Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
1. Căn bậc ba
HĐ trang 60
Đề bài: Kí hiệu $V$ là thể tích của hình lập phương với cạnh $x$. Hãy thay dấu “?” trong bảng sau bằng các giá trị thích hợp:
| $x$ | $V = x^3$ |
|---|---|
| $2$ | $8$ |
| ? | $27$ |
| ? | $64$ |
Lời giải:
Ta cần tìm $x$ sao cho $x^3$ bằng giá trị $V$ cho trước.
- Hàng $V = 27$: tìm $x$ thoả mãn $x^3 = 27$. Vì $3^3 = 27$ nên $x = 3$.
- Hàng $V = 64$: tìm $x$ thoả mãn $x^3 = 64$. Vì $4^3 = 64$ nên $x = 4$.
Bảng đầy đủ:
| $x$ | $V = x^3$ |
|---|---|
| $2$ | $8$ |
| $3$ | $27$ |
| $4$ | $64$ |
Luyện tập 1 trang 61
Đề bài: Tính:
a) $\sqrt[3]{125}$;
b) $\sqrt[3]{0{,}008}$;
c) $\sqrt[3]{\dfrac{-8}{27}}$.
Lời giải:
Ta tìm số có lập phương đúng bằng biểu thức dưới căn.
a) Vì $5^3 = 125$ nên $\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$.
b) Vì $(0{,}2)^3 = 0{,}008$ nên $\sqrt[3]{0{,}008} = \sqrt[3]{(0{,}2)^3} = 0{,}2$.
c) Vì $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{(-2)^3}{3^3} = \dfrac{-8}{27}$ nên:
$$\sqrt[3]{\dfrac{-8}{27}} = \sqrt[3]{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3} = -\dfrac{2}{3}.$$
Luyện tập 2 trang 61
Đề bài: Sử dụng MTCT, tính $\sqrt[3]{45}$ và làm tròn kết quả với độ chính xác $0{,}005$.
Lời giải:
Bấm máy tính, ta được $\sqrt[3]{45} \approx 3{,}5568933\ldots$
Độ chính xác $0{,}005$ nghĩa là sai số không quá $0{,}005$, tương đương làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai:
$$\sqrt[3]{45} \approx 3{,}56.$$
Thử thách nhỏ trang 61
Đề bài: Có thể xếp $125$ khối lập phương đơn vị (có cạnh bằng $1$ cm) thành một khối lập phương lớn được không nhỉ?
Lời giải:
Giả sử xếp được thành một khối lập phương lớn cạnh $x$ cm. Khi đó thể tích khối lớn là $x^3$ (cm³), và phải bằng tổng thể tích $125$ khối đơn vị, tức $125$ cm³.
Ta cần $x^3 = 125 ;\Leftrightarrow; x = \sqrt[3]{125} = 5$.
Vì $5$ là số nguyên dương nên có thể xếp được. Cụ thể, $125$ khối lập phương cạnh $1$ cm xếp được thành một khối lập phương lớn cạnh $5$ cm.
2. Căn thức bậc ba
Luyện tập 3 trang 62
Đề bài:
a) Tính giá trị của căn thức $\sqrt[3]{5x – 1}$ tại $x = 0$ và tại $x = -1{,}4$.
b) Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{x^3 – 3x^2 + 3x – 1}$.
Lời giải:
a) Thay từng giá trị của $x$ vào biểu thức $5x – 1$ rồi lấy căn bậc ba.
Tại $x = 0$:
$$\sqrt[3]{5 \cdot 0 – 1} = \sqrt[3]{-1} = -1 \quad (\text{vì } (-1)^3 = -1).$$
Tại $x = -1{,}4$:
Tính biểu thức dưới căn: $5 \cdot (-1{,}4) – 1 = -7 – 1 = -8$. Do đó:
$$\sqrt[3]{5 \cdot (-1{,}4) – 1} = \sqrt[3]{-8} = -2 \quad (\text{vì } (-2)^3 = -8).$$
b) Nhận xét biểu thức dưới căn là hằng đẳng thức lập phương của một hiệu:
$$x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = x^3 – 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 – 1^3 = (x – 1)^3.$$
Áp dụng $\sqrt[3]{A^3} = A$:
$$\sqrt[3]{x^3 – 3x^2 + 3x – 1} = \sqrt[3]{(x – 1)^3} = x – 1.$$
Bài tập (trang 62)
Bài 3.23 trang 62
Đề bài: Tính:
a) $\sqrt[3]{216}$;
b) $\sqrt[3]{-512}$;
c) $\sqrt[3]{-0{,}001}$;
d) $\sqrt[3]{1{,}331}$.
Lời giải:
Với mỗi câu, ta tìm số có lập phương bằng giá trị dưới căn.
a) Vì $6^3 = 216$ nên $\sqrt[3]{216} = 6$.
b) Vì $(-8)^3 = -512$ nên $\sqrt[3]{-512} = -8$.
c) Vì $(-0{,}1)^3 = -0{,}001$ nên $\sqrt[3]{-0{,}001} = -0{,}1$.
d) Vì $(1{,}1)^3 = 1{,}331$ nên $\sqrt[3]{1{,}331} = 1{,}1$.
Bài 3.24 trang 62
Đề bài: Sử dụng MTCT, tính các căn bậc ba sau đây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):
a) $\sqrt[3]{2{,}1}$;
b) $\sqrt[3]{-18}$;
c) $\sqrt[3]{-28}$;
d) $\sqrt[3]{0{,}35}$.
Lời giải:
Bấm máy tính cho từng phép tính rồi làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.
a) $\sqrt[3]{2{,}1} \approx 1{,}2805\ldots \approx 1{,}28$.
b) $\sqrt[3]{-18} \approx -2{,}6207\ldots \approx -2{,}62$.
c) $\sqrt[3]{-28} \approx -3{,}0365\ldots \approx -3{,}04$.
d) $\sqrt[3]{0{,}35} \approx 0{,}7047\ldots \approx 0{,}70$.
Bài 3.25 trang 62
Đề bài: Một người thợ muốn làm một thùng tôn hình lập phương có thể tích bằng $730$ dm³. Em hãy ước lượng chiều dài cạnh thùng khoảng bao nhiêu decimét.
Lời giải:
Gọi $x$ (dm) là chiều dài cạnh của thùng tôn hình lập phương ($x > 0$). Thể tích thùng:
$$V = x^3 = 730 \ (\text{dm}^3).$$
Suy ra:
$$x = \sqrt[3]{730}.$$
Bấm MTCT: $\sqrt[3]{730} \approx 9{,}0041\ldots$
Vậy chiều dài cạnh thùng khoảng $9$ dm.
Bài 3.26 trang 62
Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $\sqrt[3]{(1 – \sqrt{2})^3}$;
b) $\sqrt[3]{(2\sqrt{2} + 1)^3}$;
c) $\left(\sqrt[3]{\sqrt{2} + 1}\right)^3$.
Lời giải:
Áp dụng hai công thức cơ bản:
- $\sqrt[3]{A^3} = A$ với mọi biểu thức $A$.
- $\left(\sqrt[3]{A}\right)^3 = A$ với mọi biểu thức $A$.
a) Áp dụng $\sqrt[3]{A^3} = A$ với $A = 1 – \sqrt{2}$:
$$\sqrt[3]{(1 – \sqrt{2})^3} = 1 – \sqrt{2}.$$
b) Áp dụng $\sqrt[3]{A^3} = A$ với $A = 2\sqrt{2} + 1$:
$$\sqrt[3]{(2\sqrt{2} + 1)^3} = 2\sqrt{2} + 1.$$
c) Áp dụng $\left(\sqrt[3]{A}\right)^3 = A$ với $A = \sqrt{2} + 1$:
$$\left(\sqrt[3]{\sqrt{2} + 1}\right)^3 = \sqrt{2} + 1.$$
Bài 3.27 trang 62
Đề bài: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức $\sqrt[3]{27x^3 – 27x^2 + 9x – 1}$ tại $x = 7$.
Lời giải:
Bước 1: Rút gọn biểu thức.
Nhận xét biểu thức dưới căn có dạng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu $(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$ với $a = 3x$ và $b = 1$:
$$(3x)^3 – 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (3x) \cdot 1^2 – 1^3 = 27x^3 – 27x^2 + 9x – 1.$$
Vậy $27x^3 – 27x^2 + 9x – 1 = (3x – 1)^3$. Áp dụng $\sqrt[3]{A^3} = A$:
$$\sqrt[3]{27x^3 – 27x^2 + 9x – 1} = \sqrt[3]{(3x – 1)^3} = 3x – 1.$$
Bước 2: Tính giá trị tại $x = 7$.
Thay $x = 7$ vào biểu thức rút gọn:
$$3 \cdot 7 – 1 = 21 – 1 = 20.$$
Vậy giá trị của biểu thức tại $x = 7$ là $20$.
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du