1. Hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông

HĐ1 trang 74

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh huyền $a$ và các cạnh góc vuông $b, c$ (H.4.12).

a) Viết các tỉ số lượng giác sin, côsin của góc $B$ và góc $C$ theo độ dài các cạnh của tam giác $ABC$.

b) Tính mỗi cạnh góc vuông $b$ và $c$ theo cạnh huyền $a$ và các tỉ số lượng giác nói trên của góc $B$ và góc $C$.

Lời giải:

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$: cạnh huyền $BC = a$, $AC = b$ (cạnh đối diện với $B$, kề với $C$), $AB = c$ (cạnh đối diện với $C$, kề với $B$).

a) Theo định nghĩa tỉ số lượng giác:

Xét góc $B$: cạnh đối là $b$, cạnh kề là $c$, cạnh huyền là $a$.

$$\sin B = \dfrac{b}{a};\quad \cos B = \dfrac{c}{a}.$$

Xét góc $C$: cạnh đối là $c$, cạnh kề là $b$, cạnh huyền là $a$.

$$\sin C = \dfrac{c}{a};\quad \cos C = \dfrac{b}{a}.$$

b) Từ các tỉ số trên, ta suy ra:

• $\sin B = \dfrac{b}{a} \Rightarrow b = a \cdot \sin B$.
• $\cos C = \dfrac{b}{a} \Rightarrow b = a \cdot \cos C$.

Vậy $b = a \cdot \sin B = a \cdot \cos C$. Tương tự:

$$c = a \cdot \sin C = a \cdot \cos B.$$

Đây chính là Định lí 1 ở trang 74.

Luyện tập 1 trang 75

Đề bài:

1. Một chiếc thang dài $3$ m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” $65^\circ$ (H.4.14)?

2. Một khúc sông rộng khoảng $250$ m. Một con đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng $320$ m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc $\alpha$ bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến phút) (H.4.15)?

Lời giải:

Phần 1. Đặt $A$ là chân tường, $B$ là chân thang trên mặt đất, $C$ là đỉnh thang chạm tường. Khi đó:

• Tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
• Cạnh huyền $BC = 3$ m (chiều dài thang).
• Góc $B = 65^\circ$ (góc giữa thang và mặt đất).
• $AB$ là khoảng cách từ chân thang đến chân tường (cần tìm), $AB$ là cạnh kề của góc $B$.

Áp dụng Định lí 1 ($AB = BC \cdot \cos B$):

$$AB = 3 \cdot \cos 65^\circ \approx 3 \cdot 0{,}4226 \approx 1{,}27 \text{ (m)}.$$

Vậy cần đặt chân thang cách chân tường khoảng $1{,}27$ m.

Phần 2. Trong tam giác vuông tạo bởi đường đi của đò và bờ sông:

• Cạnh huyền là đoạn đò chèo $= 320$ m.
• Cạnh kề của góc $\alpha$ là chiều rộng sông $= 250$ m.

Theo định nghĩa côsin:

$$\cos \alpha = \dfrac{250}{320} = 0{,}78125.$$

Dùng MTCT: $\alpha \approx 38{,}6248^\circ$, đổi sang độ-phút ta được:

$$\alpha \approx 38^\circ 37′.$$

Vậy dòng nước đẩy con đò lệch một góc khoảng $38^\circ 37’$.

2. Hệ thức giữa hai cạnh góc vuông

HĐ2 trang 75

Đề bài: Xét tam giác $ABC$ trong Hình 4.16.

a) Viết các tỉ số lượng giác tang, côtang của góc $B$ và góc $C$ theo $b, c$.

b) Tính mỗi cạnh góc vuông $b$ và $c$ theo cạnh góc vuông kia và các tỉ số lượng giác nói trên của góc $B$ và góc $C$.

Lời giải:

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (H.4.16): $AC = b, AB = c$ (hai cạnh góc vuông).

a) Xét góc $B$: cạnh đối là $b$, cạnh kề là $c$.

$$\tan B = \dfrac{b}{c};\quad \cot B = \dfrac{c}{b}.$$

Xét góc $C$: cạnh đối là $c$, cạnh kề là $b$.

$$\tan C = \dfrac{c}{b};\quad \cot C = \dfrac{b}{c}.$$

b) Từ các tỉ số trên:

• $\tan B = \dfrac{b}{c} \Rightarrow b = c \cdot \tan B$.
• $\cot C = \dfrac{b}{c} \Rightarrow b = c \cdot \cot C$.

Vậy $b = c \cdot \tan B = c \cdot \cot C$. Tương tự:

$$c = b \cdot \tan C = b \cdot \cot B.$$

Đây chính là Định lí 2 ở trang 76.

Luyện tập 2 trang 76

Đề bài: Bóng trên mặt đất của một cây dài $25$ m. Tính chiều cao của cây (làm tròn đến dm), biết rằng tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc $40^\circ$ (H.4.18).

Lời giải:

Gọi tam giác vuông được tạo bởi cây, bóng cây và tia nắng mặt trời, với:

• Góc giữa tia nắng và mặt đất $= 40^\circ$.
• Cạnh kề của góc $40^\circ$ là bóng cây trên mặt đất $= 25$ m.
• Cạnh đối của góc $40^\circ$ là chiều cao cây $h$ (cần tìm).

Áp dụng Định lí 2:

$$h = 25 \cdot \tan 40^\circ \approx 25 \cdot 0{,}8391 \approx 20{,}98 \text{ (m)}.$$

Làm tròn đến dm: $h \approx 21{,}0$ m.

Vậy chiều cao cây khoảng $21$ m.

3. Giải tam giác vuông

Luyện tập 3 trang 77

Đề bài: Cho tam giác vuông $ABC$ có cạnh góc vuông $AB = 4$, cạnh huyền $BC = 8$. Tính cạnh $AC$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) và các góc $B, C$ (làm tròn đến độ).

Lời giải:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$.

Tính cạnh $AC$. Áp dụng định lí Pythagore:

$$AC^2 = BC^2 – AB^2 = 8^2 – 4^2 = 64 – 16 = 48.$$

Suy ra $AC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}928$.

Tính các góc $B, C$. Đối với góc $B$, cạnh kề là $AB = 4$, cạnh huyền là $BC = 8$:

$$\cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat{B} = 60^\circ.$$

Suy ra $\widehat{C} = 90^\circ – \widehat{B} = 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ$.

Câu hỏi trang 77

Đề bài:

1. Hãy nêu cách giải tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi biết hai cạnh $AB = c, AC = b$ hoặc $AB = c, BC = a$ và không sử dụng định lí Pythagore (H.4.21).
2. Hãy nêu cách giải tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi biết cạnh góc vuông $AB$ (hoặc cạnh huyền $BC$) và góc $B$.

Lời giải:

1. Khi biết hai cạnh.

Trường hợp biết hai cạnh góc vuông $AB = c, AC = b$:

• Tính một góc nhọn: dùng $\tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{b}{c}$, rồi suy ra $\widehat{B}$ bằng MTCT.
• Tính góc nhọn còn lại: $\widehat{C} = 90^\circ – \widehat{B}$.
• Tính cạnh huyền: dùng $\sin B = \dfrac{AC}{BC}$ suy ra $BC = \dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{b}{\sin B}$.

Trường hợp biết cạnh góc vuông $AB = c$ và cạnh huyền $BC = a$:

• Tính một góc nhọn: dùng $\cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{c}{a}$, rồi suy ra $\widehat{B}$.
• Tính góc nhọn còn lại: $\widehat{C} = 90^\circ – \widehat{B}$.
• Tính cạnh góc vuông còn lại: $AC = BC \cdot \sin B = a \cdot \sin B$.

2. Khi biết một cạnh và một góc nhọn.

Trường hợp biết cạnh góc vuông $AB = c$ và góc $B$:

• Tính góc nhọn còn lại: $\widehat{C} = 90^\circ – \widehat{B}$.
• Tính cạnh góc vuông còn lại: $AC = AB \cdot \tan B = c \cdot \tan B$.
• Tính cạnh huyền: $BC = \dfrac{AB}{\cos B} = \dfrac{c}{\cos B}$.

Trường hợp biết cạnh huyền $BC = a$ và góc $B$:

• Tính góc nhọn còn lại: $\widehat{C} = 90^\circ – \widehat{B}$.
• Tính các cạnh góc vuông: $AB = BC \cdot \cos B = a \cdot \cos B$; $AC = BC \cdot \sin B = a \cdot \sin B$.

Luyện tập 4 trang 77

Đề bài: Giải tam giác $ABC$ vuông tại $A$, biết $BC = 9, \widehat{C} = 53^\circ$.

Lời giải:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$.

Tính góc $B$:

$$\widehat{B} = 90^\circ – \widehat{C} = 90^\circ – 53^\circ = 37^\circ.$$

Tính các cạnh góc vuông (cạnh huyền $BC = 9$):

$$AB = BC \cdot \sin C = 9 \cdot \sin 53^\circ \approx 7{,}19;$$

$$AC = BC \cdot \cos C = 9 \cdot \cos 53^\circ \approx 5{,}42.$$

Vậy $\widehat{B} = 37^\circ$, $AB \approx 7{,}19$, $AC \approx 5{,}42$.

Vận dụng trang 77

Đề bài: Giải bài toán ở tình huống mở đầu với $\alpha = 27^\circ$ và $\beta = 19^\circ$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

(Tình huống mở đầu: đo chiều cao toà lâu đài. Giác kế cao $1{,}6$ m, đặt tại $M$ rồi tại $N$, $NM = 20$ m. Khi đặt tại $M$, nhìn đỉnh $P’$ dưới góc $\alpha$; khi đặt tại $N$, nhìn dưới góc $\beta$ (với $\beta < \alpha$).)

Lời giải:

Gọi $h = P’H’$ là chiều cao của tháp tính từ ngang đầu giác kế.

Bước 1: Lập phương trình theo $h$.

Trong tam giác $P’M’H’$ vuông tại $H’$, có góc $\widehat{P’M’H’} = \alpha = 27^\circ$:

$$\tan 27^\circ = \dfrac{P’H’}{M’H’} \Rightarrow M’H’ = \dfrac{h}{\tan 27^\circ}.$$

Trong tam giác $P’N’H’$ vuông tại $H’$, có góc $\widehat{P’N’H’} = \beta = 19^\circ$:

$$\tan 19^\circ = \dfrac{P’H’}{N’H’} \Rightarrow N’H’ = \dfrac{h}{\tan 19^\circ}.$$

Bước 2: Sử dụng $N’M’ = 20$ m. Vì $M$ ở giữa $N$ và chân tháp (do $\beta < \alpha$) nên:

$$N’H’ – M’H’ = N’M’ = 20.$$

Suy ra:

$$\dfrac{h}{\tan 19^\circ} – \dfrac{h}{\tan 27^\circ} = 20$$

$$\Rightarrow h \left(\dfrac{1}{\tan 19^\circ} – \dfrac{1}{\tan 27^\circ}\right) = 20.$$

Bước 3: Tính $h$. Dùng MTCT: $\dfrac{1}{\tan 19^\circ} \approx 2{,}9042$; $\dfrac{1}{\tan 27^\circ} \approx 1{,}9626$. Do đó:

$$h \approx \dfrac{20}{2{,}9042 – 1{,}9626} = \dfrac{20}{0{,}9416} \approx 21{,}24 \text{ (m)}.$$

Bước 4: Tính chiều cao tháp. Chiều cao tháp $= h + 1{,}6$ (cộng thêm chiều cao giác kế):

$$P’P = 21{,}24 + 1{,}6 = 22{,}84 \text{ (m)}.$$

Vậy chiều cao toà lâu đài khoảng $22{,}84$ m.

Bài tập (trang 78)

Bài 4.8 trang 78

Đề bài: Giải tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = a, AC = b, AB = c$, trong các trường hợp (góc làm tròn đến độ, độ dài cạnh làm tròn đến chữ số hàng đơn vị):

a) $a = 21, b = 18$; b) $b = 10, \widehat{C} = 30^\circ$; c) $c = 5, b = 3$.

Lời giải:

a) $a = 21, b = 18$ (biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$. Đối với góc $B$, cạnh đối là $AC = b = 18$, cạnh huyền là $BC = a = 21$:

$$\sin B = \dfrac{b}{a} = \dfrac{18}{21} \approx 0{,}8571.$$

Dùng MTCT: $\widehat{B} \approx 59^\circ$. Suy ra:

$$\widehat{C} = 90^\circ – \widehat{B} \approx 90^\circ – 59^\circ = 31^\circ.$$

Tính $c$ (cạnh đối góc $C$): $c = a \cdot \sin C = 21 \cdot \sin 31^\circ \approx 10{,}82 \approx 11$.

(Hoặc dùng Pythagore: $c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{441 – 324} = \sqrt{117} \approx 11$.)

Vậy: $\widehat{B} \approx 59^\circ$, $\widehat{C} \approx 31^\circ$, $c \approx 11$.

b) $b = 10, \widehat{C} = 30^\circ$ (biết một cạnh góc vuông và góc kề với nó).

$$\widehat{B} = 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ.$$

Tính $c$ (cạnh đối góc $C$): $c = b \cdot \tan C = 10 \cdot \tan 30^\circ = 10 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 5{,}77 \approx 6$.

Tính $a$ (cạnh huyền): $a = \dfrac{b}{\cos C} = \dfrac{10}{\cos 30^\circ} = \dfrac{20}{\sqrt{3}} \approx 11{,}55 \approx 12$.

Vậy: $\widehat{B} = 60^\circ$, $c \approx 6$, $a \approx 12$.

c) $c = 5, b = 3$ (biết hai cạnh góc vuông).

Đối với góc $C$, cạnh đối là $c = 5$, cạnh kề là $b = 3$:

$$\tan C = \dfrac{c}{b} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}6667.$$

Dùng MTCT: $\widehat{C} \approx 59^\circ$. Suy ra $\widehat{B} = 90^\circ – 59^\circ = 31^\circ$.

Tính cạnh huyền (định lí Pythagore): $a = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5{,}83 \approx 6$.

Vậy: $\widehat{B} \approx 31^\circ$, $\widehat{C} \approx 59^\circ$, $a \approx 6$.

Bài 4.9 trang 78

Đề bài: Tính góc nghiêng $\alpha$ của thùng xe chở rác trong Hình 4.22 (làm tròn đến độ). (Trên hình: cạnh xiên dài $4$ m, cạnh ngang dài $5$ m.)

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ, ta xét tam giác vuông tạo bởi thùng xe, cơ cấu nâng và khung xe:

• Cạnh kề của góc $\alpha$ có độ dài $4$ m.
• Cạnh huyền là độ dài thùng xe $5$ m.

Theo định nghĩa côsin:

$$\cos \alpha = \dfrac{4}{5} = 0{,}8.$$

Dùng MTCT: $\alpha \approx 36{,}87^\circ \approx 37^\circ$.

Vậy góc nghiêng của thùng xe khoảng $37^\circ$.

Bài 4.10 trang 78

Đề bài: Tìm góc nghiêng $\alpha$ và chiều rộng $AB$ của mái nhà kho trong Hình 4.23 (góc làm tròn đến độ, độ dài làm tròn đến dm). (Trên hình: độ chênh chiều cao là $0{,}9$ m, chiều ngang là $15$ m.)

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ, ta xét tam giác vuông có:

• Cạnh đối của $\alpha$ là $0{,}9$ m.
• Cạnh kề của $\alpha$ là $15$ m.
• Cạnh huyền là $AB$ (chiều rộng mái).

Tính $\alpha$:

$$\tan \alpha = \dfrac{0{,}9}{15} = \dfrac{3}{50} = 0{,}06.$$

Dùng MTCT: $\alpha \approx 3{,}43^\circ \approx 3^\circ$.

Tính $AB$: Từ $\sin \alpha = \dfrac{0{,}9}{AB}$, suy ra:

$$AB = \dfrac{0{,}9}{\sin \alpha} \approx \dfrac{0{,}9}{\sin 3^\circ} \approx 17{,}2 \text{ (m)}.$$

Vậy $\alpha \approx 3^\circ$ và $AB \approx 17{,}2$ m.

Bài 4.11 trang 78

Đề bài: Tính các góc của hình thoi có hai đường chéo dài $2\sqrt{3}$ và $2$.

Lời giải:

Gọi hình thoi là $ABCD$ với hai đường chéo $AC = 2\sqrt{3}$ và $BD = 2$, cắt nhau tại $O$.

Tính chất: Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường. Vậy:

• $AO = \dfrac{AC}{2} = \sqrt{3}$.
• $BO = \dfrac{BD}{2} = 1$.
• $\triangle AOB$ vuông tại $O$.

Tính góc $\widehat{DAB}$. Vì $AC$ là đường chéo qua $A$ và cũng là tia phân giác của $\widehat{DAB}$ (tính chất hình thoi), nên $\widehat{OAB} = \dfrac{1}{2} \widehat{DAB}$.

Trong $\triangle AOB$ vuông tại $O$, xét góc $\widehat{OAB}$, cạnh đối là $OB = 1$, cạnh kề là $OA = \sqrt{3}$:

$$\tan \widehat{OAB} = \dfrac{OB}{OA} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.$$

Suy ra $\widehat{OAB} = 30^\circ$, do đó:

$$\widehat{DAB} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ.$$

Tính các góc còn lại. Trong hình thoi, hai góc kề một cạnh có tổng bằng $180^\circ$, hai góc đối bằng nhau:

$$\widehat{ABC} = 180^\circ – \widehat{DAB} = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ.$$

$$\widehat{BCD} = \widehat{DAB} = 60^\circ;\quad \widehat{CDA} = \widehat{ABC} = 120^\circ.$$

Vậy hình thoi có hai góc $60^\circ$ và hai góc $120^\circ$.

Bài 4.12 trang 78

Đề bài: Cho hình thang $ABCD$ ($AD \parallel BC$) có $AD = 16$ cm, $BC = 4$ cm và $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{ACD} = 90^\circ$.

a) Kẻ đường cao $CE$ của tam giác $ACD$. Chứng minh $\widehat{ADC} = \widehat{ACE}$. Tính sin của các góc $\widehat{ADC}, \widehat{ACE}$ và suy ra $AC^2 = AE \cdot AD$. Từ đó tính $AC$.

b) Tính góc $D$ của hình thang.

Lời giải:

Phân tích: Vì $A = B = 90^\circ$ nên $AB$ vuông góc với cả $AD$ và $BC$. Lại có $CE \perp AD$ nên $CE \parallel AB$. Kết hợp với $AD \parallel BC$, tứ giác $ABCE$ có $4$ góc vuông và là hình chữ nhật. Do đó:

$$AE = BC = 4 \text{ cm}.$$

a) Chứng minh $\widehat{ADC} = \widehat{ACE}$.

Xét $\triangle ACD$ vuông tại $C$ (vì $\widehat{ACD} = 90^\circ$): $\widehat{ADC} + \widehat{DAC} = 90^\circ$ (tổng hai góc nhọn).

Xét $\triangle AEC$ vuông tại $E$ (vì $CE \perp AD$): $\widehat{ACE} + \widehat{CAE} = 90^\circ$.

Mà $\widehat{DAC} = \widehat{CAE}$ (cùng là góc $\widehat{CAD}$). Suy ra:

$$\widehat{ADC} = \widehat{ACE}.$$

Tính sin và suy ra $AC^2 = AE \cdot AD$.

Trong $\triangle ACD$ vuông tại $C$, xét góc $\widehat{ADC}$: cạnh đối là $AC$, cạnh huyền là $AD$:

$$\sin \widehat{ADC} = \dfrac{AC}{AD}.$$

Trong $\triangle AEC$ vuông tại $E$, xét góc $\widehat{ACE}$: cạnh đối là $AE$, cạnh huyền là $AC$:

$$\sin \widehat{ACE} = \dfrac{AE}{AC}.$$

Vì $\widehat{ADC} = \widehat{ACE}$ nên $\sin \widehat{ADC} = \sin \widehat{ACE}$:

$$\dfrac{AC}{AD} = \dfrac{AE}{AC} \Rightarrow AC^2 = AE \cdot AD.$$

Tính $AC$. Thay $AE = 4$ và $AD = 16$:

$$AC^2 = 4 \cdot 16 = 64 \Rightarrow AC = 8 \text{ (cm)}.$$

b) Tính góc $D$.

Từ $\sin \widehat{ADC} = \dfrac{AC}{AD} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}$, suy ra:

$$\widehat{D} = \widehat{ADC} = 30^\circ.$$

Bài 4.13 trang 78

Đề bài: Một người đứng tại điểm $A$, cách gương phẳng đặt nằm trên mặt đất tại điểm $B$ là $1{,}2$ m, nhìn thấy hình phản chiếu qua gương $B$ của ngọn cây (cây mọc thẳng đứng, có gốc ở tại điểm $C$ cách $B$ là $4{,}8$ m, $B$ nằm giữa $A$ và $C$). Biết khoảng cách từ mặt đất đến mắt người đó là $1{,}65$ m. Tính chiều cao của cây (H.4.24).

Lời giải:

Cách giải: Theo nguyên lí phản xạ ánh sáng, tia sáng từ đỉnh cây đến gương rồi phản xạ tới mắt người tạo với mặt đất các góc bằng nhau ở hai phía của gương. Từ đó, hai tam giác vuông sau đây có góc tại $B$ bằng nhau:

• Tam giác chứa mắt người: cạnh đứng $= 1{,}65$ m (độ cao mắt), cạnh ngang $= AB = 1{,}2$ m.
• Tam giác chứa đỉnh cây: cạnh đứng $= h$ (chiều cao cây), cạnh ngang $= BC = 4{,}8$ m.

Hai tam giác này đồng dạng (đều vuông, có góc tại $B$ bằng nhau). Tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau:

$$\dfrac{h}{BC} = \dfrac{1{,}65}{AB} \Rightarrow \dfrac{h}{4{,}8} = \dfrac{1{,}65}{1{,}2}.$$

Suy ra:

$$h = 4{,}8 \cdot \dfrac{1{,}65}{1{,}2} = 4{,}8 \cdot 1{,}375 = 6{,}6 \text{ (m)}.$$

Vậy chiều cao của cây là $6{,}6$ m.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du