Thực hành (trang 114)

Nhắc lại cú pháp nhập trong GeoGebra: căn bậc hai của $a$ gõ sqrt(a); $x^2$ gõ x^2; căn bậc ba của $a$ gõ cbrt(a). Kết quả nghiệm hiển thị dưới dạng tập hợp; kí hiệu {} nghĩa là phương trình (hệ) vô nghiệm.

Câu 1. Giải các phương trình (trang 114)

a) $x^2 – 4x + 10 = 0$

Nhập vào ô lệnh cửa sổ CAS:

Solutions(x^2 - 4x + 10 = 0)

Kết quả trả về: {}.

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) $x + \dfrac{9}{x – 1} = 7$

Điều kiện xác định: $x \neq 1$. Nhập lệnh:

Solutions(x + 9/(x - 1) = 7)

Kết quả trả về: {4}.

Vì $x = 4$ thoả mãn điều kiện $x \neq 1$ nên phương trình có nghiệm $x = 4$.

c) $x^2 – 2\big(\sqrt{3} – 1\big)x – 2\sqrt{3} = 0$

Nhập lệnh:

Solutions(x^2 - 2(sqrt(3) - 1) x - 2 sqrt(3) = 0)

Kết quả trả về: $\left\{\sqrt{3} – 3;{\;}\sqrt{3} + 1\right\}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = \sqrt{3} – 3 \approx -1{,}27$ và $x = \sqrt{3} + 1 \approx 2{,}73$.

d) $\dfrac{x + 1}{x – 1} – \dfrac{x – 1}{x + 1} = \dfrac{4}{x^2 – 1}$

Điều kiện xác định: $x \neq 1$ và $x \neq -1$ (vì $x^2 – 1 = (x-1)(x+1)$). Nhập lệnh:

Solutions((x + 1)/(x - 1) - (x - 1)/(x + 1) = 4/(x^2 - 1))

Kết quả trả về: {}.

Giải thích: nếu bỏ điều kiện, phương trình dẫn tới $x = 1$, nhưng $x = 1$ làm mẫu bằng $0$ nên bị loại. Do đó phương trình vô nghiệm.

Câu 2. Giải các hệ phương trình (trang 114)

a) $\begin{cases} 3x – 2y = 4 \\ 2x + y = 5 \end{cases}$

Nhập lệnh (dùng Solve để có dạng $x = \dots,{\;}y = \dots$):

Solve({3x - 2y = 4, 2x + y = 5}, {x, y})

Kết quả trả về: ${{x = 2,{\;}y = 1}}$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = (2; 1)$.

b) $\begin{cases} x + y = 5 \\ 3x + \sqrt[3]{3}{\;}y = 6 \end{cases}$

Căn bậc ba $\sqrt[3]{3}$ gõ là cbrt(3). Nhập lệnh:

Solve({x + y = 5, 3x + cbrt(3) y = 6}, {x, y})

Kết quả (dạng gần đúng): $x \approx -0{,}78;{\;}y \approx 5{,}78$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) \approx (-0{,}78;{\;}5{,}78)$.

(GeoGebra hiển thị nghiệm ở dạng chính xác có chứa căn bậc ba, khá cồng kềnh; ở đây lấy giá trị gần đúng cho dễ hình dung.)

c) $\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ 2x – 3y = 0 \end{cases}$

Nhập lệnh:

Solve({3x + 2y = 0, 2x - 3y = 0}, {x, y})

Kết quả trả về: ${{x = 0,{\;}y = 0}}$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = (0; 0)$.

d) $\begin{cases} x\sqrt{5} – \big(1 + \sqrt{3}\big)y = 1 \\ \big(1 – \sqrt{3}\big)x + y\sqrt{5} = 1 \end{cases}$

Nhập lệnh:

Solve({sqrt(5) x - (1 + sqrt(3)) y = 1, (1 - sqrt(3)) x + sqrt(5) y = 1}, {x, y})

Kết quả trả về: $x = \dfrac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{3}, {\;} y = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5} – 1}{3}$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = \left(\dfrac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{3};{\;}\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{5} – 1}{3}\right) \approx (1{,}66;{\;}0{,}99)$.

Câu 3. Vẽ đồ thị và tìm giao điểm (trang 114)

Cho đường thẳng $(d)!: y = 2x + \sqrt{3}$ và parabol $(P)!: y = x^2$.

a) Vẽ $(d)$ và $(P)$ trên cùng một mặt phẳng toạ độ.

Khởi động GeoGebra, chọn đồng thời hai chế độ Graphic 2 và CAS. Nhập lần lượt vào từng ô lệnh của cửa sổ CAS:

h: y = x^2
g: y = 2x + sqrt(3)

Nháy chuột vào nút tròn ở đầu mỗi ô lệnh để hiện đồ thị trong cửa sổ Graphic 2. Ta được parabol $(P)$ có bề lõm quay lên trên (đỉnh tại gốc toạ độ) và đường thẳng $(d)$ cắt parabol tại hai điểm.

b) Tìm toạ độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$.

Dùng lệnh Intersect trên cửa sổ CAS:

Intersect(x^2, 2x + sqrt(3))

Kết quả trả về hai giao điểm (dạng gần đúng):

$$A \approx (-0{,}65;{\;}0{,}43) {\;} \text{và} {\;} B \approx (2{,}65;{\;}7{,}04).$$

Vậy $(d)$ và $(P)$ cắt nhau tại hai điểm $A \approx (-0{,}65;{\;}0{,}43)$ và $B \approx (2{,}65;{\;}7{,}04)$.

(Toạ độ chính xác có hoành độ $x = 1 \pm \sqrt{1 + \sqrt{3}}$; ở đây lấy gần đúng cho dễ đọc.)

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du