Mở đầu trang 66

Đề bài: Ta có thể xác định “góc dốc” $\alpha$ của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là $a$ và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là $h$ không? (Trong các toà chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn $6^\circ$.)

Lời giải:

Có thể xác định được. Quan sát Hình 4.1: tam giác tạo bởi đoạn dốc, độ cao và đường nằm ngang là một tam giác vuông, trong đó $a$ là cạnh huyền, $h$ là cạnh đối của góc $\alpha$.

Sau khi học bài này, ta sẽ biết tỉ số $\dfrac{h}{a}$ chính là $\sin \alpha$. Từ đó dùng máy tính cầm tay tìm được góc $\alpha$. Bài toán cụ thể sẽ được giải ở phần Vận dụng trang 72.

1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Câu hỏi trang 67

Đề bài: Xét góc $C$ của tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (H.4.3). Hãy chỉ ra cạnh đối và cạnh kề của góc $C$.

Lời giải:

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, xét góc $C$:

• Cạnh đối của góc $C$ là cạnh $AB$ (cạnh đối diện với góc $C$).
• Cạnh kề của góc $C$ là cạnh $AC$ (cạnh kề với góc $C$, không phải cạnh huyền).

(Cạnh huyền là $BC$.)

HĐ1 trang 67

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và tam giác $A’B’C’$ vuông tại $A’$ có $\widehat{B} = \widehat{B’} = \alpha$. Chứng minh rằng:

a) $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$.

b) $\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{A’C’}{B’C’}$; $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A’B’}{B’C’}$; $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{A’C’}{A’B’}$; $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{A’B’}{A’C’}$.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có:

• $\widehat{A} = \widehat{A’} = 90^\circ$ (giả thiết).
• $\widehat{B} = \widehat{B’} = \alpha$ (giả thiết).

Suy ra $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$ (g.g).

b) Vì $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$ nên tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau:

$$\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC}{A’C’} = \dfrac{BC}{B’C’}.$$

Từ đẳng thức trên, ta có thể chuyển vị tử với mẫu để được:

$$\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{A’C’}{B’C’};\quad \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A’B’}{B’C’};\quad \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{A’C’}{A’B’};\quad \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{A’B’}{A’C’}.$$

Đây là cơ sở để định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha$ — các tỉ số này chỉ phụ thuộc vào góc $\alpha$, không phụ thuộc vào kích thước cụ thể của tam giác.

Luyện tập 1 trang 68

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5$ cm, $AC = 12$ cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc $B$.

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh huyền $BC$. Áp dụng định lí Pythagore:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169.$$

Suy ra $BC = 13$ (cm).

Bước 2: Xác định các cạnh theo góc $B$.

• Cạnh đối của góc $B$ là $AC = 12$ cm.
• Cạnh kề của góc $B$ là $AB = 5$ cm.
• Cạnh huyền là $BC = 13$ cm.

Bước 3: Tính các tỉ số lượng giác.

$$\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{12}{13};\quad \cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5}{13};$$

$$\tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{5};\quad \cot B = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{5}{12}.$$

HĐ2 trang 69

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và $AB = AC = a$ (H.4.7a).

a) Hãy tính $BC$ và các tỉ số $\dfrac{AB}{BC}, \dfrac{AC}{BC}$. Từ đó suy ra $\sin 45^\circ, \cos 45^\circ$.

b) Hãy tính các tỉ số $\dfrac{AB}{AC}$ và $\dfrac{AC}{AB}$. Từ đó suy ra $\tan 45^\circ, \cot 45^\circ$.

Lời giải:

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat{B} = \widehat{C} = 45^\circ$.

a) Áp dụng định lí Pythagore:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow BC = a\sqrt{2}.$$

Tính các tỉ số:

$$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2};\quad \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$

Xét góc $B = 45^\circ$, cạnh đối là $AC$, cạnh kề là $AB$, cạnh huyền là $BC$. Suy ra:

$$\sin 45^\circ = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{\sqrt{2}}{2};\quad \cos 45^\circ = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$

b) Tính các tỉ số:

$$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{a}{a} = 1;\quad \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{a}{a} = 1.$$

Suy ra:

$$\tan 45^\circ = \dfrac{AC}{AB} = 1;\quad \cot 45^\circ = \dfrac{AB}{AC} = 1.$$

HĐ3 trang 69

Đề bài: Xét tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $2a$.

a) Tính đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ (H.4.7b).

b) Tính $\sin 30^\circ, \cos 30^\circ, \sin 60^\circ$ và $\cos 60^\circ$.

c) Tính $\tan 30^\circ, \cot 30^\circ, \tan 60^\circ$ và $\cot 60^\circ$.

Lời giải:

Trong tam giác đều $ABC$, đường cao $AH$ đồng thời là đường trung tuyến nên $H$ là trung điểm của $BC$, suy ra $BH = HC = a$.

Mỗi góc của tam giác đều bằng $60^\circ$. Vì $AH$ là phân giác của góc $A$ nên $\widehat{BAH} = 30^\circ$.

a) Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$, áp dụng định lí Pythagore:

$$AH^2 = AB^2 – BH^2 = (2a)^2 – a^2 = 4a^2 – a^2 = 3a^2.$$

Suy ra $AH = a\sqrt{3}$.

b) Trong tam giác $AHB$ vuông tại $H$, có $\widehat{B} = 60^\circ$ và $\widehat{BAH} = 30^\circ$, cạnh huyền $AB = 2a$.

Xét góc $B = 60^\circ$: cạnh đối là $AH = a\sqrt{3}$, cạnh kề là $BH = a$.

$$\sin 60^\circ = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2};\quad \cos 60^\circ = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{a}{2a} = \dfrac{1}{2}.$$

Xét góc $\widehat{BAH} = 30^\circ$: cạnh đối là $BH = a$, cạnh kề là $AH = a\sqrt{3}$.

$$\sin 30^\circ = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{a}{2a} = \dfrac{1}{2};\quad \cos 30^\circ = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

c) Từ các cạnh đối, kề ở câu b):

$$\tan 30^\circ = \dfrac{BH}{AH} = \dfrac{a}{a\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3};\quad \cot 30^\circ = \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3};$$

$$\tan 60^\circ = \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3};\quad \cot 60^\circ = \dfrac{BH}{AH} = \dfrac{a}{a\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.$$

Luyện tập 2 trang 70

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{C} = 45^\circ$ và $AB = c$. Tính $BC$ và $AC$ theo $c$.

Lời giải:

Vì $\widehat{A} = 90^\circ$ và $\widehat{C} = 45^\circ$ nên $\widehat{B} = 180^\circ – 90^\circ – 45^\circ = 45^\circ$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, với góc $C = 45^\circ$ ta có:

• Cạnh đối của $C$ là $AB = c$.
• Cạnh kề của $C$ là $AC$.
• Cạnh huyền là $BC$.

Tính $BC$: Sử dụng $\sin C = \dfrac{AB}{BC}$:

$$\sin 45^\circ = \dfrac{c}{BC} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{c}{BC} \Rightarrow BC = \dfrac{2c}{\sqrt{2}} = c\sqrt{2}.$$

Tính $AC$: Sử dụng $\tan C = \dfrac{AB}{AC}$:

$$\tan 45^\circ = \dfrac{c}{AC} \Rightarrow 1 = \dfrac{c}{AC} \Rightarrow AC = c.$$

Vậy $BC = c\sqrt{2}$ và $AC = c$.

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

HĐ4 trang 70

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$, có $\widehat{A} = \alpha, \widehat{B} = \beta$ (H.4.9). Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc $\alpha, \beta$ theo độ dài các cạnh của tam giác $ABC$. Trong các tỉ số đó, cho biết các cặp tỉ số bằng nhau.

Lời giải:

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $\widehat{A} + \widehat{B} = 90^\circ$, tức là $\alpha + \beta = 90^\circ$ (hai góc phụ nhau). Cạnh huyền là $AB$.

Xét góc $A = \alpha$: cạnh đối là $BC$, cạnh kề là $AC$.

$$\sin \alpha = \dfrac{BC}{AB};\quad \cos \alpha = \dfrac{AC}{AB};\quad \tan \alpha = \dfrac{BC}{AC};\quad \cot \alpha = \dfrac{AC}{BC}.$$

Xét góc $B = \beta$: cạnh đối là $AC$, cạnh kề là $BC$.

$$\sin \beta = \dfrac{AC}{AB};\quad \cos \beta = \dfrac{BC}{AB};\quad \tan \beta = \dfrac{AC}{BC};\quad \cot \beta = \dfrac{BC}{AC}.$$

Các cặp tỉ số bằng nhau:

$$\sin \alpha = \cos \beta;\quad \cos \alpha = \sin \beta;\quad \tan \alpha = \cot \beta;\quad \cot \alpha = \tan \beta.$$

Đây chính là định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.

Luyện tập 3 trang 70

Đề bài: Hãy giải thích tại sao $\sin 35^\circ = \cos 55^\circ, \tan 35^\circ = \cot 55^\circ$.

Lời giải:

Ta có $35^\circ + 55^\circ = 90^\circ$, nên $35^\circ$ và $55^\circ$ là hai góc phụ nhau.

Áp dụng định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau (“sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia”):

$$\sin 35^\circ = \cos 55^\circ \quad \text{và} \quad \tan 35^\circ = \cot 55^\circ.$$

3. Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Luyện tập 4 trang 71

Đề bài: Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba:

a) $\sin 40^\circ 54’$; b) $\cos 52^\circ 15’$; c) $\tan 69^\circ 36’$; d) $\cot 25^\circ 18’$.

Lời giải:

Sử dụng MTCT (đặt chế độ độ — Deg) và bấm các phím như trong Ví dụ 4:

a) Bấm: sin 4 0 °'" 5 4 °'" =

$$\sin 40^\circ 54′ \approx 0{,}655.$$

b) Bấm: cos 5 2 °'" 1 5 °'" =

$$\cos 52^\circ 15′ \approx 0{,}612.$$

c) Bấm: tan 6 9 °'" 3 6 °'" =

$$\tan 69^\circ 36′ \approx 2{,}689.$$

d) Để tính $\cot 25^\circ 18’$, ta dùng công thức $\cot \alpha = \dfrac{1}{\tan \alpha}$. Bấm: tan 2 5 °'" 1 8 °'" = rồi bấm phím nghịch đảo x⁻¹ =:

$$\cot 25^\circ 18′ = \dfrac{1}{\tan 25^\circ 18′} \approx 2{,}116.$$

Luyện tập 5 trang 72

Đề bài: Dùng MTCT, tìm các góc $\alpha$ (làm tròn đến phút), biết:

a) $\sin \alpha = 0{,}3782$; b) $\cos \alpha = 0{,}6251$; c) $\tan \alpha = 2{,}154$; d) $\cot \alpha = 3{,}253$.

Lời giải:

Sử dụng MTCT bấm các phím SHIFT sin/cos/tan rồi nhập giá trị. Cuối cùng bấm phím chuyển sang đơn vị độ-phút-giây để đọc kết quả.

a) Bấm: SHIFT sin 0 . 3 7 8 2 = → đọc kết quả ≈ $22{,}2222^\circ$. Đổi sang độ-phút:

$$\alpha \approx 22^\circ 13′.$$

b) Bấm: SHIFT cos 0 . 6 2 5 1 = → đọc kết quả ≈ $51{,}3105^\circ$. Đổi sang độ-phút:

$$\alpha \approx 51^\circ 19′.$$

c) Bấm: SHIFT tan 2 . 1 5 4 = → đọc kết quả ≈ $65{,}0968^\circ$. Đổi sang độ-phút:

$$\alpha \approx 65^\circ 6′.$$

d) Vì $\cot \alpha = 3{,}253$ nên $\tan \alpha = \dfrac{1}{3{,}253}$. Bấm: SHIFT tan ( 1 ÷ 3 . 2 5 3 ) = → đọc kết quả ≈ $17{,}0879^\circ$. Đổi sang độ-phút:

$$\alpha \approx 17^\circ 5′.$$

Vận dụng trang 72

Đề bài: Trở lại bài toán ở tình huống mở đầu. Trong một toà chung cư, biết đoạn dốc vào sảnh toà nhà dài $4$ m, độ cao của đỉnh dốc bằng $0{,}4$ m.

a) Hãy tính góc dốc.

b) Hỏi góc đó có đúng tiêu chuẩn của dốc cho người đi xe lăn không?

Lời giải:

a) Gọi $\alpha$ là góc dốc. Theo Hình 4.1, đoạn dốc là cạnh huyền $a = 4$ m, độ cao đỉnh dốc là cạnh đối $h = 0{,}4$ m của góc $\alpha$. Vậy:

$$\sin \alpha = \dfrac{h}{a} = \dfrac{0{,}4}{4} = 0{,}1.$$

Dùng MTCT: bấm SHIFT sin 0 . 1 = ta được $\alpha \approx 5{,}7392^\circ \approx 5^\circ 44’$.

b) Tiêu chuẩn cho dốc đi xe lăn là góc dốc bé hơn $6^\circ$. Vì $5^\circ 44′ < 6^\circ$ nên góc dốc trên đúng tiêu chuẩn cho người đi xe lăn.

Tranh luận trang 72

Đề bài: Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm $A, B$ không đo trực tiếp được, chẳng hạn $A$ và $B$ là hai địa điểm ở hai bên sông, người ta lấy điểm $C$ về phía bờ sông có chứa $B$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Ở bên bờ sông chứa $B$, người ta đo được $\widehat{ACB} = \alpha$ và $BC = a$ (H.4.10).

• Bạn Vuông cho rằng: “Không thể tính được $AB$ vì trong tam giác vuông $ABC$, theo định lí Pythagore, phải biết được hai cạnh mới tính được cạnh thứ ba.”
• Bạn Tròn cho rằng: “Với các dữ liệu đã biết là có thể tính được khoảng cách $AB$ rồi.”

Em hãy cho biết ý kiến của mình. Hãy tính $AB$, biết $\alpha = 55^\circ, a = 70$ m.

Lời giải:

Em đồng ý với bạn Tròn.

Giải thích: Bạn Vuông chỉ nghĩ đến định lí Pythagore, nhưng quên rằng ta có thể dùng tỉ số lượng giác. Khi biết một góc nhọn và một cạnh của tam giác vuông, ta có thể tính cạnh còn lại.

Tính $AB$: Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$, góc $C = \alpha$. Đối với góc $C$:

• Cạnh đối là $AB$.
• Cạnh kề là $BC = a$.

Theo định nghĩa: $\tan C = \dfrac{AB}{BC}$, suy ra

$$AB = BC \cdot \tan C = a \cdot \tan \alpha.$$

Thay $\alpha = 55^\circ$ và $a = 70$ m:

$$AB = 70 \cdot \tan 55^\circ.$$

Dùng MTCT: $\tan 55^\circ \approx 1{,}4281$, do đó:

$$AB \approx 70 \cdot 1{,}4281 \approx 99{,}97 \approx 100 \text{ (m)}.$$

Vậy khoảng cách $AB$ khoảng $100$ m.

Bài tập (trang 73)

Bài 4.1 trang 73

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Tính các tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang của các góc nhọn $B$ và $C$ khi biết:

a) $AB = 8$ cm, $BC = 17$ cm;

b) $AC = 0{,}9$ cm, $AB = 1{,}2$ cm.

Lời giải:

a) $AB = 8$ cm, $BC = 17$ cm.

Áp dụng định lí Pythagore tính $AC$:

$$AC^2 = BC^2 – AB^2 = 17^2 – 8^2 = 289 – 64 = 225 \Rightarrow AC = 15 \text{ (cm)}.$$

Đối với góc $B$: cạnh đối là $AC = 15$, cạnh kề là $AB = 8$, cạnh huyền là $BC = 17$:

$$\sin B = \dfrac{15}{17};\quad \cos B = \dfrac{8}{17};\quad \tan B = \dfrac{15}{8};\quad \cot B = \dfrac{8}{15}.$$

Đối với góc $C$: cạnh đối là $AB = 8$, cạnh kề là $AC = 15$, cạnh huyền là $BC = 17$:

$$\sin C = \dfrac{8}{17};\quad \cos C = \dfrac{15}{17};\quad \tan C = \dfrac{8}{15};\quad \cot C = \dfrac{15}{8}.$$

Nhận xét: $\sin B = \cos C$, $\cos B = \sin C$, $\tan B = \cot C$, $\cot B = \tan C$ (do $B, C$ phụ nhau).

b) $AC = 0{,}9$ cm, $AB = 1{,}2$ cm.

Áp dụng định lí Pythagore:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 1{,}2^2 + 0{,}9^2 = 1{,}44 + 0{,}81 = 2{,}25 \Rightarrow BC = 1{,}5 \text{ (cm)}.$$

Đối với góc $B$: cạnh đối là $AC = 0{,}9$, cạnh kề là $AB = 1{,}2$, cạnh huyền $BC = 1{,}5$:

$$\sin B = \dfrac{0{,}9}{1{,}5} = \dfrac{3}{5};\quad \cos B = \dfrac{1{,}2}{1{,}5} = \dfrac{4}{5};$$

$$\tan B = \dfrac{0{,}9}{1{,}2} = \dfrac{3}{4};\quad \cot B = \dfrac{1{,}2}{0{,}9} = \dfrac{4}{3}.$$

Đối với góc $C$: cạnh đối là $AB = 1{,}2$, cạnh kề là $AC = 0{,}9$:

$$\sin C = \dfrac{1{,}2}{1{,}5} = \dfrac{4}{5};\quad \cos C = \dfrac{0{,}9}{1{,}5} = \dfrac{3}{5};$$

$$\tan C = \dfrac{1{,}2}{0{,}9} = \dfrac{4}{3};\quad \cot C = \dfrac{0{,}9}{1{,}2} = \dfrac{3}{4}.$$

Bài 4.2 trang 73

Đề bài: Cho tam giác vuông có một góc nhọn $60^\circ$ và cạnh kề với góc $60^\circ$ bằng $3$ cm. Hãy tính cạnh đối của góc này.

Lời giải:

Gọi tam giác $ABC$ vuông tại $A$, góc $B = 60^\circ$. Khi đó:

• Cạnh kề của góc $B$ là $AB = 3$ cm.
• Cạnh đối của góc $B$ là $AC$ (cần tìm).

Theo định nghĩa tang:

$$\tan B = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \dfrac{AC}{AB}.$$

Suy ra:

$$AC = AB \cdot \tan B = 3 \cdot \tan 60^\circ = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \text{ (cm)}.$$

Vậy cạnh đối của góc $60^\circ$ dài $3\sqrt{3}$ cm.

Bài 4.3 trang 73

Đề bài: Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng $30^\circ$ và cạnh đối với góc này bằng $5$ cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.

Lời giải:

Gọi tam giác $ABC$ vuông tại $A$, góc $B = 30^\circ$. Khi đó:

• Cạnh đối của góc $B$ là $AC = 5$ cm.
• Cạnh huyền là $BC$ (cần tìm).

Theo định nghĩa sin:

$$\sin B = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \dfrac{AC}{BC}.$$

Suy ra:

$$BC = \dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{5}{\sin 30^\circ} = \dfrac{5}{\frac{1}{2}} = 10 \text{ (cm)}.$$

Vậy cạnh huyền của tam giác dài $10$ cm.

Bài 4.4 trang 73

Đề bài: Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là $3$ và $\sqrt{3}$. Tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật (sử dụng bảng giá trị lượng giác trang 69).

Lời giải:

Gọi hình chữ nhật là $ABCD$ với $AB = 3, BC = \sqrt{3}$. Đường chéo $AC$ cùng với hai cạnh $AB$ và $BC$ tạo thành tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

Cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật là $BC = \sqrt{3}$. Ta cần tính góc giữa đường chéo $AC$ và cạnh $BC$, tức góc $\widehat{ACB}$.

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $B$, đối với góc $C$:

• Cạnh đối là $AB = 3$.
• Cạnh kề là $BC = \sqrt{3}$.

Theo định nghĩa:

$$\tan \widehat{ACB} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.$$

Tra bảng giá trị lượng giác (trang 69): $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$. Vậy:

$$\widehat{ACB} = 60^\circ.$$

Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật là $60^\circ$.

Bài 4.5 trang 73

Đề bài:

a) Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn $45^\circ$: $\sin 55^\circ, \cos 62^\circ, \tan 57^\circ, \cot 64^\circ$.

b) Tính $\dfrac{\tan 25^\circ}{\cot 65^\circ}$, $\tan 34^\circ – \cot 56^\circ$.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau (sin = cos góc phụ, tan = cot góc phụ):

$$\sin 55^\circ = \cos(90^\circ – 55^\circ) = \cos 35^\circ;$$

$$\cos 62^\circ = \sin(90^\circ – 62^\circ) = \sin 28^\circ;$$

$$\tan 57^\circ = \cot(90^\circ – 57^\circ) = \cot 33^\circ;$$

$$\cot 64^\circ = \tan(90^\circ – 64^\circ) = \tan 26^\circ.$$

b) Tính $\dfrac{\tan 25^\circ}{\cot 65^\circ}$.

Vì $25^\circ + 65^\circ = 90^\circ$ nên $\tan 25^\circ = \cot 65^\circ$. Do đó:

$$\dfrac{\tan 25^\circ}{\cot 65^\circ} = \dfrac{\tan 25^\circ}{\tan 25^\circ} = 1.$$

Tính $\tan 34^\circ – \cot 56^\circ$.

Vì $34^\circ + 56^\circ = 90^\circ$ nên $\tan 34^\circ = \cot 56^\circ$. Do đó:

$$\tan 34^\circ – \cot 56^\circ = 0.$$

Bài 4.6 trang 73

Đề bài: Dùng MTCT, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) $\sin 40^\circ 12’$; b) $\cos 52^\circ 54’$; c) $\tan 63^\circ 36’$; d) $\cot 35^\circ 20’$.

Lời giải:

Sử dụng MTCT (chế độ độ — Deg):

a) Bấm: sin 4 0 °'" 1 2 °'" =

$$\sin 40^\circ 12′ \approx 0{,}645.$$

b) Bấm: cos 5 2 °'" 5 4 °'" =

$$\cos 52^\circ 54′ \approx 0{,}603.$$

c) Bấm: tan 6 3 °'" 3 6 °'" =

$$\tan 63^\circ 36′ \approx 2{,}014.$$

d) Để tính $\cot 35^\circ 20′ = \dfrac{1}{\tan 35^\circ 20′}$, bấm: tan 3 5 °'" 2 0 °'" = rồi bấm x⁻¹ =:

$$\cot 35^\circ 20′ \approx 1{,}411.$$

Bài 4.7 trang 73

Đề bài: Dùng MTCT, tìm số đo của góc nhọn $x$ (làm tròn đến phút), biết rằng:

a) $\sin x = 0{,}2368$; b) $\cos x = 0{,}6224$; c) $\tan x = 1{,}236$; d) $\cot x = 2{,}154$.

Lời giải:

Sử dụng MTCT bấm SHIFT sin/cos/tan rồi nhập giá trị, sau đó bấm phím chuyển độ-phút-giây.

a) Bấm: SHIFT sin 0 . 2 3 6 8 = → đọc ≈ $13{,}6978^\circ$. Đổi sang độ-phút:

$$x \approx 13^\circ 42′.$$

b) Bấm: SHIFT cos 0 . 6 2 2 4 = → đọc ≈ $51{,}5084^\circ$. Đổi sang độ-phút:

$$x \approx 51^\circ 31′.$$

c) Bấm: SHIFT tan 1 . 2 3 6 = → đọc ≈ $51{,}0250^\circ$. Đổi sang độ-phút:

$$x \approx 51^\circ 2′.$$

d) Vì $\cot x = 2{,}154$ nên $\tan x = \dfrac{1}{2{,}154}$. Bấm: SHIFT tan ( 1 ÷ 2 . 1 5 4 ) = → đọc ≈ $24{,}9032^\circ$. Đổi sang độ-phút:

$$x \approx 24^\circ 54′.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du