phương trình thứ hai. Vậy hai phương trình của hệ là một, hệ có vô số nghiệm.

Khi nhập vào MTCT, máy báo “Infinite Sol”.

c) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với $-3$: $3x – 2y = 0$. So với phương trình thứ nhất $3x – 2y = 1$ — hai vế trái như nhau nhưng vế phải khác, hệ vô nghiệm.

Khi nhập vào MTCT, máy báo “No-Solution”.

d) Nhập $a_1 = \dfrac{4}{9},\ b_1 = -\dfrac{3}{5},\ c_1 = 11;\ a_2 = \dfrac{2}{9},\ b_2 = \dfrac{1}{5},\ c_2 = -2$ (nhập phân số trực tiếp trên máy). MTCT cho kết quả $x = \dfrac{9}{2},\ y = -15$.

Vậy hệ có nghiệm $\left(\dfrac{9}{2};\ -15\right)$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du