Bài tập

Bài 2.12 trang 37

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $2(x + 1) = (5x – 1)(x + 1)$;

b) $(-4x + 3)x = (2x + 5)x$.

Lời giải:

a) Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái:

$$2(x + 1) – (5x – 1)(x + 1) = 0.$$

Đặt $(x + 1)$ làm nhân tử chung:

$$(x + 1)\big[2 – (5x – 1)\big] = 0 ;\Leftrightarrow; (x + 1)(2 – 5x + 1) = 0 ;\Leftrightarrow; (x + 1)(3 – 5x) = 0.$$

Giải hai phương trình:

• $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
• $3 – 5x = 0 \Rightarrow 5x = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{5}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = -1$ và $x = \dfrac{3}{5}$.

b) Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái:

$$(-4x + 3)x – (2x + 5)x = 0.$$

Đặt $x$ làm nhân tử chung:

$$x\big[(-4x + 3) – (2x + 5)\big] = 0 ;\Leftrightarrow; x(-4x + 3 – 2x – 5) = 0 ;\Leftrightarrow; x(-6x – 2) = 0.$$

Giải hai phương trình:

• $x = 0$.
• $-6x – 2 = 0 \Rightarrow -6x = 2 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{3}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 0$ và $x = -\dfrac{1}{3}$.

Bài 2.13 trang 37

Đề bài: Để loại bỏ $x\%$ một loại tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là

$$C(x) = \dfrac{50x}{100 – x} \ (\text{triệu đồng}), \text{ với } 0 \leq x < 100.$$

Nếu bỏ ra $450$ triệu đồng, người ta có thể loại bỏ được bao nhiêu phần trăm loại tảo độc đó?

Lời giải:

Lập phương trình: Khi bỏ ra $450$ triệu đồng, tức $C(x) = 450$:

$$\dfrac{50x}{100 – x} = 450.$$

ĐKXĐ: $100 – x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 100$ (kết hợp với điều kiện $0 \leq x < 100$ của bài toán thì luôn thoả mãn).

Giải phương trình: Nhân hai vế với $(100 – x)$ để khử mẫu:

$$50x = 450(100 – x).$$

Khai triển vế phải:

$$50x = 45\,000 – 450x.$$

Chuyển $-450x$ sang vế trái (đổi dấu):

$$50x + 450x = 45\,000 ;\Leftrightarrow; 500x = 45\,000 ;\Leftrightarrow; x = 90.$$

Đối chiếu điều kiện $0 \leq x < 100$: $x = 90$ thoả mãn.

Kết luận: Nếu bỏ ra $450$ triệu đồng, có thể loại bỏ được $90\%$ loại tảo độc đó.

Bài 2.14 trang 37

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $\dfrac{1}{x + 2} – \dfrac{2}{x^2 – 2x + 4} = \dfrac{x – 4}{x^3 + 8}$;

b) $\dfrac{2x}{x – 4} + \dfrac{3}{x + 4} = \dfrac{x – 12}{x^2 – 16}$.

Lời giải:

a) Áp dụng hằng đẳng thức: $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 – 2x + 4)$.

ĐKXĐ:

• $x + 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -2$.
• $x^2 – 2x + 4 = (x – 1)^2 + 3 > 0$ với mọi $x$, nên luôn khác $0$.

Vậy ĐKXĐ là $x \neq -2$.

Quy đồng mẫu chung là $(x + 2)(x^2 – 2x + 4)$ và khử mẫu:

$$(x^2 – 2x + 4) – 2(x + 2) = x – 4.$$

Khai triển và thu gọn vế trái:

$$x^2 – 2x + 4 – 2x – 4 = x – 4 ;\Leftrightarrow; x^2 – 4x = x – 4.$$

Chuyển tất cả về vế trái:

$$x^2 – 4x – x + 4 = 0 ;\Leftrightarrow; x^2 – 5x + 4 = 0.$$

Phân tích thành nhân tử (tách $-5x = -x – 4x$):

$$x^2 – x – 4x + 4 = 0 ;\Leftrightarrow; x(x – 1) – 4(x – 1) = 0 ;\Leftrightarrow; (x – 1)(x – 4) = 0.$$

Giải hai phương trình:

• $x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.
• $x – 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

Đối chiếu ĐKXĐ ($x \neq -2$): cả hai giá trị đều thoả mãn.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 1$ và $x = 4$.

b) Áp dụng hằng đẳng thức: $x^2 – 16 = x^2 – 4^2 = (x – 4)(x + 4)$.

ĐKXĐ: $x – 4 \neq 0$ và $x + 4 \neq 0$, tức $x \neq 4$ và $x \neq -4$.

Quy đồng mẫu chung là $(x – 4)(x + 4)$ và khử mẫu:

$$2x(x + 4) + 3(x – 4) = x – 12.$$

Khai triển vế trái:

$$2x^2 + 8x + 3x – 12 = x – 12 ;\Leftrightarrow; 2x^2 + 11x – 12 = x – 12.$$

Chuyển tất cả về vế trái:

$$2x^2 + 11x – 12 – x + 12 = 0 ;\Leftrightarrow; 2x^2 + 10x = 0.$$

Đặt $2x$ làm nhân tử chung:

$$2x(x + 5) = 0.$$

Giải hai phương trình:

• $2x = 0 \Rightarrow x = 0$.
• $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$.

Đối chiếu ĐKXĐ ($x \neq 4$ và $x \neq -4$): cả hai giá trị đều thoả mãn.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 0$ và $x = -5$.

Bài 2.15 trang 37

Đề bài: Cho $a > b$, chứng minh rằng:

a) $4a + 4 > 4b + 3$;

b) $1 – 3a < 3 – 3b$.

Lời giải:

a) Từ $a > b$, nhân hai vế với $4$ (số dương, giữ chiều):

$$4a > 4b.$$

Cộng $4$ vào hai vế (cùng chiều):

$$4a + 4 > 4b + 4. \qquad (1)$$

Mặt khác, vì $4 > 3$, cộng $4b$ vào hai vế (cùng chiều):

$$4b + 4 > 4b + 3. \qquad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$, áp dụng tính chất bắc cầu:

$$4a + 4 > 4b + 3. \quad \text{(ĐPCM)}$$

b) Từ $a > b$, nhân hai vế với $-3$ (số âm, đổi chiều):

$$-3a < -3b.$$

Cộng $1$ vào hai vế (cùng chiều):

$$1 – 3a < 1 – 3b. \qquad (1)$$

Mặt khác, vì $1 < 3$, cộng $-3b$ vào hai vế (cùng chiều):

$$1 – 3b < 3 – 3b. \qquad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$, áp dụng tính chất bắc cầu:

$$1 – 3a < 3 – 3b. \quad \text{(ĐPCM)}$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du