1. Khai căn bậc hai và phép nhân

HĐ1 trang 49

Đề bài: Tính và so sánh: $\sqrt{100} \cdot \sqrt{4}$ và $\sqrt{100 \cdot 4}$.

Lời giải:

• $\sqrt{100} \cdot \sqrt{4} = 10 \cdot 2 = 20$.
• $\sqrt{100 \cdot 4} = \sqrt{400} = 20$.

Vậy $\sqrt{100} \cdot \sqrt{4} = \sqrt{100 \cdot 4} = 20$.

Nhận xét: Kết quả này là một trường hợp của quy tắc $\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} = \sqrt{AB}$ (với $A, B \ge 0$).

Luyện tập 1 trang 49

Đề bài:

a) Tính $\sqrt{3} \cdot \sqrt{75}$.

b) Rút gọn $\sqrt{5ab^3} \cdot \sqrt{5ab}$ (với $a < 0,\ b < 0$).

Lời giải:

a) Áp dụng $\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} = \sqrt{AB}$:

$$\sqrt{3} \cdot \sqrt{75} = \sqrt{3 \cdot 75} = \sqrt{225} = 15.$$

b) Áp dụng quy tắc:

$$\sqrt{5ab^3} \cdot \sqrt{5ab} = \sqrt{5ab^3 \cdot 5ab} = \sqrt{25a^2b^4}.$$

Tách dưới dấu căn:

$$\sqrt{25a^2b^4} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^4} = 5 \cdot |a| \cdot b^2.$$

(Lưu ý: $\sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} = |b^2| = b^2$ vì $b^2 \ge 0$.)

Vì $a < 0$ nên $|a| = -a$. Do đó:

$$\sqrt{5ab^3} \cdot \sqrt{5ab} = 5 \cdot (-a) \cdot b^2 = -5ab^2.$$

Luyện tập 2 trang 50

Đề bài:

a) Tính nhanh $\sqrt{25 \cdot 49}$.

b) Phân tích thành nhân tử: $\sqrt{ab} – 4\sqrt{a}$ (với $a \ge 0,\ b \ge 0$).

Lời giải:

a) Áp dụng $\sqrt{AB} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$:

$$\sqrt{25 \cdot 49} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{49} = 5 \cdot 7 = 35.$$

b) Ta viết $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Khi đó:

$$\sqrt{ab} – 4\sqrt{a} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} – 4\sqrt{a} = \sqrt{a}\left(\sqrt{b} – 4\right).$$

2. Khai căn bậc hai và phép chia

HĐ2 trang 50

Đề bài: Tính và so sánh: $\sqrt{100} : \sqrt{4}$ và $\sqrt{100 : 4}$.

Lời giải:

• $\sqrt{100} : \sqrt{4} = 10 : 2 = 5$.
• $\sqrt{100 : 4} = \sqrt{25} = 5$.

Vậy $\sqrt{100} : \sqrt{4} = \sqrt{100 : 4} = 5$.

Nhận xét: Kết quả này là một trường hợp của quy tắc $\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \sqrt{\dfrac{A}{B}}$ (với $A \ge 0,\ B > 0$).

Luyện tập 3 trang 50

Đề bài:

a) Tính $\sqrt{18} : \sqrt{50}$.

b) Rút gọn $\sqrt{16ab^2} : \sqrt{4a}$ (với $a > 0,\ b < 0$).

Lời giải:

a) Áp dụng $\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \sqrt{\dfrac{A}{B}}$:

$$\sqrt{18} : \sqrt{50} = \sqrt{\dfrac{18}{50}} = \sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5}.$$

b) Áp dụng quy tắc:

$$\sqrt{16ab^2} : \sqrt{4a} = \sqrt{\dfrac{16ab^2}{4a}} = \sqrt{4b^2}.$$

Tiếp tục tách:

$$\sqrt{4b^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{b^2} = 2 \cdot |b|.$$

Vì $b < 0$ nên $|b| = -b$. Do đó:

$$\sqrt{16ab^2} : \sqrt{4a} = 2 \cdot (-b) = -2b.$$

Luyện tập 4 trang 51

Đề bài:

a) Tính $\sqrt{6{,}25}$.

b) Rút gọn $(a^2 – 1) \cdot \sqrt{\dfrac{5}{(a – 1)^2}}$ (với $a > 1$).

Lời giải:

a) Viết $6{,}25$ thành phân số: $6{,}25 = \dfrac{625}{100} = \dfrac{25^2}{10^2}$. Do đó:

$$\sqrt{6{,}25} = \sqrt{\dfrac{25^2}{10^2}} = \dfrac{\sqrt{25^2}}{\sqrt{10^2}} = \dfrac{25}{10} = 2{,}5.$$

b) Áp dụng quy tắc khai căn của một thương:

$$\sqrt{\dfrac{5}{(a – 1)^2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{(a – 1)^2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{|a – 1|}.$$

Vì $a > 1$ nên $a – 1 > 0$, suy ra $|a – 1| = a – 1$. Do đó:

$$\sqrt{\dfrac{5}{(a – 1)^2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{a – 1}.$$

Nhân với $(a^2 – 1) = (a – 1)(a + 1)$ (hằng đẳng thức hiệu hai bình phương):

$$(a^2 – 1) \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{a – 1} = \dfrac{(a – 1)(a + 1) \cdot \sqrt{5}}{a – 1} = (a + 1)\sqrt{5}.$$

Vậy $(a^2 – 1) \cdot \sqrt{\dfrac{5}{(a – 1)^2}} = (a + 1)\sqrt{5}$ với $a > 1$.

Vận dụng trang 51

Đề bài: Công suất $P$ (W), hiệu điện thế $U$ (V), điện trở $R$ ($\Omega$) trong đoạn mạch một chiều liên hệ với nhau theo công thức $U = \sqrt{PR}$. Nếu công suất tăng gấp $8$ lần, điện trở giảm $2$ lần thì tỉ số giữa hiệu điện thế lúc đó và hiệu điện thế ban đầu bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi $P,\ R$ là công suất và điện trở ban đầu; $P’,\ R’$ là công suất và điện trở mới.

Theo đề: $P’ = 8P$ và $R’ = \dfrac{R}{2}$.

Hiệu điện thế ban đầu: $U = \sqrt{PR}$.

Hiệu điện thế lúc sau:

$$U’ = \sqrt{P’ \cdot R’} = \sqrt{8P \cdot \dfrac{R}{2}} = \sqrt{4PR} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{PR} = 2\sqrt{PR} = 2U.$$

Tỉ số cần tìm:

$$\dfrac{U’}{U} = \dfrac{2U}{U} = 2.$$

Vậy hiệu điện thế lúc sau gấp $2$ lần hiệu điện thế ban đầu.

Tranh luận trang 51

Đề bài: Bạn Vuông lập luận: “Vì $\sqrt{(-3)^2} = -3$ và $\sqrt{(-12)^2} = -12$ nên $\sqrt{(-3)^2 \cdot (-12)^2} = (-3) \cdot (-12) = 36$.” Theo em, cách làm của Vuông có đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Cách làm của bạn Vuông không đúng.

Lý do: căn bậc hai số học của một số không âm luôn là số không âm. Theo hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$, ta có:

• $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$, không phải $-3$.
• $\sqrt{(-12)^2} = |-12| = 12$, không phải $-12$.

Như vậy hai bước biến đổi đầu của bạn Vuông đều sai (nhầm dấu).

Cách làm đúng: Vì $(-3)^2 \ge 0$ và $(-12)^2 \ge 0$, áp dụng quy tắc $\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$ (với $A, B \ge 0$):

$$\sqrt{(-3)^2 \cdot (-12)^2} = \sqrt{(-3)^2} \cdot \sqrt{(-12)^2} = |-3| \cdot |-12| = 3 \cdot 12 = 36.$$

Kết quả số $36$ trùng với đáp số của bạn Vuông, nhưng cách lập luận của bạn ấy sai vì viết $\sqrt{(-3)^2} = -3$ và $\sqrt{(-12)^2} = -12$ là không đúng định nghĩa căn bậc hai số học.

Bài tập (trang 51)

Bài 3.7 trang 51

Đề bài: Tính:

a) $\sqrt{12} \cdot (\sqrt{12} + \sqrt{3})$;

b) $\sqrt{8} \cdot (\sqrt{50} – \sqrt{2})$;

c) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 – 2\sqrt{6}$.

Lời giải:

a) Phân phối phép nhân vào trong ngoặc:

$$\sqrt{12} \cdot (\sqrt{12} + \sqrt{3}) = \sqrt{12} \cdot \sqrt{12} + \sqrt{12} \cdot \sqrt{3}.$$

Tính từng phần:

• $\sqrt{12} \cdot \sqrt{12} = (\sqrt{12})^2 = 12$.
• $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$.

Vậy $\sqrt{12} \cdot (\sqrt{12} + \sqrt{3}) = 12 + 6 = 18$.

b) Phân phối:

$$\sqrt{8} \cdot (\sqrt{50} – \sqrt{2}) = \sqrt{8} \cdot \sqrt{50} – \sqrt{8} \cdot \sqrt{2}.$$

Tính từng phần:

• $\sqrt{8} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{8 \cdot 50} = \sqrt{400} = 20$.
• $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$.

Vậy $\sqrt{8} \cdot (\sqrt{50} – \sqrt{2}) = 20 – 4 = 16$.

c) Áp dụng hằng đẳng thức $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ với $a = \sqrt{3},\ b = \sqrt{2}$:

$$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}.$$

Suy ra:

$$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 – 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6} – 2\sqrt{6} = 5.$$

Bài 3.8 trang 51

Đề bài: Rút gọn biểu thức $\sqrt{2(a^2 – b^2)} \cdot \sqrt{\dfrac{3}{a + b}}$ (với $a \ge b > 0$).

Lời giải:

Áp dụng $\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} = \sqrt{AB}$:

$$\sqrt{2(a^2 – b^2)} \cdot \sqrt{\dfrac{3}{a + b}} = \sqrt{2(a^2 – b^2) \cdot \dfrac{3}{a + b}} = \sqrt{\dfrac{6(a^2 – b^2)}{a + b}}.$$

Phân tích $a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)$:

$$\sqrt{\dfrac{6(a – b)(a + b)}{a + b}} = \sqrt{6(a – b)}.$$

(Lưu ý: do $a \ge b > 0$ nên $a – b \ge 0$ và $a + b > 0$, các biểu thức dưới căn đều có nghĩa.)

Vậy $\sqrt{2(a^2 – b^2)} \cdot \sqrt{\dfrac{3}{a + b}} = \sqrt{6(a – b)}$.

Bài 3.9 trang 51

Đề bài: Tính:

a) $\sqrt{99} : \sqrt{11}$;

b) $\sqrt{7{,}84}$;

c) $\sqrt{1815} : \sqrt{15}$.

Lời giải:

a) Áp dụng $\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \sqrt{\dfrac{A}{B}}$:

$$\sqrt{99} : \sqrt{11} = \sqrt{\dfrac{99}{11}} = \sqrt{9} = 3.$$

b) Viết $7{,}84$ thành phân số: $7{,}84 = \dfrac{784}{100} = \dfrac{28^2}{10^2}$. Do đó:

$$\sqrt{7{,}84} = \sqrt{\dfrac{28^2}{10^2}} = \dfrac{\sqrt{28^2}}{\sqrt{10^2}} = \dfrac{28}{10} = 2{,}8.$$

c) Áp dụng quy tắc:

$$\sqrt{1815} : \sqrt{15} = \sqrt{\dfrac{1815}{15}} = \sqrt{121} = 11.$$

Bài 3.10 trang 51

Đề bài: Rút gọn $\dfrac{-3\sqrt{16a} + 5a\sqrt{16ab^2}}{2\sqrt{a}}$ (với $a > 0,\ b > 0$).

Lời giải:

Bước 1: Rút gọn từng căn ở tử số.

• $\sqrt{16a} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a} = 4\sqrt{a}$.
• $\sqrt{16ab^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b^2} = 4\sqrt{a} \cdot |b| = 4b\sqrt{a}$ (vì $b > 0$ nên $|b| = b$).

Bước 2: Thay vào tử số.

$$-3\sqrt{16a} + 5a\sqrt{16ab^2} = -3 \cdot 4\sqrt{a} + 5a \cdot 4b\sqrt{a} = -12\sqrt{a} + 20ab\sqrt{a}.$$

Đặt nhân tử chung $\sqrt{a}$:

$$-12\sqrt{a} + 20ab\sqrt{a} = \sqrt{a}\left(20ab – 12\right) = 4\sqrt{a}\left(5ab – 3\right).$$

Bước 3: Chia cho mẫu $2\sqrt{a}$.

$$\dfrac{4\sqrt{a}(5ab – 3)}{2\sqrt{a}} = \dfrac{4}{2}(5ab – 3) = 2(5ab – 3) = 10ab – 6.$$

Vậy biểu thức đã rút gọn bằng $10ab – 6$.

Bài 3.11 trang 51

Đề bài: Kích thước màn hình ti vi hình chữ nhật được xác định bởi độ dài đường chéo. Một loại ti vi có tỉ lệ hai cạnh màn hình là $4 : 3$.

a) Gọi $x$ (inch) là chiều rộng của màn hình ti vi. Viết công thức tính độ dài đường chéo $d$ (inch) của màn hình ti vi theo $x$.

b) Tính chiều rộng và chiều dài (theo centimét) của màn hình ti vi loại $40$ inch.

(Cho biết: $1$ inch $\approx 2{,}54$ cm.)

Lời giải:

a) Viết công thức tính $d$ theo $x$.

Tỉ lệ hai cạnh là $4 : 3$, trong đó chiều rộng là $x$ (cạnh nhỏ hơn) nên chiều dài (cạnh lớn hơn) là $\dfrac{4x}{3}$.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông tạo bởi hai cạnh và đường chéo của hình chữ nhật:

$$d^2 = x^2 + \left(\dfrac{4x}{3}\right)^2 = x^2 + \dfrac{16x^2}{9} = \dfrac{9x^2 + 16x^2}{9} = \dfrac{25x^2}{9}.$$

Vì $d > 0$ nên lấy căn bậc hai số học:

$$d = \sqrt{\dfrac{25x^2}{9}} = \dfrac{\sqrt{25x^2}}{\sqrt{9}} = \dfrac{5|x|}{3} = \dfrac{5x}{3} \ (\text{do } x > 0).$$

Vậy công thức là $d = \dfrac{5x}{3}$ (inch).

b) Tính chiều rộng và chiều dài của ti vi $40$ inch.

Ti vi $40$ inch có đường chéo $d = 40$ inch. Từ công thức $d = \dfrac{5x}{3}$:

$$40 = \dfrac{5x}{3} ;\Leftrightarrow; 5x = 120 ;\Leftrightarrow; x = 24 \ (\text{inch}).$$

Vậy chiều rộng là $24$ inch và chiều dài là $\dfrac{4 \cdot 24}{3} = 32$ inch.

Đổi sang centimét (với $1$ inch $\approx 2{,}54$ cm):

• Chiều rộng: $24 \cdot 2{,}54 = 60{,}96$ cm.
• Chiều dài: $32 \cdot 2{,}54 = 81{,}28$ cm.

Vậy màn hình ti vi $40$ inch có chiều rộng khoảng $60{,}96$ cm và chiều dài khoảng $81{,}28$ cm.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du