Mở đầu trang 21

Đề bài: Bác An có $40$ m hàng rào lưới thép. Bác muốn dùng nó để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $96$ m² để trồng rau. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Lời giải:

Bài toán mở đầu sẽ được giải đầy đủ ở phần Vận dụng (trang 24). Cách làm: chiều dài và chiều rộng là hai số có tổng bằng $20$ m (nửa chu vi) và tích bằng $96$ m². Áp dụng định lí Viète đảo, ta tìm được chiều dài $12$ m và chiều rộng $8$ m.

1. Định lí Viète

HĐ1 trang 21

Đề bài: Nhắc lại công thức tính hai nghiệm $x_1$, $x_2$ của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) khi $\Delta = b^2 – 4ac \geq 0$.

Lời giải:

Khi $\Delta \geq 0$, phương trình có hai nghiệm (phân biệt khi $\Delta > 0$, trùng nhau khi $\Delta = 0$):

$$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \dfrac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}.$$

HĐ2 trang 21

Đề bài: Từ kết quả HĐ1, hãy tính $x_1 + x_2$ và $x_1 x_2$.

Lời giải:

Tính $x_1 + x_2$:

$$x_1 + x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \dfrac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{(-b + \sqrt{\Delta}) + (-b – \sqrt{\Delta})}{2a} = \dfrac{-2b}{2a} = -\dfrac{b}{a}.$$

Tính $x_1 x_2$:

$$x_1 x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \dfrac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{(-b)^2 – (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} = \dfrac{b^2 – \Delta}{4a^2}.$$

Vì $\Delta = b^2 – 4ac$ nên $b^2 – \Delta = b^2 – (b^2 – 4ac) = 4ac$. Do đó:

$$x_1 x_2 = \dfrac{4ac}{4a^2} = \dfrac{c}{a}.$$

Kết luận: $\boxed{x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a};\quad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}}$ — đây chính là định lí Viète.

Luyện tập 1 trang 22

Đề bài: Không giải phương trình, hãy tính biệt thức $\Delta$ (hoặc $\Delta’$) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau:

a) $2x^2 – 7x + 3 = 0$;

b) $25x^2 – 20x + 4 = 0$;

c) $2\sqrt{2},x^2 – 4 = 0$.

Lời giải:

a) $a = 2,\ b = -7,\ c = 3$.

$$\Delta = (-7)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 – 24 = 25 > 0.$$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Viète:

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{-7}{2} = \dfrac{7}{2}, \quad x_1 x_2 = \dfrac{3}{2}.$$

b) $a = 25,\ b = -20$ nên $b’ = -10$; $c = 4$.

$$\Delta’ = (-10)^2 – 25 \cdot 4 = 100 – 100 = 0.$$

Phương trình có nghiệm kép. Theo định lí Viète:

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{-20}{25} = \dfrac{4}{5}, \quad x_1 x_2 = \dfrac{4}{25}.$$

c) $a = 2\sqrt{2},\ b = 0,\ c = -4$.

$$\Delta = 0^2 – 4 \cdot 2\sqrt{2} \cdot (-4) = 32\sqrt{2} > 0.$$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Viète:

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{0}{2\sqrt{2}} = 0, \quad x_1 x_2 = \dfrac{-4}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}.$$

Tranh luận trang 22

Đề bài: “Không cần giải, tớ biết ngay tổng và tích hai nghiệm của phương trình $x^2 – x + 1 = 0$ đều bằng $1$.” Ý kiến của em thế nào?

Lời giải:

Ý kiến đó không đúng. Lý do: định lí Viète chỉ áp dụng khi phương trình có nghiệm, tức là $\Delta \geq 0$. Ta kiểm tra trước khi áp dụng.

Với phương trình $x^2 – x + 1 = 0$: $a = 1,\ b = -1,\ c = 1$.

$$\Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 – 4 = -3 < 0.$$

Phương trình vô nghiệm, nên không có nghiệm nào để nói về tổng và tích. Việc thay $-b/a$ và $c/a$ ra giá trị $1$ chỉ là kết quả hình thức, không có ý nghĩa khi phương trình không có nghiệm thực.

2. Áp dụng định lí Viète để tính nhẩm nghiệm

HĐ3 trang 22

Đề bài: Cho phương trình $2x^2 – 7x + 5 = 0$.

a) Xác định các hệ số $a$, $b$, $c$ rồi tính $a + b + c$.

b) Chứng tỏ rằng $x_1 = 1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại $x_2$ của phương trình.

Lời giải:

a) $a = 2,\ b = -7,\ c = 5$. Tính: $a + b + c = 2 + (-7) + 5 = 0$.

b) Thay $x = 1$ vào vế trái phương trình:

$$2 \cdot 1^2 – 7 \cdot 1 + 5 = 2 – 7 + 5 = 0.$$

Vế trái bằng vế phải ($0 = 0$), nên $x_1 = 1$ đúng là nghiệm của phương trình.

c) Theo định lí Viète: $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{2}$. Vì $x_1 = 1$ nên:

$$x_2 = \dfrac{5/2}{x_1} = \dfrac{5/2}{1} = \dfrac{5}{2}.$$

Vậy nghiệm còn lại là $x_2 = \dfrac{5}{2}$.

HĐ4 trang 22

Đề bài: Cho phương trình $3x^2 + 5x + 2 = 0$.

a) Xác định các hệ số $a$, $b$, $c$ rồi tính $a – b + c$.

b) Chứng tỏ rằng $x_1 = -1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại $x_2$.

Lời giải:

a) $a = 3,\ b = 5,\ c = 2$. Tính: $a – b + c = 3 – 5 + 2 = 0$.

b) Thay $x = -1$ vào vế trái:

$$3 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) + 2 = 3 – 5 + 2 = 0.$$

Vậy $x_1 = -1$ là nghiệm của phương trình.

c) Theo định lí Viète: $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3}$. Vì $x_1 = -1$:

$$x_2 = \dfrac{2/3}{-1} = -\dfrac{2}{3}.$$

Vậy nghiệm còn lại là $x_2 = -\dfrac{2}{3}$.

Luyện tập 2 trang 23

Đề bài: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) $3x^2 – 11x + 8 = 0$;

b) $4x^2 + 15x + 11 = 0$;

c) $x^2 + 2\sqrt{2},x + 2 = 0$, biết phương trình có một nghiệm là $x = -\sqrt{2}$.

Lời giải:

a) $a = 3,\ b = -11,\ c = 8$. Tính: $a + b + c = 3 – 11 + 8 = 0$.

Áp dụng quy tắc: nếu $a + b + c = 0$ thì $x_1 = 1$ và $x_2 = \dfrac{c}{a}$.

Vậy hai nghiệm là: $x_1 = 1,\ x_2 = \dfrac{8}{3}$.

b) $a = 4,\ b = 15,\ c = 11$. Tính: $a – b + c = 4 – 15 + 11 = 0$.

Áp dụng quy tắc: nếu $a – b + c = 0$ thì $x_1 = -1$ và $x_2 = -\dfrac{c}{a}$.

Vậy hai nghiệm là: $x_1 = -1,\ x_2 = -\dfrac{11}{4}$.

c) Đã biết $x_1 = -\sqrt{2}$. Theo định lí Viète: $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{1} = 2$.

Do đó: $x_2 = \dfrac{2}{x_1} = \dfrac{2}{-\sqrt{2}} = -\dfrac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.

Vậy phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\sqrt{2}$.

Thử thách nhỏ trang 23

Đề bài: Tròn nói: “Tớ tìm ra rồi! Đó là phương trình $x^2 + x + 1 = 0$.” (Phương trình bậc hai mà tổng và tích các nghiệm là hai số đối nhau.) Em có đồng ý với ý kiến của Tròn không? Vì sao?

Lời giải:

Không đồng ý với ý kiến của Tròn. Lý do: ta xét phương trình $x^2 + x + 1 = 0$ — có $a = 1,\ b = 1,\ c = 1$.

$$\Delta = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0.$$

Phương trình vô nghiệm, nên không có hai nghiệm để nói về tổng và tích là hai số đối nhau. Tròn đã quên kiểm tra điều kiện có nghiệm $\Delta \geq 0$ trước khi áp dụng định lí Viète.

Một ví dụ đúng: Phương trình $x^2 + x – 1 = 0$ có $\Delta = 1 + 4 = 5 > 0$ (có hai nghiệm phân biệt). Tổng nghiệm $= -1$, tích nghiệm $= -1$ — hai số này không đối nhau, nên ví dụ này cũng chưa thoả mãn. Cần một phương trình mà $-\dfrac{b}{a}$ và $\dfrac{c}{a}$ đối nhau, tức $b = c$, đồng thời $\Delta \geq 0$. Ví dụ $x^2 + x – 1 = 0$ thì $b = 1,\ c = -1$ — không đối thoả. Tìm pt thoả: $b = c$ và $b^2 – 4ac \geq 0$, chẳng hạn $x^2 – 5x – 5 = 0$ có $b = -5,\ c = -5$, $\Delta = 25 + 20 = 45 > 0$, tổng $= 5$, tích $= -5$ — vẫn chưa đối nhau. Để $S = -P$: $-b/a = -c/a \Leftrightarrow b = c$. Với pt $x^2 + bx + b = 0$, để $\Delta = b^2 – 4b \geq 0$ thì $b \geq 4$ hoặc $b \leq 0$. Lấy $b = c = 4$ thì $x^2 + 4x + 4 = 0$ có nghiệm kép $x = -2$, tổng $= -4$, tích $= 4$ — đúng là hai số đối nhau!

3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

HĐ5 trang 23

Đề bài: Giả sử hai số có tổng $S = 5$ và tích $P = 6$. Thực hiện các bước sau:

a) Gọi một số là $x$. Tính số kia theo $x$.

b) Sử dụng kết quả câu a và giả thiết, hãy lập phương trình để tìm $x$.

Lời giải:

a) Vì hai số có tổng bằng $5$, nếu gọi một số là $x$ thì số kia là:

$$5 – x.$$

b) Tích hai số bằng $6$:

$$x(5 – x) = 6 ;\Leftrightarrow; 5x – x^2 = 6 ;\Leftrightarrow; x^2 – 5x + 6 = 0.$$

Đây là phương trình bậc hai để tìm $x$ (mỗi nghiệm của phương trình chính là một trong hai số cần tìm).

Luyện tập 3 trang 24

Đề bài: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng $-11$, tích của chúng bằng $28$.

Lời giải:

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

$$x^2 – Sx + P = 0 ;\Leftrightarrow; x^2 – (-11)x + 28 = 0 ;\Leftrightarrow; x^2 + 11x + 28 = 0.$$

Có $a = 1,\ b = 11,\ c = 28$.

$$\Delta = 11^2 – 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 – 112 = 9 > 0.$$

$\sqrt{\Delta} = 3$. Hai nghiệm:

$$x_1 = \dfrac{-11 + 3}{2} = -4, \quad x_2 = \dfrac{-11 – 3}{2} = -7.$$

Vậy hai số cần tìm là $-4$ và $-7$.

Kiểm tra: $-4 + (-7) = -11$ ✓; $(-4) \cdot (-7) = 28$ ✓.

Vận dụng trang 24

Đề bài: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

Hàng rào dài $40$ m, tức chu vi mảnh vườn hình chữ nhật bằng $40$ m. Suy ra:

$$\text{chiều dài} + \text{chiều rộng} = \dfrac{40}{2} = 20 \ (\text{m}).$$

Diện tích mảnh vườn là $96$ m², tức:

$$\text{chiều dài} \cdot \text{chiều rộng} = 96 \ (\text{m}^2).$$

Vậy chiều dài và chiều rộng là hai số có tổng $S = 20$ và tích $P = 96$. Chúng là hai nghiệm của phương trình:

$$x^2 – 20x + 96 = 0.$$

Có $a = 1,\ b = -20$ nên $b’ = -10$; $c = 96$.

$$\Delta’ = (-10)^2 – 1 \cdot 96 = 100 – 96 = 4 > 0.$$

$\sqrt{\Delta’} = 2$. Hai nghiệm:

$$x_1 = \dfrac{10 + 2}{1} = 12, \quad x_2 = \dfrac{10 – 2}{1} = 8.$$

Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng nên:

Kết luận: Chiều dài của mảnh vườn là $12$ m, chiều rộng là $8$ m.

Bài tập

Bài 6.23 trang 24

Đề bài: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:

a) $x^2 – 12x + 8 = 0$;

b) $2x^2 + 11x – 5 = 0$;

c) $3x^2 – 10 = 0$;

d) $x^2 – x + 3 = 0$.

Lời giải:

a) $a = 1,\ b = -12,\ c = 8$. Tính $\Delta’ = (-6)^2 – 1 \cdot 8 = 28 > 0$ → có hai nghiệm.

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{-12}{1} = 12, \quad x_1 x_2 = \dfrac{8}{1} = 8.$$

b) $a = 2,\ b = 11,\ c = -5$. Tính $\Delta = 121 + 40 = 161 > 0$ → có hai nghiệm.

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{11}{2}, \quad x_1 x_2 = -\dfrac{5}{2}.$$

c) $a = 3,\ b = 0,\ c = -10$. Tính $\Delta = 0 + 120 = 120 > 0$ → có hai nghiệm.

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{0}{3} = 0, \quad x_1 x_2 = -\dfrac{10}{3}.$$

d) $a = 1,\ b = -1,\ c = 3$. Tính $\Delta = 1 – 12 = -11 < 0$ → vô nghiệm.

Không áp dụng được định lí Viète.

Bài 6.24 trang 24

Đề bài: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) $2x^2 – 9x + 7 = 0$;

b) $3x^2 + 11x + 8 = 0$;

c) $7x^2 – 15x + 2 = 0$, biết phương trình có một nghiệm $x_1 = 2$.

Lời giải:

a) $a = 2,\ b = -9,\ c = 7$. Tính: $a + b + c = 2 – 9 + 7 = 0$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 1,\ x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{7}{2}$.

b) $a = 3,\ b = 11,\ c = 8$. Tính: $a – b + c = 3 – 11 + 8 = 0$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = -1,\ x_2 = -\dfrac{c}{a} = -\dfrac{8}{3}$.

c) Đã biết $x_1 = 2$. Theo định lí Viète: $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{7}$.

$$x_2 = \dfrac{2/7}{x_1} = \dfrac{2/7}{2} = \dfrac{1}{7}.$$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 2,\ x_2 = \dfrac{1}{7}$.

Bài 6.25 trang 24

Đề bài: Tìm hai số $u$ và $v$, biết:

a) $u + v = 20,\ uv = 99$;

b) $u + v = 2,\ uv = 15$.

Lời giải:

a) Hai số $u$, $v$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 – 20x + 99 = 0$.

$\Delta’ = 10^2 – 99 = 1 > 0$, $\sqrt{\Delta’} = 1$.

$$x_1 = 10 + 1 = 11, \quad x_2 = 10 – 1 = 9.$$

Vậy hai số là $u = 11,\ v = 9$ (hoặc ngược lại: $u = 9,\ v = 11$).

b) Hai số $u$, $v$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 – 2x + 15 = 0$.

$\Delta’ = 1 – 15 = -14 < 0$ → phương trình vô nghiệm.

Vậy không tồn tại hai số $u$, $v$ thoả mãn yêu cầu (vì điều kiện $S^2 – 4P \geq 0$ không thoả: $2^2 – 4 \cdot 15 = -56 < 0$).

Bài 6.26 trang 24

Đề bài: Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm là $x_1$ và $x_2$ thì đa thức $ax^2 + bx + c$ phân tích được thành nhân tử như sau:

$$ax^2 + bx + c = a(x – x_1)(x – x_2).$$

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2 + 11x + 18$;

b) $3x^2 + 5x – 2$.

Lời giải:

Chứng minh: Theo định lí Viète: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ và $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$. Suy ra:

$$b = -a(x_1 + x_2), \quad c = a \cdot x_1 x_2.$$

Thay vào đa thức:

$$ax^2 + bx + c = ax^2 – a(x_1 + x_2)x + a \cdot x_1 x_2 = a\left[x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\right].$$

Khai triển bên trong dấu ngoặc:

$$x^2 – x_1 x – x_2 x + x_1 x_2 = x(x – x_1) – x_2(x – x_1) = (x – x_1)(x – x_2).$$

Vậy $ax^2 + bx + c = a(x – x_1)(x – x_2)$. ∎

Áp dụng:

a) $x^2 + 11x + 18$. Giải phương trình $x^2 + 11x + 18 = 0$:

$a = 1,\ b = 11,\ c = 18$, $\Delta = 121 – 72 = 49 > 0$, $\sqrt{\Delta} = 7$.

$$x_1 = \dfrac{-11 + 7}{2} = -2, \quad x_2 = \dfrac{-11 – 7}{2} = -9.$$

Áp dụng công thức (với $a = 1$):

$$x^2 + 11x + 18 = (x – (-2))(x – (-9)) = (x + 2)(x + 9).$$

b) $3x^2 + 5x – 2$. Giải phương trình $3x^2 + 5x – 2 = 0$:

$a = 3,\ b = 5,\ c = -2$, $\Delta = 25 + 24 = 49 > 0$, $\sqrt{\Delta} = 7$.

$$x_1 = \dfrac{-5 + 7}{6} = \dfrac{1}{3}, \quad x_2 = \dfrac{-5 – 7}{6} = -2.$$

Áp dụng công thức (với $a = 3$):

$$3x^2 + 5x – 2 = 3\left(x – \dfrac{1}{3}\right)(x – (-2)) = 3 \cdot \dfrac{3x – 1}{3} \cdot (x + 2) = (3x – 1)(x + 2).$$

Bài 6.27 trang 24

Đề bài: Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích $300$ m² và chu vi là $74$ m. Tính các kích thước của bể bơi này.

Lời giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng của bể bơi (đều tính bằng mét).

• Chu vi bằng $74$ m → tổng chiều dài và chiều rộng: $\dfrac{74}{2} = 37$ (m).
• Diện tích bằng $300$ m² → tích chiều dài và chiều rộng: $300$.

Vậy chiều dài và chiều rộng là hai nghiệm của phương trình:

$$x^2 – 37x + 300 = 0.$$

Có $a = 1,\ b = -37,\ c = 300$.

$$\Delta = (-37)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 300 = 1369 – 1200 = 169 > 0.$$

$\sqrt{\Delta} = 13$. Hai nghiệm:

$$x_1 = \dfrac{37 + 13}{2} = 25, \quad x_2 = \dfrac{37 – 13}{2} = 12.$$

Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng:

Kết luận: Chiều dài của bể bơi là $25$ m, chiều rộng là $12$ m.

Kiểm tra: chu vi $= 2(25 + 12) = 74$ m ✓; diện tích $= 25 \cdot 12 = 300$ m² ✓.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du