Mở đầu trang 72

Đề bài: Cho trước một tam giác $ABC$. Bằng thước kẻ và compa, em có thể vẽ được một đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác và đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác hay không?

Lời giải:

Câu trả lời là: Có.

• Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó; tâm là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.
• Đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác đó; tâm là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác.

Cách vẽ chi tiết bằng thước kẻ và compa sẽ được hướng dẫn trong các phần tiếp theo của bài.

1. Đường tròn ngoại tiếp một tam giác

HĐ1 trang 72

Đề bài: Cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ và $O$ là một điểm trên $d$ (H.9.12). Hỏi đường tròn tâm $O$ đi qua $A$ thì có đi qua $B$ không?

Lời giải:

Vì $O$ nằm trên đường trung trực $d$ của đoạn $AB$, theo tính chất đường trung trực ta có:

$$OA = OB.$$

Đường tròn tâm $O$ đi qua $A$ có bán kính bằng $OA$. Mà $OB = OA$ chính bằng bán kính, nên đường tròn đó cũng đi qua $B$.

HĐ2 trang 72

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có ba đường trung trực đồng quy tại $O$ (H.9.13). Hãy giải thích tại sao đường tròn $(O;\ OA)$ đi qua ba đỉnh của tam giác $ABC$.

Lời giải:

Vì $O$ là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác $ABC$, nên:

• $O$ nằm trên đường trung trực của $AB$ → $OA = OB$.
• $O$ nằm trên đường trung trực của $AC$ → $OA = OC$.

Do đó $OA = OB = OC$. Như vậy, ba điểm $A, B, C$ đều cách $O$ một khoảng bằng $OA$, tức là cùng nằm trên đường tròn $(O;\ OA)$.

Vậy đường tròn $(O;\ OA)$ đi qua cả ba đỉnh $A, B, C$ của tam giác. $\blacksquare$

Câu hỏi trang 73

Đề bài: Hãy kể tên bốn tam giác nội tiếp đường tròn $(O)$ trong Hình 9.14.

Lời giải:

Quan sát Hình 9.14, các điểm $B, C, M, N$ đều nằm trên đường tròn $(O)$ (riêng điểm $A$ nằm ngoài đường tròn). Cứ chọn ba trong bốn điểm $B, C, M, N$, ta được một tam giác có ba đỉnh nằm trên $(O)$, tức là một tam giác nội tiếp $(O)$.

Bốn tam giác nội tiếp đường tròn $(O)$ là:

$$\triangle BCM, ;; \triangle BCN, ;; \triangle MNB, ;; \triangle MNC.$$

HĐ3 trang 73

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại đỉnh $A$. Gọi $N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AC$ (H.9.15).

a) Vẽ hai đường trung trực $a, b$ của các cạnh $AB, AC$, cắt nhau tại $M$.

b) Hãy giải thích vì sao $MN, MP$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$.

c) Hãy giải thích vì sao $M$ là trung điểm của $BC$, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ có tâm $M$ và bán kính $MB = MC = \dfrac{BC}{2}$.

Lời giải:

a) Học sinh vẽ theo Hình 9.15: dựng $a$ là trung trực của $AB$ (qua $N$, vuông góc $AB$); dựng $b$ là trung trực của $AC$ (qua $P$, vuông góc $AC$); $a$ và $b$ cắt nhau tại $M$.

b) Vì $a$ là đường trung trực của $AB$ nên $a \perp AB$. Mặt khác tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AC \perp AB$. Vậy $a$ và $AC$ cùng vuông góc với $AB$, suy ra:

$$a \parallel AC, ;;\text{tức là};; MN \parallel AC.$$

Tương tự, $b \parallel AB$, tức là $MP \parallel AB$.

Xét tam giác $ABC$:

• $N$ là trung điểm $AB$ và $MN \parallel AC$ → $MN$ là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh $AC$ (theo tính chất đường trung bình, đã học ở lớp 8).
• Tương tự, $MP$ là đường trung bình ứng với cạnh $AB$.

c) Vì $MN$ là đường trung bình ứng với cạnh $AC$ nên $MN$ đi qua trung điểm của $BC$. Mà $MN$ đi qua $M$, do đó $M$ chính là trung điểm của $BC$.

Vì $M$ nằm trên cả hai đường trung trực $a, b$ nên:

$$MA = MB ;;\text{và};; MA = MC ;;\Rightarrow;; MA = MB = MC.$$

Vậy $M$ cách đều ba đỉnh $A, B, C$, tức là $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Hơn nữa, $M$ là trung điểm $BC$ nên:

$$MB = MC = \dfrac{BC}{2}.$$

Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm $M$ và bán kính bằng $\dfrac{BC}{2}$. $\blacksquare$

Luyện tập 1 trang 73

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $AC = 3$ cm, $AB = 4$ cm và $BC = 5$ cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Lời giải:

Bước 1: Nhận dạng tam giác.

Kiểm tra ba cạnh:

$$AC^2 + AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25;$$

$$BC^2 = 5^2 = 25.$$

Vì $AC^2 + AB^2 = BC^2$, theo định lí Pythagore đảo, tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Bước 2: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Theo kết quả vừa học, đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền. Cạnh huyền là $BC = 5$ cm, nên:

$$R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5 \text{ (cm)}.$$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $R = 2{,}5$ cm.

HĐ4 trang 73 – 74

Đề bài:

a) Vẽ tam giác đều $ABC$. Hãy trình bày cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và vẽ đường tròn đó.

b) Giải thích vì sao tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ trùng với trọng tâm của tam giác đó (H.9.17).

c) Giải thích vì sao $\widehat{OBM} = 30^\circ$ và $OB = \dfrac{\sqrt{3}}{3}BC$ (với $M$ là trung điểm của $BC$) (H.9.17).

Lời giải:

a) Vẽ tam giác đều $ABC$. Để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp, ta dựng hai đường trung trực của hai cạnh bất kỳ (chẳng hạn $BC$ và $AC$); giao điểm của chúng là tâm $O$. Vẽ đường tròn tâm $O$, bán kính $OA$ — đó là đường tròn ngoại tiếp.

b) Trong tam giác đều, ba đường trung tuyến, trung trực, phân giác và đường cao xuất phát từ mỗi đỉnh đều trùng nhau (tính chất tam giác đều đã học ở lớp 7). Vì vậy giao điểm của ba đường trung trực (tức tâm đường tròn ngoại tiếp) cũng là giao điểm của ba đường trung tuyến (tức trọng tâm).

Do đó $O$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$. $\blacksquare$

c) Tính $\widehat{OBM}$:

Vì $O$ vừa là tâm ngoại tiếp vừa là trọng tâm, $O$ nằm trên trung tuyến $BN$ (với $N$ là trung điểm $AC$). Trung tuyến $BN$ trong tam giác đều cũng là đường phân giác của góc $\widehat{ABC}$. Vì $\widehat{ABC} = 60^\circ$ nên:

$$\widehat{ABO} = \dfrac{1}{2}\widehat{ABC} = 30^\circ.$$

Trong tam giác đều, đường cao $AM$ ($M$ là trung điểm $BC$) đi qua $O$. Vì $AM \perp BC$ nên góc $\widehat{ABM} = 60^\circ$ (chính là góc của tam giác đều tại $B$). Mà $O$ nằm trong góc $\widehat{ABM}$, nên:

$$\widehat{OBM} = \widehat{ABM} – \widehat{ABO} = 60^\circ – 30^\circ = 30^\circ. ;;\blacksquare$$

Tính $OB$:

Xét tam giác $OBM$:

• $OM \perp BM$ tại $M$ (vì $AM \perp BC$).
• $BM = \dfrac{BC}{2}$ ($M$ là trung điểm $BC$).
• $\widehat{OBM} = 30^\circ$.

Tam giác $OBM$ vuông tại $M$, áp dụng tỉ số lượng giác:

$$\cos \widehat{OBM} = \dfrac{BM}{OB} ;;\Rightarrow;; OB = \dfrac{BM}{\cos 30^\circ} = \dfrac{\dfrac{BC}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{BC}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}BC. ;;\blacksquare$$

Luyện tập 2 trang 74

Đề bài: Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có bán kính bằng $4$ cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác.

Lời giải:

Áp dụng công thức vừa học: với tam giác đều cạnh $a$, bán kính đường tròn ngoại tiếp là:

$$R = \dfrac{\sqrt{3}}{3}a.$$

Suy ra:

$$a = \dfrac{3R}{\sqrt{3}} = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ (cm)}.$$

Vậy độ dài mỗi cạnh của tam giác đều bằng $4\sqrt{3}$ cm.

2. Đường tròn nội tiếp một tam giác

HĐ5 trang 74

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có ba đường phân giác đồng quy tại điểm $I$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $I$ xuống các cạnh $BC, CA$ và $AB$ (H.9.19).

a) Hãy giải thích vì sao các điểm $D, E, F$ cùng nằm trên một đường tròn có tâm $I$.

b) Gọi $(I)$ là đường tròn trên. Hãy giải thích vì sao $(I)$ tiếp xúc với các cạnh của tam giác $ABC$.

Lời giải:

a) Vì $I$ là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác $ABC$, nên $I$ nằm trên cả ba phân giác. Theo tính chất đường phân giác (mọi điểm trên phân giác của một góc đều cách đều hai cạnh của góc đó):

• $I$ nằm trên phân giác $\widehat{BAC}$ → $IE = IF$ (khoảng cách từ $I$ đến hai cạnh $CA, AB$).
• $I$ nằm trên phân giác $\widehat{ABC}$ → $IF = ID$.
• $I$ nằm trên phân giác $\widehat{BCA}$ → $ID = IE$.

Do đó:

$$ID = IE = IF.$$

Suy ra $D, E, F$ cùng cách $I$ một khoảng bằng $ID$, nên cùng nằm trên đường tròn tâm $I$ bán kính $ID$. $\blacksquare$

b) Theo cách dựng, $ID \perp BC$ tại $D$. Mà $D$ nằm trên đường tròn $(I;\ ID)$ và $ID$ chính là bán kính tại $D$. Bán kính $ID$ vuông góc với đường thẳng $BC$ tại tiếp điểm $D$, nên $BC$ là tiếp tuyến của $(I)$ tại $D$.

Tương tự, $CA$ là tiếp tuyến của $(I)$ tại $E$ và $AB$ là tiếp tuyến của $(I)$ tại $F$.

Vậy đường tròn $(I)$ tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác $ABC$. $\blacksquare$

Câu hỏi trang 75

Đề bài: Mỗi tam giác có bao nhiêu đường tròn nội tiếp? Có bao nhiêu tam giác cùng ngoại tiếp một đường tròn?

Lời giải:

• Mỗi tam giác có duy nhất một đường tròn nội tiếp, vì ba đường phân giác của một tam giác luôn đồng quy tại một điểm duy nhất — đó chính là tâm đường tròn nội tiếp.
• Có vô số tam giác cùng ngoại tiếp một đường tròn cho trước. Lý do: với một đường tròn $(I)$ cho trước, ta có thể vẽ vô số bộ ba tiếp tuyến của $(I)$ tạo thành một tam giác — mỗi bộ ba tiếp tuyến như vậy cho ta một tam giác ngoại tiếp đường tròn đó.

HĐ6 trang 75

Đề bài: Cho tam giác đều $ABC$ có trọng tâm $G$.

a) Giải thích vì sao $G$ cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

b) Từ đó, giải thích vì sao bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{6}BC$.

Lời giải:

a) Trong tam giác đều, ba đường trung tuyến trùng với ba đường phân giác. Vậy trọng tâm $G$ (giao của ba trung tuyến) cũng là giao điểm của ba phân giác, tức là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. $\blacksquare$

b) Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp.

Theo HĐ4: $R = GA = \dfrac{\sqrt{3}}{3}BC$ (vì $G$ trùng tâm ngoại tiếp).

Bán kính đường tròn nội tiếp bằng khoảng cách từ tâm đến mỗi cạnh, tức là $r = GM$ (vì $GM \perp BC$).

Theo tính chất trọng tâm tam giác, $G$ chia trung tuyến $AM$ theo tỉ lệ:

$$\dfrac{AG}{AM} = \dfrac{2}{3}, \quad \dfrac{GM}{AM} = \dfrac{1}{3}.$$

Do đó:

$$\dfrac{GM}{GA} = \dfrac{1/3}{2/3} = \dfrac{1}{2} ;;\Rightarrow;; r = \dfrac{1}{2}R.$$

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Suy ra:

$$r = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}BC = \dfrac{\sqrt{3}}{6}BC. ;;\blacksquare$$

Luyện tập 3 trang 76

Đề bài: Cho tam giác đều $ABC$ (H.9.22).

a) Vẽ đường tròn $(I;\ r)$ nội tiếp tam giác $ABC$.

b) Biết rằng $BC = 4$ cm, hãy tính bán kính $r$.

Lời giải:

a) Cách vẽ:

• Xác định trọng tâm $I$ của tam giác $ABC$ (giao điểm hai trung tuyến) — đây chính là tâm đường tròn nội tiếp.
• Kẻ $IM \perp BC$ tại $M$ ($M$ là trung điểm $BC$).
• Vẽ đường tròn tâm $I$ bán kính $IM$. Đó chính là đường tròn nội tiếp $(I;\ r)$.

b) Áp dụng công thức ở HĐ6 với $BC = 4$ cm:

$$r = \dfrac{\sqrt{3}}{6}BC = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \cdot 4 = \dfrac{4\sqrt{3}}{6} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \text{ (cm)}.$$

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp $r = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ cm.

Bài tập (trang 76)

Bài 9.7 trang 76

Đề bài: Cho đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính bán kính của $(O)$, biết rằng $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và có độ dài cạnh bên bằng $2\sqrt{2}$ cm.

Lời giải:

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với hai cạnh bên $AB = AC = 2\sqrt{2}$ cm.

Áp dụng định lí Pythagore tính cạnh huyền $BC$:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 8 + 8 = 16;$$

$$BC = 4 \text{ (cm)}.$$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo tính chất đã học: đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền. Do đó:

$$R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \text{ (cm)}.$$

Vậy bán kính đường tròn $(O)$ là $2$ cm.

Bài 9.8 trang 76

Đề bài: Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Biết rằng đường tròn $(O)$ có bán kính bằng $3$ cm. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh tam giác đều.

Đặt $a = BC$ là cạnh của tam giác đều. Theo công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều:

$$R = \dfrac{\sqrt{3}}{3}a ;;\Rightarrow;; a = R\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \text{ (cm)}.$$

Bước 2: Tính diện tích tam giác đều cạnh $a$.

Công thức diện tích tam giác đều cạnh $a$:

$$S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot (3\sqrt{3})^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 27 = \dfrac{27\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Vậy diện tích tam giác $ABC$ là $\dfrac{27\sqrt{3}}{4}$ cm².

Bài 9.9 trang 76

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $\widehat{BAH} = \widehat{OAC}$.

Lời giải:

Gọi $D$ là chân đường cao kẻ từ $A$ xuống $BC$. Khi đó $AH$ trùng với $AD$ và $AD \perp BC$ tại $D$.

Bước 1: Tính $\widehat{BAH}$ theo $\widehat{ABC}$.

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $D$:

$$\widehat{BAD} + \widehat{ABD} = 90^\circ ;;\Rightarrow;; \widehat{BAH} = \widehat{BAD} = 90^\circ – \widehat{ABC}. ;;(1)$$

Bước 2: Tính $\widehat{OAC}$ theo $\widehat{ABC}$.

Vì $OA = OC$ (cùng là bán kính của $(O)$), tam giác $OAC$ cân tại $O$, nên:

$$\widehat{OAC} = \widehat{OCA}.$$

Tổng ba góc trong tam giác $OAC$:

$$\widehat{OAC} + \widehat{OCA} + \widehat{AOC} = 180^\circ ;;\Rightarrow;; 2\widehat{OAC} = 180^\circ – \widehat{AOC}.$$

Mà $\widehat{AOC}$ là góc ở tâm chắn cung $AC$ (cung không chứa $B$), $\widehat{ABC}$ là góc nội tiếp chắn cùng cung đó (đã học ở Bài 27), nên:

$$\widehat{AOC} = 2\widehat{ABC}.$$

Suy ra:

$$2\widehat{OAC} = 180^\circ – 2\widehat{ABC} ;;\Rightarrow;; \widehat{OAC} = 90^\circ – \widehat{ABC}. ;;(2)$$

Bước 3: Kết luận.

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có $\widehat{BAH} = \widehat{OAC} = 90^\circ – \widehat{ABC}$. $\blacksquare$

Bài 9.10 trang 76

Đề bài: Cho đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ với các tiếp điểm trên các cạnh $AB, AC$ lần lượt là $E, F$. Chứng minh rằng $\widehat{EIF} + \widehat{BAC} = 180^\circ$.

Lời giải:

Vì $E, F$ là tiếp điểm của $(I)$ trên các cạnh $AB, AC$ nên các bán kính tại tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến:

$$IE \perp AB ;;\Rightarrow;; \widehat{AEI} = 90^\circ;$$

$$IF \perp AC ;;\Rightarrow;; \widehat{AFI} = 90^\circ.$$

Xét tứ giác $AEIF$ có bốn góc tại đỉnh $A, E, I, F$. Tổng các góc của một tứ giác bằng $360^\circ$ (đã học ở lớp 8):

$$\widehat{BAC} + \widehat{AEI} + \widehat{EIF} + \widehat{AFI} = 360^\circ.$$

Thay $\widehat{AEI} = \widehat{AFI} = 90^\circ$:

$$\widehat{BAC} + 90^\circ + \widehat{EIF} + 90^\circ = 360^\circ;$$

$$\widehat{BAC} + \widehat{EIF} = 360^\circ – 180^\circ = 180^\circ. ;;\blacksquare$$

Bài 9.11 trang 76

Đề bài: Cho tam giác đều $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ biết rằng bán kính của $(I)$ bằng $1$ cm.

Lời giải:

Gọi $a$ là cạnh của tam giác đều $ABC$. Áp dụng công thức bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều ở HĐ6:

$$r = \dfrac{\sqrt{3}}{6}a ;;\Rightarrow;; a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \cdot 1}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ (cm)}.$$

Vậy mỗi cạnh của tam giác $ABC$ bằng $2\sqrt{3}$ cm.

Bài 9.12 trang 76

Đề bài: Người ta muốn làm một khung gỗ hình tam giác đều để đặt vừa khít một chiếc đồng hồ hình tròn có đường kính $30$ cm (H.9.23). Hỏi độ dài các cạnh (phía bên trong) của khung gỗ phải bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Khung gỗ tam giác đều đặt vừa khít đồng hồ hình tròn, nghĩa là đường tròn (đồng hồ) nội tiếp tam giác đều (khung gỗ).

Bước 1: Tính bán kính của đường tròn.

Đường tròn có đường kính $30$ cm nên:

$$r = \dfrac{30}{2} = 15 \text{ (cm)}.$$

Bước 2: Tính cạnh tam giác đều.

Áp dụng công thức $r = \dfrac{\sqrt{3}}{6}a$:

$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \cdot 15}{\sqrt{3}} = \dfrac{90}{\sqrt{3}} = \dfrac{90\sqrt{3}}{3} = 30\sqrt{3} \text{ (cm)}.$$

Vậy độ dài mỗi cạnh phía bên trong của khung gỗ phải bằng $30\sqrt{3}$ cm $\approx 51{,}96$ cm.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du