Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
A. Trắc nghiệm
Bài 6.39 trang 30
Đề bài: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$?
A. $(1;\ 2)$. B. $(2;\ 1)$. C. $(-1;\ 2)$. D. $\left(1;\ \dfrac{1}{2}\right)$.
Lời giải:
Một điểm $(x_0;\ y_0)$ thuộc đồ thị $y = \dfrac{1}{2}x^2$ khi và chỉ khi $y_0 = \dfrac{1}{2}x_0^2$. Thay từng cặp:
- A. $(1;\ 2)$: $\dfrac{1}{2} \cdot 1^2 = \dfrac{1}{2} \neq 2$ → không.
- B. $(2;\ 1)$: $\dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2 \neq 1$ → không.
- C. $(-1;\ 2)$: $\dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{2} \neq 2$ → không.
- D. $\left(1;\ \dfrac{1}{2}\right)$: $\dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{2}$ ✓.
Đáp án: D.
Bài 6.40 trang 30
Đề bài: Hình 6.11 là hai đường parabol trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a < 0 < b$. B. $a < b < 0$. C. $a > b > 0$. D. $a > 0 > b$.
Lời giải:
Từ Hình 6.11:
- Parabol $y = ax^2$ nằm phía trên trục hoành → $a > 0$.
- Parabol $y = bx^2$ nằm phía dưới trục hoành → $b < 0$.
Vậy $a > 0 > b$.
Đáp án: D.
Bài 6.41 trang 30
Đề bài: Các nghiệm của phương trình $x^2 + 7x + 12 = 0$ là:
A. $x_1 = 3;\ x_2 = 4$. B. $x_1 = -3;\ x_2 = -4$. C. $x_1 = 3;\ x_2 = -4$. D. $x_1 = -3;\ x_2 = 4$.
Lời giải:
Cách nhanh: tìm hai số có tổng $= -7$ và tích $= 12$. Đó là $-3$ và $-4$ (vì $-3 + (-4) = -7$ và $(-3)(-4) = 12$).
Hoặc dùng công thức nghiệm: $\Delta = 49 – 48 = 1,\ \sqrt{\Delta} = 1$.
$$x_1 = \dfrac{-7 + 1}{2} = -3, \quad x_2 = \dfrac{-7 – 1}{2} = -4.$$
Đáp án: B.
Bài 6.42 trang 30
Đề bài: Phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_1 = 13$ và $x_2 = 25$ là:
A. $x^2 – 13x + 25 = 0$. B. $x^2 – 25x + 13 = 0$. C. $x^2 – 38x + 325 = 0$. D. $x^2 + 38x + 325 = 0$.
Lời giải:
Hai số $13$ và $25$ có:
- Tổng: $S = 13 + 25 = 38$.
- Tích: $P = 13 \cdot 25 = 325$.
Phương trình nhận hai số này làm nghiệm có dạng $x^2 – Sx + P = 0$, tức $x^2 – 38x + 325 = 0$.
Đáp án: C.
Bài 6.43 trang 30
Đề bài: Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$. Khi đó, giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$ là:
A. $13$. B. $19$. C. $25$. D. $5$.
Lời giải:
Phương trình có $\Delta = 25 – 24 = 1 > 0$ → có hai nghiệm. Theo định lí Viète: $x_1 + x_2 = 5,\ x_1 x_2 = 6$.
$$A = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2 x_1 x_2 = 25 – 12 = 13.$$
Đáp án: A.
Bài 6.44 trang 30
Đề bài: Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật có chu vi $20$ cm và diện tích $24$ cm² là:
A. $5$ cm và $4$ cm. B. $6$ cm và $4$ cm. C. $8$ cm và $3$ cm. D. $10$ cm và $2$ cm.
Lời giải:
Nửa chu vi $= 10$ cm → chiều dài $+$ chiều rộng $= 10$. Diện tích $= 24$.
Hai kích thước là hai nghiệm của $x^2 – 10x + 24 = 0$. $\Delta’ = 25 – 24 = 1$.
$$x_1 = 5 + 1 = 6, \quad x_2 = 5 – 1 = 4.$$
Vậy chiều dài $6$ cm, chiều rộng $4$ cm.
Đáp án: B.
B. Tự luận
Bài 6.45 trang 30
Đề bài: Vẽ đồ thị của các hàm số $y = \dfrac{5}{2}x^2$ và $y = -\dfrac{5}{2}x^2$ trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
Lời giải:
Lập bảng giá trị:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y = \dfrac{5}{2}x^2$ | $10$ | $\dfrac{5}{2}$ | $0$ | $\dfrac{5}{2}$ | $10$ |
| $y = -\dfrac{5}{2}x^2$ | $-10$ | $-\dfrac{5}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{5}{2}$ | $-10$ |
Vẽ đồ thị: Biểu diễn các điểm tương ứng trên cùng một mặt phẳng toạ độ rồi nối lại.
- Đồ thị $y = \dfrac{5}{2}x^2$ là parabol nằm phía trên trục hoành, mở lên, đỉnh $O$.
- Đồ thị $y = -\dfrac{5}{2}x^2$ là parabol nằm phía dưới trục hoành, mở xuống, đỉnh $O$.
- Hai parabol đối xứng với nhau qua trục hoành $Ox$.
Bài 6.46 trang 30
Đề bài: Cho hàm số $y = ax^2$. Xác định hệ số $a$, biết đồ thị hàm số đi qua điểm $A(3;\ 3)$. Vẽ đồ thị của hàm số trong trường hợp đó.
Lời giải:
Bước 1: Tìm hệ số $a$. Vì đồ thị đi qua $A(3;\ 3)$, thay $x = 3,\ y = 3$ vào $y = ax^2$:
$$3 = a \cdot 3^2 = 9a ;\Leftrightarrow; a = \dfrac{1}{3}.$$
Vậy hàm số là $y = \dfrac{1}{3}x^2$.
Bước 2: Vẽ đồ thị. Lập bảng giá trị:
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = \dfrac{1}{3}x^2$ | $3$ | $\dfrac{4}{3}$ | $\dfrac{1}{3}$ | $0$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{4}{3}$ | $3$ |
Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng toạ độ rồi nối lại bằng đường cong trơn. Đồ thị là parabol nằm phía trên trục hoành, mở lên, đỉnh $O$, đối xứng qua trục $Oy$.
Bài 6.47 trang 30
Đề bài: Giải các phương trình sau:
a) $5x^2 – 6\sqrt{5},x + 2 = 0$;
b) $2x^2 – 2\sqrt{6},x + 3 = 0$.
Lời giải:
a) $a = 5,\ b = -6\sqrt{5}$ nên $b’ = -3\sqrt{5}$; $c = 2$. Dùng công thức nghiệm thu gọn:
$$\Delta’ = (-3\sqrt{5})^2 – 5 \cdot 2 = 45 – 10 = 35 > 0.$$
Hai nghiệm phân biệt:
$$x_1 = \dfrac{3\sqrt{5} + \sqrt{35}}{5}, \quad x_2 = \dfrac{3\sqrt{5} – \sqrt{35}}{5}.$$
b) $a = 2,\ b = -2\sqrt{6}$ nên $b’ = -\sqrt{6}$; $c = 3$. Tính:
$$\Delta’ = (-\sqrt{6})^2 – 2 \cdot 3 = 6 – 6 = 0.$$
Phương trình có nghiệm kép:
$$x_1 = x_2 = -\dfrac{b’}{a} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}.$$
Bài 6.48 trang 31
Đề bài: Cho phương trình $x^2 – 11x + 30 = 0$. Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:
a) $x_1^2 + x_2^2$;
b) $x_1^3 + x_2^3$.
Lời giải:
Bước 1: Kiểm tra điều kiện và áp dụng Viète.
$\Delta = (-11)^2 – 4 \cdot 30 = 121 – 120 = 1 > 0$ → có hai nghiệm. Theo định lí Viète:
$$x_1 + x_2 = 11, \quad x_1 x_2 = 30.$$
a) Dùng hằng đẳng thức $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2$:
$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2 x_1 x_2 = 11^2 – 2 \cdot 30 = 121 – 60 = 61.$$
b) Dùng hằng đẳng thức $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 – 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$:
$$x_1^3 + x_2^3 = 11^3 – 3 \cdot 30 \cdot 11 = 1\,331 – 990 = 341.$$
Bài 6.49 trang 31
Đề bài: Tìm hai số $u$ và $v$, biết:
a) $u + v = 13$ và $uv = 40$;
b) $u – v = 4$ và $uv = 77$.
Lời giải:
a) Hai số $u$, $v$ là hai nghiệm của $x^2 – 13x + 40 = 0$.
$\Delta = 169 – 160 = 9,\ \sqrt{\Delta} = 3$.
$$x_1 = \dfrac{13 + 3}{2} = 8, \quad x_2 = \dfrac{13 – 3}{2} = 5.$$
Vậy hai số là $u = 8,\ v = 5$ (hoặc ngược lại).
b) Đề cho $u – v$ (không phải $u + v$). Ta dùng mẹo: đặt $t = -v$, khi đó $u + t = u – v = 4$ và $u \cdot t = u \cdot (-v) = -uv = -77$.
Hai số $u$ và $t$ là nghiệm của $x^2 – 4x – 77 = 0$.
$\Delta’ = (-2)^2 – (-77) = 4 + 77 = 81,\ \sqrt{\Delta’} = 9$.
$$x_1 = 2 + 9 = 11, \quad x_2 = 2 – 9 = -7.$$
Trường hợp 1: $u = 11,\ t = -7 \Rightarrow v = -t = 7$. Kiểm tra: $u – v = 11 – 7 = 4$ ✓, $uv = 77$ ✓.
Trường hợp 2: $u = -7,\ t = 11 \Rightarrow v = -11$. Kiểm tra: $u – v = -7 – (-11) = 4$ ✓, $uv = 77$ ✓.
Kết luận: Có hai cặp $(u;\ v)$ thoả mãn: $(11;\ 7)$ hoặc $(-7;\ -11)$.
Bài 6.50 trang 31
Đề bài: Các kĩ sư đảm bảo an toàn của đường cao tốc thường sử dụng công thức $d = 0{,}05v^2 + 1{,}1v$ để ước tính khoảng cách an toàn tối thiểu $d$ (feet) đối với một phương tiện di chuyển với tốc độ $v$ (dặm/giờ). Giả sử giới hạn tốc độ trên một đường cao tốc nào đó là $70$ dặm/giờ. Nếu một ô tô có thể dừng lại sau $300$ feet kể từ khi đạp phanh thì ô tô đó có chạy nhanh hơn giới hạn tốc độ của đường cao tốc này không?
Lời giải:
Bước 1: Lập phương trình. Khoảng cách dừng là $300$ feet, nên:
$$0{,}05v^2 + 1{,}1v = 300 ;\Leftrightarrow; 0{,}05v^2 + 1{,}1v – 300 = 0.$$
Bước 2: Giải phương trình. Có $\Delta = 1{,}1^2 – 4 \cdot 0{,}05 \cdot (-300) = 1{,}21 + 60 = 61{,}21$, $\sqrt{\Delta} \approx 7{,}82$.
$$v_1 = \dfrac{-1{,}1 + 7{,}82}{2 \cdot 0{,}05} = \dfrac{6{,}72}{0{,}1} = 67{,}2 \ (\text{dặm/giờ}),$$
$$v_2 = \dfrac{-1{,}1 – 7{,}82}{0{,}1} \approx -89{,}2 \ (\text{loại vì } v > 0).$$
Bước 3: So sánh. $v \approx 67{,}2$ dặm/giờ $< 70$ dặm/giờ.
Kết luận: Ô tô đó không chạy nhanh hơn giới hạn tốc độ của đường cao tốc.
Bài 6.51 trang 31
Đề bài: Bác Hương gửi tiết kiệm ngân hàng $100$ triệu đồng với kì hạn $12$ tháng. Sau một năm, do chưa có nhu cầu sử dụng nên bác chưa rút sổ tiết kiệm này ra mà gửi tiếp và gửi thêm một sổ tiết kiệm mới với số tiền $50$ triệu đồng, cũng với kì hạn $12$ tháng. Sau hai năm (kể từ khi gửi lần đầu), bác Hương nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là $176$ triệu đồng. Tính lãi suất năm của hình thức gửi tiết kiệm này (giả sử lãi suất không đổi trong suốt quá trình gửi).
Lời giải:
Bước 1: Lập phương trình.
Gọi $x$ là lãi suất gửi tiết kiệm/năm (dạng số thập phân), điều kiện $x > 0$.
Sổ 1 ($100$ triệu, gửi từ đầu): Sau năm thứ nhất nhận $100(1 + x)$ triệu, gửi tiếp $12$ tháng nữa (theo thể thức lãi kép) → sau năm thứ hai nhận:
$$100(1 + x)^2 \ (\text{triệu đồng}).$$
Sổ 2 ($50$ triệu, gửi sau năm thứ nhất): gửi $12$ tháng → sau năm thứ hai (cách thời điểm gửi $1$ năm) nhận:
$$50(1 + x) \ (\text{triệu đồng}).$$
Tổng số tiền sau $2$ năm:
$$100(1 + x)^2 + 50(1 + x) = 176.$$
Bước 2: Giải phương trình. Đặt $y = 1 + x$ (với $y > 0$):
$$100y^2 + 50y – 176 = 0.$$
$\Delta = 50^2 + 4 \cdot 100 \cdot 176 = 2\,500 + 70\,400 = 72\,900$, $\sqrt{\Delta} = 270$.
$$y_1 = \dfrac{-50 + 270}{200} = \dfrac{220}{200} = 1{,}1, \quad y_2 = \dfrac{-50 – 270}{200} = -1{,}6 \ (\text{loại vì } y > 0).$$
Bước 3: Tìm $x$. $1 + x = 1{,}1 \Rightarrow x = 0{,}1 = 10\%$.
Kết luận: Lãi suất gửi tiết kiệm là $10\%$/năm.
Kiểm tra: sổ 1 nhận $100 \cdot 1{,}1^2 = 121$ triệu; sổ 2 nhận $50 \cdot 1{,}1 = 55$ triệu. Tổng $= 121 + 55 = 176$ triệu ✓.
Bài 6.52 trang 31
Đề bài: Hai khối học sinh lớp 8 và lớp 9 của một trường trung học cơ sở tham gia lao động. Nếu làm chung thì sẽ hoàn thành công việc sau $1$ giờ $12$ phút. Nếu mỗi khối lớp làm riêng thì khối lớp 9 làm xong nhanh hơn khối lớp 8 là $1$ giờ. Hỏi nếu mỗi khối lớp làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?
Lời giải:
Bước 1: Lập phương trình.
Đổi $1$ giờ $12$ phút $= 1 + \dfrac{12}{60} = \dfrac{6}{5}$ giờ.
Gọi $x$ (giờ) là thời gian khối lớp 9 làm xong công việc một mình, điều kiện $x > 0$.
→ Thời gian khối lớp 8 làm xong một mình: $x + 1$ (giờ).
Năng suất làm việc trong $1$ giờ (lấy cả công việc là $1$):
- Khối lớp 9: $\dfrac{1}{x}$ (công việc/giờ).
- Khối lớp 8: $\dfrac{1}{x + 1}$ (công việc/giờ).
- Cùng nhau: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 1}$.
Cùng làm trong $\dfrac{6}{5}$ giờ thì xong:
$$\dfrac{6}{5} \cdot \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 1}\right) = 1 ;\Leftrightarrow; \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{5}{6}.$$
Bước 2: Giải phương trình. Quy đồng vế trái:
$$\dfrac{(x + 1) + x}{x(x + 1)} = \dfrac{5}{6} ;\Leftrightarrow; \dfrac{2x + 1}{x(x + 1)} = \dfrac{5}{6}.$$
Nhân chéo:
$$6(2x + 1) = 5x(x + 1) ;\Leftrightarrow; 12x + 6 = 5x^2 + 5x ;\Leftrightarrow; 5x^2 – 7x – 6 = 0.$$
$\Delta = (-7)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169$, $\sqrt{\Delta} = 13$.
$$x_1 = \dfrac{7 + 13}{10} = 2, \quad x_2 = \dfrac{7 – 13}{10} = -\dfrac{3}{5}.$$
Bước 3: Đối chiếu điều kiện $x > 0$. $x_1 = 2$ nhận; $x_2$ loại.
Vậy: khối lớp 9 làm một mình hết $2$ giờ; khối lớp 8 làm một mình hết $2 + 1 = 3$ giờ.
Kết luận: Làm riêng, khối lớp 9 hết $2$ giờ; khối lớp 8 hết $3$ giờ.
Kiểm tra: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ (công việc/giờ), thời gian làm chung $= \dfrac{1}{5/6} = \dfrac{6}{5}$ giờ $= 1$ giờ $12$ phút ✓.
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du