Bài tập

Bài 6.34 trang 29

Đề bài: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) $\sqrt{2},x^2 – (\sqrt{2} + 1)x + 1 = 0$;

b) $2x^2 + (\sqrt{3} – 1)x – 3 + \sqrt{3} = 0$.

Lời giải:

Nhắc lại hai quy tắc tính nhẩm:

• Nếu $a + b + c = 0$ thì phương trình có hai nghiệm $x_1 = 1,\ x_2 = \dfrac{c}{a}$.
• Nếu $a – b + c = 0$ thì phương trình có hai nghiệm $x_1 = -1,\ x_2 = -\dfrac{c}{a}$.

a) $a = \sqrt{2},\ b = -(\sqrt{2} + 1),\ c = 1$. Tính:

$$a + b + c = \sqrt{2} + \left(-(\sqrt{2} + 1)\right) + 1 = \sqrt{2} – \sqrt{2} – 1 + 1 = 0.$$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 1$ và

$$x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$

b) $a = 2,\ b = \sqrt{3} – 1,\ c = -3 + \sqrt{3}$. Tính:

$$a – b + c = 2 – (\sqrt{3} – 1) + (-3 + \sqrt{3}) = 2 – \sqrt{3} + 1 – 3 + \sqrt{3} = 0.$$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = -1$ và

$$x_2 = -\dfrac{c}{a} = -\dfrac{-3 + \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 – \sqrt{3}}{2}.$$

Bài 6.35 trang 29

Đề bài: Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $x^2 – 5x + 3 = 0$. Không giải phương trình, hãy tính:

a) $x_1^2 + x_2^2$;

b) $(x_1 – x_2)^2$.

Lời giải:

Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm và áp dụng định lí Viète.

Phương trình $x^2 – 5x + 3 = 0$ có $a = 1,\ b = -5,\ c = 3$.

$$\Delta = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 – 12 = 13 > 0.$$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Viète:

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = 5, \quad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 3.$$

Bước 2: Tính các biểu thức. Mẹo: biến đổi biểu thức về dạng có $x_1 + x_2$ và $x_1 x_2$.

a) Sử dụng hằng đẳng thức $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2$, suy ra:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2 x_1 x_2 = 5^2 – 2 \cdot 3 = 25 – 6 = 19.$$

b) Sử dụng hằng đẳng thức $(x_1 – x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 – 4 x_1 x_2$:

$$(x_1 – x_2)^2 = 5^2 – 4 \cdot 3 = 25 – 12 = 13.$$

Bài 6.36 trang 29

Đề bài: Tìm hai số $u$ và $v$, biết:

a) $u + v = 15,\ uv = 56$;

b) $u^2 + v^2 = 125,\ uv = 22$.

Lời giải:

a) Hai số $u$, $v$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 – 15x + 56 = 0$.

$\Delta = (-15)^2 – 4 \cdot 56 = 225 – 224 = 1,\ \sqrt{\Delta} = 1$.

$$x_1 = \dfrac{15 + 1}{2} = 8, \quad x_2 = \dfrac{15 – 1}{2} = 7.$$

Vậy hai số là $u = 8,\ v = 7$ (hoặc ngược lại).

b) Đề cho $u^2 + v^2$ và $uv$, ta cần tính $u + v$ trước (vì để tìm hai số, cần biết tổng và tích của chúng).

Áp dụng hằng đẳng thức:

$$(u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2 = 125 + 2 \cdot 22 = 169.$$

Suy ra $u + v = 13$ hoặc $u + v = -13$.

Trường hợp 1: $u + v = 13,\ uv = 22$.

Hai số là nghiệm của $x^2 – 13x + 22 = 0$.

$\Delta = 169 – 88 = 81,\ \sqrt{\Delta} = 9$.

$$x_1 = \dfrac{13 + 9}{2} = 11, \quad x_2 = \dfrac{13 – 9}{2} = 2.$$

Vậy $(u; v) = (11; 2)$ hoặc $(2; 11)$.

Trường hợp 2: $u + v = -13,\ uv = 22$.

Hai số là nghiệm của $x^2 + 13x + 22 = 0$.

$\Delta = 169 – 88 = 81,\ \sqrt{\Delta} = 9$.

$$x_1 = \dfrac{-13 + 9}{2} = -2, \quad x_2 = \dfrac{-13 – 9}{2} = -11.$$

Vậy $(u; v) = (-2; -11)$ hoặc $(-11; -2)$.

Kết luận: Có hai khả năng — $u$ và $v$ là $11$ và $2$, hoặc $u$ và $v$ là $-2$ và $-11$.

Kiểm tra: $11^2 + 2^2 = 121 + 4 = 125$ và $11 \cdot 2 = 22$ ✓; $(-2)^2 + (-11)^2 = 4 + 121 = 125$ và $(-2)(-11) = 22$ ✓.

Bài 6.37 trang 29

Đề bài: Một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật, không có nắp, có đáy là hình vuông, tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là $800$ cm². Chiều cao của hộp là $10$ cm. Tính độ dài cạnh đáy của chiếc hộp (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của cm).

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình.

Gọi $a$ (cm) là độ dài cạnh đáy hình vuông, điều kiện $a > 0$.

• Diện tích đáy: $S_{\text{đáy}} = a^2$ (cm²).
• Diện tích xung quanh (gồm $4$ mặt bên, mỗi mặt là hình chữ nhật $a \times 10$): $S_{xq} = 4 \cdot a \cdot 10 = 40a$ (cm²).

Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy bằng $800$ cm²:

$$a^2 + 40a = 800 ;\Leftrightarrow; a^2 + 40a – 800 = 0.$$

Bước 2: Giải phương trình.

Có $b = 40$ nên $b’ = 20$; $c = -800$.

$$\Delta’ = 20^2 – 1 \cdot (-800) = 400 + 800 = 1200.$$

$\sqrt{1200} = \sqrt{400 \cdot 3} = 20\sqrt{3}$.

$$a_1 = -20 + 20\sqrt{3}, \quad a_2 = -20 – 20\sqrt{3}.$$

Bước 3: Đối chiếu điều kiện $a > 0$.

• $a_1 = -20 + 20\sqrt{3} = 20(\sqrt{3} – 1) \approx 20 \cdot 0{,}732 \approx 14{,}64$ → nhận.
• $a_2 = -20 – 20\sqrt{3} < 0$ → loại.

Làm tròn đến hàng phần mười: $a \approx 14{,}6$ cm.

Kết luận: Độ dài cạnh đáy của chiếc hộp khoảng $14{,}6$ cm.

Bài 6.38 trang 29

Đề bài: Nhu cầu của khách hàng đối với một loại áo phông tại một cửa hàng được cho bởi phương trình $p = 100 – 0{,}02x$, trong đó $p$ là giá tiền của mỗi chiếc áo (nghìn đồng) và $x$ là số lượng áo phông bán được. Doanh thu $R$ (nghìn đồng) khi bán được $x$ chiếc áo phông là:

$$R = xp = x(100 – 0{,}02x).$$

Hỏi cần phải bán được bao nhiêu chiếc áo phông để doanh thu đạt $120$ triệu đồng?

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình.

Đổi $120$ triệu đồng $= 120\,000$ nghìn đồng. Để doanh thu đạt $120$ triệu đồng, ta cần:

$$x(100 – 0{,}02x) = 120\,000.$$

Khai triển:

$$100x – 0{,}02x^2 = 120\,000 ;\Leftrightarrow; 0{,}02x^2 – 100x + 120\,000 = 0.$$

Nhân cả hai vế với $50$ để hệ số đẹp hơn:

$$x^2 – 5\,000x + 6\,000\,000 = 0.$$

Bước 2: Giải phương trình.

Có $b’ = -2\,500,\ c = 6\,000\,000$.

$$\Delta’ = (-2\,500)^2 – 6\,000\,000 = 6\,250\,000 – 6\,000\,000 = 250\,000.$$

$\sqrt{\Delta’} = 500$.

$$x_1 = 2\,500 + 500 = 3\,000, \quad x_2 = 2\,500 – 500 = 2\,000.$$

Bước 3: Đối chiếu điều kiện.

Vì $x$ là số áo bán được nên $x > 0$, đồng thời giá $p = 100 – 0{,}02x > 0$ (giá phải dương) tức $x < 5\,000$. Cả hai nghiệm $2\,000$ và $3\,000$ đều thoả mãn.

Kết luận: Để doanh thu đạt $120$ triệu đồng, cần bán được $2\,000$ chiếc áo hoặc $3\,000$ chiếc áo (tương ứng với hai phương án giá khác nhau).

Kiểm tra:

• $x = 2\,000$: $p = 100 – 40 = 60$ (nghìn đồng/áo), $R = 2\,000 \cdot 60 = 120\,000$ (nghìn đồng) $= 120$ triệu ✓.
• $x = 3\,000$: $p = 100 – 60 = 40$ (nghìn đồng/áo), $R = 3\,000 \cdot 40 = 120\,000$ (nghìn đồng) $= 120$ triệu ✓.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du