Bài tập

Bài 1.10 trang 20

Đề bài: Cho hai phương trình:

$$-2x + 5y = 7, \qquad (1)$$ $$4x – 3y = 7. \qquad (2)$$

Trong các cặp số $(2;\ 0)$, $(1;\ -1)$, $(-1;\ 1)$, $(-1;\ 6)$, $(4;\ 3)$ và $(-2;\ -5)$, cặp số nào là:

a) Nghiệm của phương trình $(1)$?

b) Nghiệm của phương trình $(2)$?

c) Nghiệm của hệ gồm phương trình $(1)$ và phương trình $(2)$?

Lời giải:

Cách kiểm tra: Với mỗi cặp số $(x_0;\ y_0)$, ta thay vào phương trình; nếu được khẳng định đúng thì đó là nghiệm.

a) Phương trình $(1)$: $-2x + 5y = 7$. Thay lần lượt từng cặp số:

• $(2;\ 0)$: $-2 \cdot 2 + 5 \cdot 0 = -4 \neq 7$ → không.
• $(1;\ -1)$: $-2 \cdot 1 + 5 \cdot (-1) = -7 \neq 7$ → không.
• $(-1;\ 1)$: $-2 \cdot (-1) + 5 \cdot 1 = 2 + 5 = 7$ → đúng.
• $(-1;\ 6)$: $-2 \cdot (-1) + 5 \cdot 6 = 2 + 30 = 32 \neq 7$ → không.
• $(4;\ 3)$: $-2 \cdot 4 + 5 \cdot 3 = -8 + 15 = 7$ → đúng.
• $(-2;\ -5)$: $-2 \cdot (-2) + 5 \cdot (-5) = 4 – 25 = -21 \neq 7$ → không.

Vậy nghiệm của phương trình $(1)$ là: $(-1;\ 1)$ và $(4;\ 3)$.

b) Phương trình $(2)$: $4x – 3y = 7$. Thay lần lượt:

• $(2;\ 0)$: $4 \cdot 2 – 3 \cdot 0 = 8 \neq 7$ → không.
• $(1;\ -1)$: $4 \cdot 1 – 3 \cdot (-1) = 4 + 3 = 7$ → đúng.
• $(-1;\ 1)$: $4 \cdot (-1) – 3 \cdot 1 = -7 \neq 7$ → không.
• $(-1;\ 6)$: $4 \cdot (-1) – 3 \cdot 6 = -22 \neq 7$ → không.
• $(4;\ 3)$: $4 \cdot 4 – 3 \cdot 3 = 16 – 9 = 7$ → đúng.
• $(-2;\ -5)$: $4 \cdot (-2) – 3 \cdot (-5) = -8 + 15 = 7$ → đúng.

Vậy nghiệm của phương trình $(2)$ là: $(1;\ -1)$, $(4;\ 3)$ và $(-2;\ -5)$.

c) Nghiệm của hệ phương trình. Một cặp số là nghiệm của hệ khi và chỉ khi nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình $(1)$ và $(2)$.

Đối chiếu hai kết quả ở câu a) và b), chỉ có cặp số $(4;\ 3)$ xuất hiện trong cả hai.

Vậy nghiệm của hệ là $(4;\ 3)$.

Bài 1.11 trang 20

Đề bài: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\begin{cases} 2x – y = 1 \\ x – 2y = -1 \end{cases}$;

b) $\begin{cases} 0{,}5x – 0{,}5y = 0{,}5 \\ 1{,}2x – 1{,}2y = 1{,}2 \end{cases}$;

c) $\begin{cases} x + 3y = -2 \\ 5x – 4y = 28 \end{cases}$.

Lời giải:

a) Từ phương trình thứ hai $x – 2y = -1$, biểu diễn $x$ theo $y$:

$$x = 2y – 1.$$

Thế vào phương trình thứ nhất:

$$2(2y – 1) – y = 1 ;\Leftrightarrow; 4y – 2 – y = 1 ;\Leftrightarrow; 3y = 3 ;\Leftrightarrow; y = 1.$$

Suy ra $x = 2 \cdot 1 – 1 = 1$. Vậy hệ có nghiệm $(1;\ 1)$.

b) Nhận xét: nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $2$ ta được $x – y = 1$; nhân hai vế của phương trình thứ hai với $\dfrac{5}{6}$ ta cũng được $x – y = 1$. Như vậy hai phương trình của hệ tương đương với cùng một phương trình $x – y = 1$.

Để giải theo phương pháp thế, từ $0{,}5x – 0{,}5y = 0{,}5$ ta có $x = y + 1$. Thế vào phương trình thứ hai:

$$1{,}2(y + 1) – 1{,}2y = 1{,}2 ;\Leftrightarrow; 1{,}2y + 1{,}2 – 1{,}2y = 1{,}2 ;\Leftrightarrow; 1{,}2 = 1{,}2.$$

Khẳng định luôn đúng. Vậy hệ có vô số nghiệm, dạng:

$$(y + 1;\ y) \quad \text{với } y \in \mathbb{R} \text{ tuỳ ý.}$$

c) Từ phương trình thứ nhất $x + 3y = -2$:

$$x = -2 – 3y.$$

Thế vào phương trình thứ hai:

$$5(-2 – 3y) – 4y = 28 ;\Leftrightarrow; -10 – 15y – 4y = 28 ;\Leftrightarrow; -19y = 38 ;\Leftrightarrow; y = -2.$$

Suy ra $x = -2 – 3 \cdot (-2) = -2 + 6 = 4$. Vậy hệ có nghiệm $(4;\ -2)$.

Bài 1.12 trang 20

Đề bài: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\begin{cases} 5x + 7y = -1 \\ 3x + 2y = -5 \end{cases}$;

b) $\begin{cases} 2x – 3y = 11 \\ -0{,}8x + 1{,}2y = 1 \end{cases}$;

c) $\begin{cases} 4x – 3y = 6 \\ 0{,}4x + 0{,}2y = 0{,}8 \end{cases}$.

Lời giải:

a) Để khử ẩn $y$, nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $2$ và phương trình thứ hai với $7$:

$$\begin{cases} 10x + 14y = -2 \\ 21x + 14y = -35. \end{cases}$$

Trừ từng vế (phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai):

$$(10x + 14y) – (21x + 14y) = -2 – (-35) ;\Leftrightarrow; -11x = 33 ;\Leftrightarrow; x = -3.$$

Thế $x = -3$ vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu $3x + 2y = -5$:

$$3 \cdot (-3) + 2y = -5 ;\Leftrightarrow; 2y = 4 ;\Leftrightarrow; y = 2.$$

Vậy hệ có nghiệm $(-3;\ 2)$.

b) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với $2{,}5$:

$$\begin{cases} 2x – 3y = 11 \\ -2x + 3y = 2{,}5. \end{cases}$$

Cộng từng vế:

$$0 = 13{,}5.$$

Đây là khẳng định sai. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với $10$:

$$\begin{cases} 4x – 3y = 6 \\ 4x + 2y = 8. \end{cases}$$

Trừ từng vế (phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất):

$$(4x + 2y) – (4x – 3y) = 8 – 6 ;\Leftrightarrow; 5y = 2 ;\Leftrightarrow; y = \dfrac{2}{5}.$$

Thế $y = \dfrac{2}{5}$ vào phương trình thứ nhất $4x – 3y = 6$:

$$4x – 3 \cdot \dfrac{2}{5} = 6 ;\Leftrightarrow; 4x – \dfrac{6}{5} = 6 ;\Leftrightarrow; 4x = 6 + \dfrac{6}{5} = \dfrac{36}{5} ;\Leftrightarrow; x = \dfrac{9}{5}.$$

Vậy hệ có nghiệm $\left(\dfrac{9}{5};\ \dfrac{2}{5}\right)$.

Bài 1.13 trang 20

Đề bài: Tìm các hệ số $x$, $y$ trong phản ứng hoá học đã được cân bằng sau:

$$4\text{Al} + x\text{O}_2 \to y\text{Al}_2\text{O}_3.$$

Lời giải:

Cách lập hệ phương trình: Phản ứng đã được cân bằng nghĩa là số nguyên tử của mỗi nguyên tố ở vế trái phải bằng số nguyên tử của nguyên tố đó ở vế phải.

Xét nguyên tố Al (nhôm):

• Vế trái: trong $4\text{Al}$ có $4$ nguyên tử Al.
• Vế phải: trong $y\text{Al}_2\text{O}_3$ có $2y$ nguyên tử Al (vì mỗi phân tử $\text{Al}_2\text{O}_3$ chứa $2$ nguyên tử Al).

Suy ra: $2y = 4$.

Xét nguyên tố O (oxi):

• Vế trái: trong $x\text{O}_2$ có $2x$ nguyên tử O.
• Vế phải: trong $y\text{Al}_2\text{O}_3$ có $3y$ nguyên tử O.

Suy ra: $2x = 3y$.

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} 2y = 4 \\ 2x – 3y = 0. \end{cases}$$

Giải hệ: Từ phương trình thứ nhất: $y = 2$. Thế vào phương trình thứ hai:

$$2x – 3 \cdot 2 = 0 ;\Leftrightarrow; 2x = 6 ;\Leftrightarrow; x = 3.$$

Vậy $x = 3$ và $y = 2$. Phản ứng hoá học cân bằng là:

$$4\text{Al} + 3\text{O}_2 \to 2\text{Al}_2\text{O}_3.$$

Bài 1.14 trang 20

Đề bài: Tìm $a$ và $b$ sao cho hệ phương trình $\begin{cases} ax + by = 1 \\ ax + (2 – b)y = 3 \end{cases}$ có nghiệm là $(1;\ -2)$.

Lời giải:

Ý tưởng: Vì $(1;\ -2)$ là nghiệm của hệ, ta thay $x = 1$ và $y = -2$ vào cả hai phương trình để được hệ phương trình hai ẩn $a$, $b$, rồi giải hệ này.

Thay vào phương trình thứ nhất $ax + by = 1$:

$$a \cdot 1 + b \cdot (-2) = 1 ;\Leftrightarrow; a – 2b = 1. \qquad (*)$$

Thay vào phương trình thứ hai $ax + (2 – b)y = 3$:

$$a \cdot 1 + (2 – b) \cdot (-2) = 3 ;\Leftrightarrow; a – 4 + 2b = 3 ;\Leftrightarrow; a + 2b = 7. \qquad (**)$$

Ta có hệ phương trình ẩn $a$, $b$:

$$\begin{cases} a – 2b = 1 \\ a + 2b = 7. \end{cases}$$

Cộng từng vế:

$$2a = 8 ;\Leftrightarrow; a = 4.$$

Trừ từng vế (phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất):

$$4b = 6 ;\Leftrightarrow; b = \dfrac{3}{2}.$$

Kiểm tra: với $a = 4$ và $b = \dfrac{3}{2}$, hệ ban đầu trở thành:

$$\begin{cases} 4x + \dfrac{3}{2}y = 1 \\ 4x + \dfrac{1}{2}y = 3. \end{cases}$$

Thay $(1;\ -2)$ vào:

• Phương trình thứ nhất: $4 \cdot 1 + \dfrac{3}{2} \cdot (-2) = 4 – 3 = 1$ ✓
• Phương trình thứ hai: $4 \cdot 1 + \dfrac{1}{2} \cdot (-2) = 4 – 1 = 3$ ✓

Vậy $a = 4$ và $b = \dfrac{3}{2}$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du