Mở đầu trang 26

Đề bài: Trong một khu vườn hình vuông có cạnh bằng $15$ m, người ta làm một lối đi xung quanh vườn có bề rộng là $x$ (m) (H.2.1). Để diện tích phần đất còn lại là $169$ m² thì bề rộng $x$ của lối đi là bao nhiêu?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ trả lời được câu hỏi mở đầu bằng cách lập phương trình và đưa về dạng phương trình tích để giải. Chi tiết lời giải được trình bày ở phần Vận dụng (trang 28).

1. Phương trình tích

HĐ1 trang 27

Đề bài: Phân tích đa thức $P(x) = (x + 1)(2x – 1) + (x + 1)x$ thành nhân tử.

Lời giải:

Quan sát thấy hai số hạng đều có nhân tử chung là $(x + 1)$, ta đặt $(x + 1)$ làm nhân tử chung:

$$P(x) = (x + 1)(2x – 1) + (x + 1)x = (x + 1)\big[(2x – 1) + x\big] = (x + 1)(3x – 1).$$

Vậy $P(x) = (x + 1)(3x – 1)$.

HĐ2 trang 27

Đề bài: Giải phương trình $P(x) = 0$.

Lời giải:

Từ HĐ1, ta có $P(x) = (x + 1)(3x – 1)$. Phương trình $P(x) = 0$ trở thành:

$$(x + 1)(3x – 1) = 0.$$

Tích của hai biểu thức bằng $0$ khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biểu thức đó bằng $0$:

• $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
• $3x – 1 = 0 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{3}$.

Vậy phương trình $P(x) = 0$ có hai nghiệm: $x = -1$ và $x = \dfrac{1}{3}$.

Luyện tập 1 trang 28

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $(3x + 1)(2 – 4x) = 0$;

b) $x^2 – 3x = 2x – 6$.

Lời giải:

a) Phương trình đã có dạng tích. Ta giải hai phương trình tương ứng:

• $3x + 1 = 0 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{3}$.
• $2 – 4x = 0 \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = -\dfrac{1}{3}$ và $x = \dfrac{1}{2}$.

b) $x^2 – 3x = 2x – 6$.

Bước 1: Đưa về phương trình tích. Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái:

$$x^2 – 3x – 2x + 6 = 0 ;\Leftrightarrow; x^2 – 5x + 6 = 0.$$

Phân tích vế trái thành nhân tử (tách $-5x = -2x – 3x$):

$$x^2 – 2x – 3x + 6 = 0 ;\Leftrightarrow; x(x – 2) – 3(x – 2) = 0 ;\Leftrightarrow; (x – 2)(x – 3) = 0.$$

Bước 2: Giải phương trình tích.

• $x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.
• $x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 2$ và $x = 3$.

Vận dụng trang 28

Đề bài: Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

Lời giải:

Phân tích hình: Khu vườn là hình vuông cạnh $15$ m, lối đi rộng $x$ (m) bao quanh phần đất ở giữa. Phần đất còn lại ở giữa cũng là hình vuông, mỗi cạnh bằng cạnh khu vườn trừ đi hai lần bề rộng lối đi (vì lối đi chiếm $x$ ở mỗi bên):

$$\text{Cạnh phần đất còn lại} = 15 – 2x \ (\text{m}).$$

Điều kiện: Để lối đi có nghĩa, ta cần $x > 0$ và $15 – 2x > 0$, tức $0 < x < 7{,}5$.

Lập phương trình: Diện tích phần đất còn lại bằng $169$ m²:

$$(15 – 2x)^2 = 169.$$

Giải phương trình: Chuyển về phương trình tích:

$$(15 – 2x)^2 – 169 = 0 ;\Leftrightarrow; (15 – 2x)^2 – 13^2 = 0.$$

Áp dụng hằng đẳng thức $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$ với $A = 15 – 2x$ và $B = 13$:

$$(15 – 2x – 13)(15 – 2x + 13) = 0 ;\Leftrightarrow; (2 – 2x)(28 – 2x) = 0.$$

Giải hai phương trình:

• $2 – 2x = 0 \Rightarrow x = 1$.
• $28 – 2x = 0 \Rightarrow x = 14$.

Đối chiếu điều kiện $0 < x < 7{,}5$: chỉ có $x = 1$ thoả mãn; $x = 14$ bị loại.

Kết luận: Bề rộng của lối đi là $x = 1$ (m).

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

HĐ3 trang 28

Đề bài: Xét phương trình $x + \dfrac{1}{x + 1} = -1 + \dfrac{1}{x + 1}$.

Chuyển các biểu thức chứa ẩn từ vế phải sang vế trái, rồi thu gọn vế trái.

Lời giải:

Chuyển $\dfrac{1}{x + 1}$ từ vế phải sang vế trái (đổi dấu):

$$x + \dfrac{1}{x + 1} – \dfrac{1}{x + 1} = -1.$$

Thu gọn vế trái (hai phân thức $\dfrac{1}{x+1}$ và $-\dfrac{1}{x+1}$ triệt tiêu):

$$x = -1.$$

HĐ4 trang 28

Đề bài: Giá trị $x = -1$ có là nghiệm của phương trình đã cho hay không? Vì sao?

Lời giải:

Tại $x = -1$, ta có $x + 1 = 0$. Khi đó biểu thức $\dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{1}{0}$ không xác định (không thể chia cho $0$).

Vì vậy, giá trị $x = -1$ không là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài học rút ra: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta phải đặt điều kiện xác định (ĐKXĐ) để các mẫu thức khác $0$, rồi đối chiếu nghiệm tìm được với ĐKXĐ.

Luyện tập 2 trang 28

Đề bài: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\dfrac{3x + 1}{2x – 1} = 1$;

b) $\dfrac{x}{x – 1} + \dfrac{x + 1}{x} = 2$.

Lời giải:

a) Phương trình có một mẫu thức là $2x – 1$. Để mẫu thức khác $0$:

$$2x – 1 \neq 0 ;\Leftrightarrow; x \neq \dfrac{1}{2}.$$

Vậy ĐKXĐ của phương trình là $x \neq \dfrac{1}{2}$.

b) Phương trình có hai mẫu thức là $x – 1$ và $x$. Để cả hai mẫu thức cùng khác $0$:

$$\begin{cases} x – 1 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{cases} ;\Leftrightarrow; \begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq 0. \end{cases}$$

Vậy ĐKXĐ của phương trình là $x \neq 1$ và $x \neq 0$.

HĐ5 trang 29

Đề bài: Xét phương trình $\dfrac{x + 3}{x} = \dfrac{x + 9}{x – 3}. \qquad (1)$

Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải phương trình $(1)$:

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình $(1)$;

b) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình $(1)$, rồi khử mẫu;

c) Giải phương trình vừa tìm được;

d) Kết luận nghiệm của phương trình $(1)$.

Lời giải:

a) Tìm ĐKXĐ. Hai mẫu thức là $x$ và $x – 3$. Điều kiện:

$$\begin{cases} x \neq 0 \\ x – 3 \neq 0 \end{cases} ;\Leftrightarrow; \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 3. \end{cases}$$

Vậy ĐKXĐ là $x \neq 0$ và $x \neq 3$.

b) Quy đồng và khử mẫu. Mẫu chung là $x(x – 3)$:

$$\dfrac{(x + 3)(x – 3)}{x(x – 3)} = \dfrac{(x + 9) \cdot x}{x(x – 3)}.$$

Khử mẫu (vì hai vế có chung mẫu, ta được phương trình tử bằng tử):

$$(x + 3)(x – 3) = (x + 9) \cdot x.$$

c) Giải phương trình. Khai triển hai vế:

$$x^2 – 9 = x^2 + 9x ;\Leftrightarrow; -9 = 9x ;\Leftrightarrow; x = -1.$$

d) Kết luận. So với ĐKXĐ ($x \neq 0$ và $x \neq 3$): $x = -1$ thoả mãn.

Vậy phương trình $(1)$ có nghiệm $x = -1$.

Luyện tập 3 trang 29

Đề bài: Giải phương trình $\dfrac{1}{x – 1} – \dfrac{4x}{x^3 – 1} = \dfrac{x}{x^2 + x + 1}$.

Lời giải:

Nhận xét: Áp dụng hằng đẳng thức $a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$, ta có:

$$x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1).$$

Bước 1: Tìm ĐKXĐ. Các mẫu thức là $x – 1$, $x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)$ và $x^2 + x + 1$. Ta cần:

• $x – 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$.
• $x^2 + x + 1 \neq 0$. Ta viết lại: $x^2 + x + 1 = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$ với mọi $x$, nên điều kiện này luôn đúng.

Vậy ĐKXĐ là $x \neq 1$.

Bước 2: Quy đồng và khử mẫu. Mẫu chung là $(x – 1)(x^2 + x + 1)$:

$$\dfrac{x^2 + x + 1}{(x – 1)(x^2 + x + 1)} – \dfrac{4x}{(x – 1)(x^2 + x + 1)} = \dfrac{x(x – 1)}{(x^2 + x + 1)(x – 1)}.$$

Khử mẫu:

$$(x^2 + x + 1) – 4x = x(x – 1).$$

Bước 3: Giải phương trình. Thu gọn hai vế:

$$x^2 – 3x + 1 = x^2 – x.$$

Chuyển vế và rút gọn:

$$-3x + 1 + x = 0 ;\Leftrightarrow; -2x + 1 = 0 ;\Leftrightarrow; x = \dfrac{1}{2}.$$

Bước 4: Kết luận. So với ĐKXĐ ($x \neq 1$): $x = \dfrac{1}{2}$ thoả mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \dfrac{1}{2}$.

Bài tập (trang 30)

Bài 2.1 trang 30

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $x(x – 2) = 0$;

b) $(2x + 1)(3x – 2) = 0$.

Lời giải:

a) $x(x – 2) = 0$

• $x = 0$.
• $x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 0$ và $x = 2$.

b) $(2x + 1)(3x – 2) = 0$

• $2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2}$.
• $3x – 2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{2}{3}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = -\dfrac{1}{2}$ và $x = \dfrac{2}{3}$.

Bài 2.2 trang 30

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $(x^2 – 4) + x(x – 2) = 0$;

b) $(2x + 1)^2 – 9x^2 = 0$.

Lời giải:

a) Áp dụng hằng đẳng thức $x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)$:

$$(x – 2)(x + 2) + x(x – 2) = 0.$$

Đặt $(x – 2)$ làm nhân tử chung:

$$(x – 2)\big[(x + 2) + x\big] = 0 ;\Leftrightarrow; (x – 2)(2x + 2) = 0.$$

Giải hai phương trình:

• $x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.
• $2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 2$ và $x = -1$.

b) Áp dụng hằng đẳng thức $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$ với $A = 2x + 1$ và $B = 3x$:

$$(2x + 1)^2 – (3x)^2 = 0 ;\Leftrightarrow; (2x + 1 – 3x)(2x + 1 + 3x) = 0 ;\Leftrightarrow; (1 – x)(5x + 1) = 0.$$

Giải hai phương trình:

• $1 – x = 0 \Rightarrow x = 1$.
• $5x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{5}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 1$ và $x = -\dfrac{1}{5}$.

Bài 2.3 trang 30

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $\dfrac{2}{2x + 1} + \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{3}{(2x + 1)(x + 1)}$;

b) $\dfrac{1}{x + 1} – \dfrac{x}{x^2 – x + 1} = \dfrac{3x}{x^3 + 1}$.

Lời giải:

a) ĐKXĐ: $2x + 1 \neq 0$ và $x + 1 \neq 0$, tức $x \neq -\dfrac{1}{2}$ và $x \neq -1$.

Quy đồng mẫu chung là $(2x + 1)(x + 1)$ và khử mẫu:

$$2(x + 1) + (2x + 1) = 3.$$

Giải:

$$2x + 2 + 2x + 1 = 3 ;\Leftrightarrow; 4x + 3 = 3 ;\Leftrightarrow; 4x = 0 ;\Leftrightarrow; x = 0.$$

So với ĐKXĐ: $x = 0$ thoả mãn.

Vậy phương trình có nghiệm $x = 0$.

b) Áp dụng hằng đẳng thức: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1)$.

ĐKXĐ:

• $x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$.
• $x^2 – x + 1 = \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$ với mọi $x$, nên luôn khác $0$.

Vậy ĐKXĐ là $x \neq -1$.

Quy đồng mẫu chung là $(x + 1)(x^2 – x + 1)$ và khử mẫu:

$$(x^2 – x + 1) – x(x + 1) = 3x.$$

Khai triển vế trái:

$$x^2 – x + 1 – x^2 – x = 3x ;\Leftrightarrow; -2x + 1 = 3x ;\Leftrightarrow; -5x = -1 ;\Leftrightarrow; x = \dfrac{1}{5}.$$

So với ĐKXĐ: $x = \dfrac{1}{5}$ thoả mãn.

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{1}{5}$.

Bài 2.4 trang 30

Đề bài: Bác An có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài $14$ m và chiều rộng $12$ m. Bác dự định xây nhà trên mảnh đất đó và dành một phần diện tích đất để làm sân vườn như Hình 2.2. Biết diện tích đất làm nhà là $100$ m². Hỏi $x$ bằng bao nhiêu mét?

Lời giải:

Phân tích hình: Theo Hình 2.2, phần sân vườn gồm:

• Một dải phía trên rộng $x$ m (theo chiều dọc), chạy dọc theo chiều dài $14$ m.
• Một dải bên phải rộng $(x + 2)$ m (theo chiều ngang), chạy dọc theo chiều rộng $12$ m.

Phần nhà nằm ở góc dưới trái và có hình chữ nhật với:

• Chiều dài (theo phương ngang): $14 – (x + 2) = 12 – x$ (m).
• Chiều rộng (theo phương dọc): $12 – x$ (m).

Điều kiện: Để phần nhà có nghĩa, cần $0 < x < 12$.

Lập phương trình: Diện tích phần nhà là $100$ m²:

$$(12 – x)(12 – x) = 100 ;\Leftrightarrow; (12 – x)^2 = 100.$$

Giải phương trình: Đưa về phương trình tích:

$$(12 – x)^2 – 100 = 0 ;\Leftrightarrow; (12 – x)^2 – 10^2 = 0.$$

Áp dụng hằng đẳng thức $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$:

$$(12 – x – 10)(12 – x + 10) = 0 ;\Leftrightarrow; (2 – x)(22 – x) = 0.$$

Giải hai phương trình:

• $2 – x = 0 \Rightarrow x = 2$.
• $22 – x = 0 \Rightarrow x = 22$.

Đối chiếu điều kiện $0 < x < 12$: chỉ có $x = 2$ thoả mãn.

Kết luận: $x = 2$ m.

Bài 2.5 trang 30

Đề bài: Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong $8$ giờ. Hai người cùng làm được $4$ giờ thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong $12$ giờ nữa thì xong công việc. Gọi $x$ là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, $x > 0$).

a) Hãy biểu thị theo $x$:

– Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong $1$ giờ;

– Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong $1$ giờ.

b) Hãy lập phương trình theo $x$ và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó.

Lời giải:

a) Biểu thị qua $x$.

Coi cả công việc là $1$ (một đơn vị công việc).

Khối lượng công việc người thứ nhất làm trong $1$ giờ: vì người thứ nhất làm một mình hết $x$ giờ thì xong, nên trong $1$ giờ làm được:

$$\dfrac{1}{x} \ (\text{công việc}).$$

Khối lượng công việc cả hai người làm chung trong $1$ giờ: vì làm chung $8$ giờ thì xong, nên trong $1$ giờ làm được $\dfrac{1}{8}$ công việc.

Khối lượng công việc người thứ hai làm trong $1$ giờ:

$$\dfrac{1}{8} – \dfrac{1}{x} \ (\text{công việc}).$$

b) Lập và giải phương trình.

Trong $4$ giờ làm chung, hai người làm được: $4 \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2}$ (công việc).

Trong $12$ giờ tiếp theo, người thứ hai làm một mình được: $12 \cdot \left(\dfrac{1}{8} – \dfrac{1}{x}\right)$ (công việc).

Tổng khối lượng công việc bằng $1$, ta có phương trình:

$$\dfrac{1}{2} + 12 \left(\dfrac{1}{8} – \dfrac{1}{x}\right) = 1.$$

ĐKXĐ: $x \neq 0$ (đã có $x > 0$).

Giải phương trình:

$$12 \left(\dfrac{1}{8} – \dfrac{1}{x}\right) = 1 – \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}.$$

$$\dfrac{1}{8} – \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2} : 12 = \dfrac{1}{24}.$$

$$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{8} – \dfrac{1}{24} = \dfrac{3}{24} – \dfrac{1}{24} = \dfrac{2}{24} = \dfrac{1}{12}.$$

$$x = 12.$$

Đối chiếu điều kiện $x > 0$: $x = 12$ thoả mãn.

Kết luận:

• Người thứ nhất làm một mình hết $x = 12$ giờ.
• Người thứ hai trong $1$ giờ làm được $\dfrac{1}{8} – \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{24} – \dfrac{2}{24} = \dfrac{1}{24}$ công việc, nên người thứ hai làm một mình hết $24$ giờ thì xong.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du