Mở đầu trang 31

Đề bài: Khi đi đường, chúng ta có thể thấy các biển báo giao thông báo hiệu giới hạn tốc độ mà xe cơ giới được phép đi.

Em có biết ý nghĩa của biển báo giao thông ở Hình 2.3 (biển báo giới hạn tốc độ tối đa cho phép theo xe, trên từng làn đường) không?

Lời giải:

Biển báo P.127c trong Hình 2.3 báo hiệu tốc độ tối đa cho phép trên từng làn đường, theo loại xe:

• Làn bên trái chỉ dành riêng cho ô tô với tốc độ tối đa là 60 km/h
• Làn ở giữa dành cho ô tô và xe máy với tốc độ tối đa là 50 km/h.
• Làn bên phải dành cho xe máy, xe ba bánh và xe đạp với tốc độ tối đa là 50 km/h.

Để mô tả các giới hạn tốc độ này bằng kí hiệu toán học, ta cần dùng bất đẳng thức. Chi tiết được trình bày ở phần Vận dụng 1 (trang 33).

1. Bất đẳng thức

Câu hỏi mở trang 31

Đề bài: Thay $?$ trong các biểu thức sau bằng dấu thích hợp $(=,\ >,\ <)$.

a) $-34{,}2\ ?\ -27$;

b) $\dfrac{6}{-8}\ ?\ -\dfrac{3}{4}$;

c) $2\,024\ ?\ 1\,954$.

Lời giải:

a) Hai số đều âm. So sánh giá trị tuyệt đối: $|-34{,}2| = 34{,}2 > 27 = |-27|$, nên $-34{,}2 < -27$.

Vậy $-34{,}2 \ \boxed{<}\ -27$.

b) Ta rút gọn: $\dfrac{6}{-8} = -\dfrac{6}{8} = -\dfrac{3}{4}$.

Vậy $\dfrac{6}{-8} \ \boxed{=}\ -\dfrac{3}{4}$.

c) Hai số đều dương: $2\,024 > 1\,954$.

Vậy $2\,024 \ \boxed{>}\ 1\,954$.

Luyện tập 1 trang 32

Đề bài: Biển báo giao thông R.306 (H.2.4) báo tốc độ tối thiểu cho các xe cơ giới. Biển có hiệu lực bắt buộc các loại xe cơ giới vận hành với tốc độ không nhỏ hơn trị số ghi trên biển trong điều kiện giao thông thuận lợi và an toàn. Nếu một ô tô đi trên đường đó với tốc độ $a$ (km/h) thì $a$ phải thoả mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau?

A. $a < 60$.

B. $a > 60$.

C. $a \geq 60$.

D. $a \leq 60$.

Lời giải:

“Không nhỏ hơn $60$” có nghĩa là “lớn hơn hoặc bằng $60$”.

Vậy điều kiện cần là $a \geq 60$.

Đáp án đúng: C.

Luyện tập 2 trang 33

Đề bài: Chứng minh rằng:

a) $\dfrac{2\,024}{1\,000} > 1{,}9$;

b) $-\dfrac{2\,022}{2\,023} > -1{,}1$.

Lời giải:

a) Ta viết hai số dưới dạng cùng có mẫu là $1\,000$: $1{,}9 = \dfrac{1\,900}{1\,000}$.

Vì $2\,024 > 1\,900$ nên $\dfrac{2\,024}{1\,000} > \dfrac{1\,900}{1\,000}$, tức $\dfrac{2\,024}{1\,000} > 1{,}9$. (ĐPCM)

b) Vì $2\,022 < 2\,023$ (cả hai đều dương) nên $\dfrac{2\,022}{2\,023} < 1 < 1{,}1$, suy ra:

$$\dfrac{2\,022}{2\,023} < 1{,}1.$$

Nhân hai vế của bất đẳng thức này với $-1$ (số âm thì đổi chiều):

$$-\dfrac{2\,022}{2\,023} > -1{,}1. \quad \text{(ĐPCM)}$$

Vận dụng 1 trang 33

Đề bài: Viết các bất đẳng thức để mô tả tốc độ cho phép trong tình huống mở đầu:

a) Ô tô ở làn giữa;

b) Xe máy ở làn bên phải.

Lời giải:

Theo biển báo Hình 2.3 (đã phân tích ở phần Mở đầu), gọi $v$ (km/h) là tốc độ của xe.

a) Ô tô ở làn giữa: tốc độ tối đa cho phép là $50$ km/h, tức tốc độ không vượt quá $50$ km/h:

$$v \leq 50.$$

b) Xe máy ở làn bên phải: tốc độ tối đa cho phép cũng là $50$ km/h:

$$v \leq 50.$$

2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

HĐ1 trang 33

Đề bài: Xét bất đẳng thức $-1 < 2$. $(1)$

a) Cộng $2$ vào hai vế của bất đẳng thức $(1)$ rồi so sánh kết quả thì ta được bất đẳng thức nào?

b) Cộng $-2$ vào hai vế của bất đẳng thức $(1)$ rồi so sánh kết quả thì ta được bất đẳng thức nào?

c) Cộng vào hai vế của bất đẳng thức $(1)$ với cùng một số $c$ thì ta sẽ được bất đẳng thức nào?

Lời giải:

a) Cộng $2$ vào hai vế của $-1 < 2$:

$$-1 + 2 \ ?\ 2 + 2 ;\Leftrightarrow; 1\ ?\ 4.$$

Vì $1 < 4$, ta được bất đẳng thức $-1 + 2 < 2 + 2$ — cùng chiều với $(1)$.

b) Cộng $-2$ vào hai vế của $-1 < 2$:

$$-1 + (-2)\ ?\ 2 + (-2) ;\Leftrightarrow; -3\ ?\ 0.$$

Vì $-3 < 0$, ta được $-1 + (-2) < 2 + (-2)$ — cùng chiều với $(1)$.

c) Cộng cùng một số $c$ vào hai vế:

$$-1 + c < 2 + c.$$

Bất đẳng thức nhận được cùng chiều với $(1)$.

Luyện tập 3 trang 34

Đề bài: Không thực hiện phép tính, hãy so sánh:

a) $19 + 2\,023$ và $-31 + 2\,023$;

b) $\sqrt{2} + 2$ và $4$.

Lời giải:

a) Ta có $19 > -31$. Cộng cùng số $2\,023$ vào hai vế của bất đẳng thức $19 > -31$ thì được bất đẳng thức cùng chiều:

$$19 + 2\,023 > -31 + 2\,023.$$

b) Viết $4 = 2 + 2$. Khi đó so sánh $\sqrt{2} + 2$ và $4 = 2 + 2$ chính là so sánh $\sqrt{2}$ và $2$ (sau khi đã cộng cùng số $2$).

Ta có $2 = \sqrt{4}$ và $\sqrt{4} > \sqrt{2}$ (vì $4 > 2$ và hàm căn bậc hai tăng), nên $\sqrt{2} < 2$. Cộng $2$ vào hai vế:

$$\sqrt{2} + 2 < 2 + 2 ;\Leftrightarrow; \sqrt{2} + 2 < 4.$$

3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

HĐ2 trang 34

Đề bài: Cho bất đẳng thức $-2 < 5$.

a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với $7$ rồi so sánh kết quả thì ta được bất đẳng thức nào?

b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với $-7$ rồi so sánh kết quả thì ta được bất đẳng thức nào?

Lời giải:

a) Nhân hai vế của $-2 < 5$ với $7$ (số dương):

$$-2 \cdot 7\ ?\ 5 \cdot 7 ;\Leftrightarrow; -14\ ?\ 35.$$

Vì $-14 < 35$, ta được $-2 \cdot 7 < 5 \cdot 7$ — cùng chiều với bất đẳng thức ban đầu.

b) Nhân hai vế của $-2 < 5$ với $-7$ (số âm):

$$-2 \cdot (-7)\ ?\ 5 \cdot (-7) ;\Leftrightarrow; 14\ ?\ -35.$$

Vì $14 > -35$, ta được $-2 \cdot (-7) > 5 \cdot (-7)$ — ngược chiều với bất đẳng thức ban đầu.

Nhận xét: Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Luyện tập 4 trang 35

Đề bài: Thay $?$ trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp $(<,\ >)$ để được khẳng định đúng.

a) $13 \cdot (-10{,}5)\ ?\ 13 \cdot 11{,}2$;

b) $(-13) \cdot (-10{,}5)\ ?\ (-13) \cdot 11{,}2$.

Lời giải:

a) Ta có $-10{,}5 < 11{,}2$. Nhân hai vế với $13$ (số dương) thì cùng chiều:

$$13 \cdot (-10{,}5)\ \boxed{<}\ 13 \cdot 11{,}2.$$

b) Ta có $-10{,}5 < 11{,}2$. Nhân hai vế với $-13$ (số âm) thì đổi chiều:

$$(-13) \cdot (-10{,}5)\ \boxed{>}\ (-13) \cdot 11{,}2.$$

Vận dụng 2 trang 35

Đề bài: Một nhà tài trợ dự kiến tổ chức một buổi đi dã ngoại tập thể nhằm giúp các bạn học sinh vùng cao trải nghiệm thực tế tại một trang trại trong $1$ ngày (từ $14$h$00$ ngày hôm trước đến $12$h$00$ ngày hôm sau). Cho biết số tiền tài trợ dự kiến là $30$ triệu đồng và giá thuê các dịch vụ và phòng nghỉ là $17$ triệu đồng $1$ ngày, giá mỗi suất ăn trưa, ăn tối là $60\,000$ đồng và mỗi suất ăn sáng là $30\,000$ đồng. Hỏi có thể tổ chức cho nhiều nhất bao nhiêu bạn tham gia được?

Lời giải:

Phân tích bữa ăn: Chuyến đi diễn ra từ $14$h$00$ chiều hôm trước đến $12$h$00$ trưa hôm sau, nên mỗi bạn tham gia sẽ có $3$ bữa ăn:

• $1$ bữa tối hôm trước: $60\,000$ đồng.
• $1$ bữa sáng hôm sau: $30\,000$ đồng.
• $1$ bữa trưa hôm sau: $60\,000$ đồng.

Tổng tiền ăn của mỗi bạn:

$$60\,000 + 30\,000 + 60\,000 = 150\,000 \ (\text{đồng}).$$

Lập bất đẳng thức: Gọi $x$ là số bạn tham gia (số nguyên dương). Tổng chi phí cho buổi dã ngoại gồm tiền thuê dịch vụ, phòng nghỉ và tiền ăn của $x$ bạn:

$$17\,000\,000 + 150\,000x \ (\text{đồng}).$$

Tổng chi phí không được vượt quá số tiền tài trợ $30$ triệu đồng:

$$17\,000\,000 + 150\,000x \leq 30\,000\,000.$$

Giải bất đẳng thức: Cộng $-17\,000\,000$ vào hai vế:

$$150\,000x \leq 13\,000\,000.$$

Chia hai vế cho $150\,000$ (số dương, giữ chiều):

$$x \leq \dfrac{13\,000\,000}{150\,000} = \dfrac{260}{3} \approx 86{,}67.$$

Vì $x$ là số nguyên dương nên $x \leq 86$.

Kết luận: Có thể tổ chức cho nhiều nhất $86$ bạn tham gia.

Bài tập (trang 35)

Bài 2.6 trang 35

Đề bài: Dùng kí hiệu để viết bất đẳng thức tương ứng với mỗi trường hợp sau:

a) $x$ nhỏ hơn hoặc bằng $-2$;

b) $m$ là số âm;

c) $y$ là số dương;

d) $p$ lớn hơn hoặc bằng $2\,024$.

Lời giải:

a) $x \leq -2$.

b) $m$ là số âm, tức $m$ nhỏ hơn $0$: $m < 0$.

c) $y$ là số dương, tức $y$ lớn hơn $0$: $y > 0$.

d) $p \geq 2\,024$.

Bài 2.7 trang 35

Đề bài: Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau:

a) Bạn phải ít nhất $18$ tuổi mới được phép lái ô tô;

b) Xe buýt chở được tối đa $45$ người;

c) Mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động là $20\,000$ đồng.

Lời giải:

a) Gọi $a$ là số tuổi của bạn. “Ít nhất $18$ tuổi” nghĩa là $a$ lớn hơn hoặc bằng $18$:

$$a \geq 18.$$

b) Gọi $n$ là số người trên xe buýt. “Tối đa $45$ người” nghĩa là $n$ nhỏ hơn hoặc bằng $45$:

$$n \leq 45.$$

c) Gọi $m$ (đồng) là mức lương cho một giờ làm việc. “Mức lương tối thiểu là $20\,000$ đồng” nghĩa là $m$ lớn hơn hoặc bằng $20\,000$:

$$m \geq 20\,000.$$

Bài 2.8 trang 35

Đề bài: Không thực hiện phép tính, hãy chứng minh:

a) $2 \cdot (-7) + 2\,023 < 2 \cdot (-1) + 2\,023$;

b) $(-3) \cdot (-8) + 1\,975 > (-3) \cdot (-7) + 1\,975$.

Lời giải:

a) Ta có $-7 < -1$.

• Nhân hai vế với $2$ (số dương) thì cùng chiều: $2 \cdot (-7) < 2 \cdot (-1)$.
• Cộng $2\,023$ vào hai vế thì cùng chiều: $2 \cdot (-7) + 2\,023 < 2 \cdot (-1) + 2\,023$. (ĐPCM)

b) Ta có $-8 < -7$.

• Nhân hai vế với $-3$ (số âm) thì đổi chiều: $(-3) \cdot (-8) > (-3) \cdot (-7)$.
• Cộng $1\,975$ vào hai vế thì cùng chiều: $(-3) \cdot (-8) + 1\,975 > (-3) \cdot (-7) + 1\,975$. (ĐPCM)

Bài 2.9 trang 35

Đề bài: Cho $a < b$, hãy so sánh:

a) $5a + 7$ và $5b + 7$;

b) $-3a – 9$ và $-3b – 9$.

Lời giải:

a) Từ $a < b$, nhân hai vế với $5$ (số dương) thì cùng chiều: $5a < 5b$.

Cộng $7$ vào hai vế thì cùng chiều: $5a + 7 < 5b + 7$.

b) Từ $a < b$, nhân hai vế với $-3$ (số âm) thì đổi chiều: $-3a > -3b$.

Cộng $-9$ vào hai vế thì cùng chiều: $-3a – 9 > -3b – 9$.

Bài 2.10 trang 35

Đề bài: So sánh hai số $a$ và $b$, nếu:

a) $a + 1\,954 < b + 1\,954$;

b) $-2a > -2b$.

Lời giải:

a) Cộng $-1\,954$ vào hai vế của bất đẳng thức $a + 1\,954 < b + 1\,954$ thì cùng chiều:

$$a + 1\,954 + (-1\,954) < b + 1\,954 + (-1\,954) ;\Leftrightarrow; a < b.$$

Vậy $a < b$.

b) Nhân hai vế của bất đẳng thức $-2a > -2b$ với $-\dfrac{1}{2}$ (số âm) thì đổi chiều:

$$-2a \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) < -2b \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) ;\Leftrightarrow; a < b.$$

Vậy $a < b$.

Bài 2.11 trang 35

Đề bài: Chứng minh rằng:

a) $-\dfrac{2\,023}{2\,024} > -\dfrac{2\,024}{2\,023}$;

b) $\dfrac{34}{11} > \dfrac{26}{9}$.

Lời giải:

a) Vì $2\,023 < 2\,024$ (đều dương), ta có:

$$\dfrac{2\,023}{2\,024} < 1 \quad \text{và} \quad \dfrac{2\,024}{2\,023} > 1.$$

Do đó:

$$\dfrac{2\,023}{2\,024} < 1 < \dfrac{2\,024}{2\,023} ;\Rightarrow; \dfrac{2\,023}{2\,024} < \dfrac{2\,024}{2\,023}.$$

Nhân hai vế với $-1$ (số âm) thì đổi chiều:

$$-\dfrac{2\,023}{2\,024} > -\dfrac{2\,024}{2\,023}. \quad \text{(ĐPCM)}$$

b) Quy đồng hai phân số về cùng mẫu $99$ (vì $99 = 11 \cdot 9$):

$$\dfrac{34}{11} = \dfrac{34 \cdot 9}{99} = \dfrac{306}{99}, \qquad \dfrac{26}{9} = \dfrac{26 \cdot 11}{99} = \dfrac{286}{99}.$$

Vì $306 > 286$ nên $\dfrac{306}{99} > \dfrac{286}{99}$, tức $\dfrac{34}{11} > \dfrac{26}{9}$. (ĐPCM)

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du