Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
1. Bảng tần số tương đối
HĐ1 trang 38
Đề bài: Có một túi kín đựng $10$ quả bóng có cùng kích thước và khối lượng, mỗi quả có một trong các màu xanh, đỏ hoặc vàng. Thực hiện $30$ lần lấy bóng, mỗi lần lấy $1$ quả, ghi lại màu quả bóng được lấy ra sau đó trả lại bóng vào túi và trộn đều.
a) Từ dữ liệu ghi lại, cho biết tần số xuất hiện của các quả bóng màu xanh, đỏ, vàng. Lập tỉ số giữa tần số và số lần lấy bóng.
b) Đoán xem trong túi số lượng bóng có màu gì là ít nhất, nhiều nhất.
Lời giải:
a) Học sinh tự thực hiện $30$ lần lấy bóng và ghi lại kết quả. Sau đó đếm số lần xuất hiện của mỗi màu (đây chính là tần số) và lập tỉ số giữa tần số với tổng số lần lấy ($30$).
Ví dụ minh hoạ (giả sử kết quả $30$ lần lấy như sau):
- Màu xanh xuất hiện $9$ lần → tỉ số $\dfrac{9}{30}$.
- Màu đỏ xuất hiện $15$ lần → tỉ số $\dfrac{15}{30}$.
- Màu vàng xuất hiện $6$ lần → tỉ số $\dfrac{6}{30}$.
(Số liệu trên chỉ là ví dụ. Học sinh thay bằng số liệu thực tế khi mình thực hiện.)
b) Dựa vào tần số ở câu a), màu nào có tần số lớn nhất thì dự đoán trong túi có nhiều bóng màu đó nhất, màu nào có tần số nhỏ nhất thì dự đoán trong túi có ít bóng màu đó nhất.
Với ví dụ trên: nhiều khả năng trong túi có nhiều bóng màu đỏ nhất và ít bóng màu vàng nhất.
Câu hỏi trang 38
Đề bài: Lập bảng tần số tương đối cho dãy dữ liệu thu được trong HĐ1.
Lời giải:
Theo công thức trong bài: tần số tương đối của giá trị $x_i$ là $f_i = \dfrac{m_i}{n} \cdot 100\%$, với $m_i$ là tần số của $x_i$ và $n$ là tổng số lần quan sát.
Ở đây $n = 30$. Lấy theo ví dụ ở HĐ1 (xanh: $9$, đỏ: $15$, vàng: $6$):
$$f_{\text{xanh}} = \dfrac{9}{30} \cdot 100\% = 30\%;$$
$$f_{\text{đỏ}} = \dfrac{15}{30} \cdot 100\% = 50\%;$$
$$f_{\text{vàng}} = \dfrac{6}{30} \cdot 100\% = 20\%.$$
Bảng tần số tương đối:
| Màu bóng | Xanh | Đỏ | Vàng |
|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | $30\%$ | $50\%$ | $20\%$ |
(Các em thay số liệu thực tế của mình vào bảng.)
Luyện tập 1 trang 39
Đề bài: Quay $50$ lần một tấm bìa hình tròn được chia thành ba hình quạt với các màu xanh, đỏ, vàng. Quan sát và ghi lại mũi tên chỉ vào hình quạt có màu nào khi tấm bìa dừng lại. Kết quả thu được như sau:
- Xanh: $15$ lần (gồm $3$ nhóm vạch, mỗi nhóm $5$ vạch).
- Đỏ: $25$ lần ($5$ nhóm).
- Vàng: $10$ lần ($2$ nhóm).
a) Lập bảng tần số tương đối cho kết quả thu được.
b) Ước lượng xác suất mũi tên chỉ vào hình quạt màu đỏ.
Lời giải:
a) Tổng số lần quay là $n = 50$. Áp dụng công thức $f_i = \dfrac{m_i}{n} \cdot 100\%$, ta tính tần số tương đối cho từng màu:
$$f_{\text{xanh}} = \dfrac{15}{50} \cdot 100\% = 30\%;$$
$$f_{\text{đỏ}} = \dfrac{25}{50} \cdot 100\% = 50\%;$$
$$f_{\text{vàng}} = \dfrac{10}{50} \cdot 100\% = 20\%.$$
Bảng tần số tương đối:
| Màu | Xanh | Đỏ | Vàng |
|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | $30\%$ | $50\%$ | $20\%$ |
b) Theo nhận xét trong bài, tần số tương đối của một giá trị là ước lượng cho xác suất xuất hiện giá trị đó. Vậy xác suất mũi tên chỉ vào hình quạt màu đỏ được ước lượng là $50\%$ (hay $0{,}5$).
2. Biểu đồ tần số tương đối
HĐ2 trang 39
Đề bài: Có ba phương án thi đấu tại giải bóng đá khối lớp 9 của một trường:
- Phương án 1: Các đội đấu vòng tròn, tính điểm.
- Phương án 2: Chia các đội thành hai bảng, mỗi bảng lấy hai đội vào trận bán kết.
- Phương án 3: Các đội bốc thăm ghép cặp, đấu loại trực tiếp.
Ban tổ chức đã lấy phiếu khảo sát ý kiến. Kết quả được Bình và Nam biểu diễn bằng hai biểu đồ (Hình 7.9 biểu đồ cột và Hình 7.10 biểu đồ hình quạt tròn) cùng cho tỉ lệ: Phương án 1: $28\%$; Phương án 2: $61\%$; Phương án 3: $11\%$.
a) Đọc và giải thích mỗi biểu đồ trên.
b) Lập bảng tần số tương đối cho kết quả khảo sát ý kiến.
Lời giải:
a) Đọc biểu đồ.
Hình 7.9 — Biểu đồ cột: trục ngang ghi tên ba phương án thi đấu, trục đứng ghi tỉ lệ (\%). Chiều cao mỗi cột cho biết tỉ lệ số bạn ủng hộ phương án đó: Phương án 1 được $28\%$ ủng hộ, Phương án 2 được $61\%$ ủng hộ, Phương án 3 được $11\%$ ủng hộ.
Hình 7.10 — Biểu đồ hình quạt tròn: hình tròn được chia thành ba hình quạt với màu khác nhau, mỗi hình quạt ứng với một phương án. Tỉ lệ ghi trên mỗi hình quạt cho biết phần trăm số bạn ủng hộ phương án đó: $28\%$ ủng hộ Phương án 1, $61\%$ ủng hộ Phương án 2, $11\%$ ủng hộ Phương án 3.
Cả hai biểu đồ cùng biểu diễn một dữ liệu, chỉ khác cách trình bày.
b) Bảng tần số tương đối:
| Phương án | Phương án 1 | Phương án 2 | Phương án 3 |
|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | $28\%$ | $61\%$ | $11\%$ |
Kiểm tra: $28\% + 61\% + 11\% = 100\%$ ✓
Luyện tập 2 trang 41
Đề bài: Bảng tần số tương đối sau cho biết tỉ lệ học sinh đánh giá độ khó của đề thi học kì môn Toán theo các mức độ:
| Đánh giá | Rất khó | Khó | Trung bình | Dễ |
|---|---|---|---|---|
| Tỉ lệ | $10\%$ | $25\%$ | $45\%$ | $20\%$ |
Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối này.
Lời giải:
Ta thực hiện theo $3$ bước như sách đã hướng dẫn.
Bước 1. Xác định số đo cung tương ứng của các hình quạt theo công thức $360^\circ \cdot f_i$:
- Rất khó: $360^\circ \cdot 10\% = 36^\circ$.
- Khó: $360^\circ \cdot 25\% = 90^\circ$.
- Trung bình: $360^\circ \cdot 45\% = 162^\circ$.
- Dễ: $360^\circ \cdot 20\% = 72^\circ$.
Kiểm tra: $36^\circ + 90^\circ + 162^\circ + 72^\circ = 360^\circ$ ✓
Bước 2. Vẽ một hình tròn rồi chia thành $4$ hình quạt với số đo cung lần lượt là $36^\circ, 90^\circ, 162^\circ, 72^\circ$.
Bước 3. Tô màu các hình quạt khác nhau, ghi tỉ lệ phần trăm tương ứng, thêm chú giải và tiêu đề.
Tranh luận trang 41
Đề bài: Bạn Bình phát phiếu (Hình 7.13) lấy ý kiến bình chọn của $40$ bạn trong lớp về địa điểm đi dã ngoại (mỗi bạn có thể chọn nhiều hơn $1$ địa điểm). Kết quả thu được:
| Địa điểm | Vườn quốc gia Ba Vì | Vườn quốc gia Cát Bà | Vườn quốc gia Cúc Phương |
|---|---|---|---|
| Tỉ lệ bạn bình chọn | $70\%$ | $30\%$ | $50\%$ |
Bạn Vuông: “Tớ sẽ dùng biểu đồ hình quạt tròn để biểu diễn bảng thống kê này.”
Bạn Tròn: “Không được. Cậu phải dùng biểu đồ cột để biểu diễn.”
Ý kiến của bạn thế nào?
Lời giải:
Em ủng hộ bạn Tròn.
Giải thích:
Tổng các tỉ lệ trong bảng là $70\% + 30\% + 50\% = 150\%$, lớn hơn $100\%$. Vì sao có chuyện này? Vì mỗi bạn có thể chọn nhiều hơn $1$ địa điểm, nên một bạn có thể được đếm ở nhiều cột khác nhau.
Do đó bảng trên không phải là bảng tần số tương đối (bảng tần số tương đối phải có tổng các tần số tương đối bằng $100\%$). Vì vậy, không thể dùng biểu đồ hình quạt tròn để biểu diễn (vì biểu đồ hình quạt tròn ứng với một hình tròn đầy đủ $360^\circ$, tức là tổng tỉ lệ phải bằng $100\%$).
Cách phù hợp là dùng biểu đồ cột để so sánh tỉ lệ bình chọn cho từng địa điểm. Vậy bạn Tròn đúng.
Bài tập (trang 42)
Bài 7.6 trang 42
Đề bài: Lớp 9A có $40$ bạn, trong đó $20$ bạn mặc áo cỡ M, $13$ bạn mặc áo cỡ S, $7$ bạn mặc áo cỡ L. Hãy lập bảng tần số tương đối cho dữ liệu này.
Lời giải:
Tổng số học sinh là $n = 40$. Áp dụng công thức $f_i = \dfrac{m_i}{n} \cdot 100\%$:
$$f_M = \dfrac{20}{40} \cdot 100\% = 50\%;$$
$$f_S = \dfrac{13}{40} \cdot 100\% = 32{,}5\%;$$
$$f_L = \dfrac{7}{40} \cdot 100\% = 17{,}5\%.$$
Bảng tần số tương đối:
| Cỡ áo | M | S | L |
|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | $50\%$ | $32{,}5\%$ | $17{,}5\%$ |
Kiểm tra: $50\% + 32{,}5\% + 17{,}5\% = 100\%$ ✓
Bài 7.7 trang 42
Đề bài: Biểu đồ tranh biểu diễn số lượng học sinh lớp 9B bình chọn phần mềm học trực tuyến được yêu thích nhất (mỗi 👤 biểu diễn cho $2$ học sinh):
- Skype: $3$ ký hiệu 👤
- Zoom: $11$ ký hiệu 👤
- Google Meet: $6$ ký hiệu 👤
Lập bảng tần số tương đối cho dữ liệu được biểu diễn trong biểu đồ tranh trên.
Lời giải:
Mỗi ký hiệu 👤 ứng với $2$ học sinh, nên số học sinh chọn mỗi phần mềm là:
- Skype: $3 \cdot 2 = 6$ học sinh.
- Zoom: $11 \cdot 2 = 22$ học sinh.
- Google Meet: $6 \cdot 2 = 12$ học sinh.
Tổng số học sinh tham gia bình chọn: $n = 6 + 22 + 12 = 40$ học sinh.
Tính tần số tương đối:
$$f_{\text{Skype}} = \dfrac{6}{40} \cdot 100\% = 15\%;$$
$$f_{\text{Zoom}} = \dfrac{22}{40} \cdot 100\% = 55\%;$$
$$f_{\text{Meet}} = \dfrac{12}{40} \cdot 100\% = 30\%.$$
Bảng tần số tương đối:
| Phần mềm | Skype | Zoom | Google Meet |
|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | $15\%$ | $55\%$ | $30\%$ |
Kiểm tra: $15\% + 55\% + 30\% = 100\%$ ✓
Bài 7.8 trang 42
Đề bài: Quay $150$ lần một tấm bìa hình tròn được chia thành bốn hình quạt với các màu xanh, đỏ, tím, vàng. Quan sát mũi tên chỉ vào hình quạt màu gì và ghi lại, thu được kết quả sau:
| Màu | Xanh | Đỏ | Tím | Vàng |
|---|---|---|---|---|
| Số lần | $60$ | $30$ | $40$ | $20$ |
a) Lập bảng tần số tương đối cho dữ liệu trên.
b) Ước lượng các xác suất mũi tên chỉ vào hình quạt màu xanh, màu vàng.
c) Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối thu được ở câu a.
Lời giải:
a) Tổng số lần quay là $n = 150$. Tính tần số tương đối cho từng màu:
$$f_{\text{xanh}} = \dfrac{60}{150} \cdot 100\% = 40\%;$$
$$f_{\text{đỏ}} = \dfrac{30}{150} \cdot 100\% = 20\%;$$
$$f_{\text{tím}} = \dfrac{40}{150} \cdot 100\% \approx 26{,}7\%;$$
$$f_{\text{vàng}} = \dfrac{20}{150} \cdot 100\% \approx 13{,}3\%.$$
Bảng tần số tương đối:
| Màu | Xanh | Đỏ | Tím | Vàng |
|---|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | $40\%$ | $20\%$ | $\approx 26{,}7\%$ | $\approx 13{,}3\%$ |
b) Vì tần số tương đối là ước lượng cho xác suất, nên:
- Xác suất mũi tên chỉ vào hình quạt màu xanh được ước lượng là $40\%$ (hay $0{,}4$).
- Xác suất mũi tên chỉ vào hình quạt màu vàng được ước lượng là $\approx 13{,}3\%$ (hay $\approx 0{,}133$).
c) Tính số đo cung của các hình quạt theo công thức $360^\circ \cdot f_i$. Để chính xác, ta dùng trực tiếp $\dfrac{m_i}{n} \cdot 360^\circ$:
- Xanh: $\dfrac{60}{150} \cdot 360^\circ = 144^\circ$.
- Đỏ: $\dfrac{30}{150} \cdot 360^\circ = 72^\circ$.
- Tím: $\dfrac{40}{150} \cdot 360^\circ = 96^\circ$.
- Vàng: $\dfrac{20}{150} \cdot 360^\circ = 48^\circ$.
Kiểm tra: $144^\circ + 72^\circ + 96^\circ + 48^\circ = 360^\circ$ ✓
Vẽ hình tròn, chia thành $4$ hình quạt với số đo cung trên, tô màu khác nhau và ghi tỉ lệ phần trăm tương ứng.
Bài 7.9 trang 42
Đề bài: Theo Tổng cục Thống kê, vào năm $2021$ trong số $50{,}5$ triệu lao động Việt Nam từ $15$ tuổi trở lên có $13{,}9$ triệu lao động đang làm việc trong lĩnh vực nông nghiệp, lâm nghiệp và thuỷ sản; $16{,}9$ triệu lao động đang làm việc trong lĩnh vực công nghiệp và xây dựng; $19{,}7$ triệu lao động đang làm việc trong lĩnh vực dịch vụ.
a) Lập bảng tần số tương đối cho dữ liệu trên.
b) Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối thu được ở câu a.
c) Tính tỉ lệ lao động không làm việc trong lĩnh vực nông nghiệp, lâm nghiệp và thuỷ sản.
Lời giải:
a) Tổng số lao động là $n = 50{,}5$ triệu. Kiểm tra: $13{,}9 + 16{,}9 + 19{,}7 = 50{,}5$ ✓
Tính tần số tương đối (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất):
$$f_1 = \dfrac{13{,}9}{50{,}5} \cdot 100\% \approx 27{,}5\%;$$
$$f_2 = \dfrac{16{,}9}{50{,}5} \cdot 100\% \approx 33{,}5\%;$$
$$f_3 = \dfrac{19{,}7}{50{,}5} \cdot 100\% \approx 39{,}0\%.$$
Bảng tần số tương đối:
| Lĩnh vực | Nông – Lâm – Thuỷ sản | Công nghiệp – Xây dựng | Dịch vụ |
|---|---|---|---|
| Tần số tương đối | $\approx 27{,}5\%$ | $\approx 33{,}5\%$ | $\approx 39{,}0\%$ |
b) Số đo cung của các hình quạt:
- Nông – Lâm – Thuỷ sản: $360^\circ \cdot 27{,}5\% = 99^\circ$.
- Công nghiệp – Xây dựng: $360^\circ \cdot 33{,}5\% \approx 120{,}6^\circ$.
- Dịch vụ: $360^\circ \cdot 39{,}0\% \approx 140{,}4^\circ$.
Vẽ hình tròn, chia thành $3$ hình quạt với các số đo cung trên, tô màu khác nhau và ghi tỉ lệ.
c) Tỉ lệ lao động không làm việc trong lĩnh vực nông – lâm – thuỷ sản chính là tỉ lệ lao động làm việc trong hai lĩnh vực còn lại:
$$100\% – 27{,}5\% = 72{,}5\%.$$
Vậy tỉ lệ lao động không làm việc trong lĩnh vực nông – lâm – thuỷ sản là $72{,}5\%$.
Bài 7.10 trang 42
Đề bài: Bảng thống kê sau cho biết tỉ lệ tăng trưởng GDP năm $2022$ theo khu vực kinh tế:
| Khu vực kinh tế | Nông nghiệp, lâm nghiệp và thuỷ sản | Công nghiệp và xây dựng | Dịch vụ |
|---|---|---|---|
| Mức tăng trưởng | $3{,}36\%$ | $7{,}78\%$ | $9{,}99\%$ |
a) Bảng thống kê trên có là bảng tần số tương đối hay không?
b) Lựa chọn loại biểu đồ thích hợp và biểu diễn bảng thống kê trên bằng loại biểu đồ đó.
Lời giải:
a) Tính tổng các tỉ lệ trong bảng:
$$3{,}36\% + 7{,}78\% + 9{,}99\% = 21{,}13\%.$$
Tổng này không bằng $100\%$, nên bảng trên không phải là bảng tần số tương đối.
Ngoài ra, các số $3{,}36\%, 7{,}78\%, 9{,}99\%$ không biểu thị tỉ lệ phần (bộ phận trên tổng) mà biểu thị mức tăng trưởng của mỗi khu vực kinh tế (so với năm trước), nên chúng không có tính chất “cộng lại bằng $100\%$”.
b) Vì bảng không phải bảng tần số tương đối, ta không dùng biểu đồ hình quạt tròn. Loại biểu đồ phù hợp ở đây là biểu đồ cột, vì nó cho phép so sánh mức tăng trưởng giữa các khu vực kinh tế.
Vẽ biểu đồ cột: trục ngang ghi $3$ khu vực kinh tế, trục đứng ghi mức tăng trưởng (\%). Dựng các cột có chiều cao lần lượt là $3{,}36;\ 7{,}78;\ 9{,}99$ (đơn vị \%).
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du