Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
A. Trắc nghiệm (trang 81)
Bài 4.21 trang 81
Đề bài: Trong Hình 4.32, $\cos \alpha$ bằng
A. $\dfrac{5}{3}$. B. $\dfrac{3}{4}$. C. $\dfrac{3}{5}$. D. $\dfrac{4}{5}$.
Lời giải:
Quan sát Hình 4.32: tam giác có góc vuông ở đỉnh trên, hai cạnh góc vuông là $3$ và $4$, cạnh huyền là $5$ (vì $3^2 + 4^2 = 5^2$).
Đối với góc $\alpha$ (tại đỉnh dưới bên trái):
- Cạnh kề của $\alpha$ là cạnh $3$.
- Cạnh huyền là cạnh $5$.
$$\cos \alpha = \dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \dfrac{3}{5}.$$
Đáp án: C.
Bài 4.22 trang 81
Đề bài: Trong tam giác $MNP$ vuông tại $M$ (H.4.33), $\sin \widehat{MNP}$ bằng
A. $\dfrac{PN}{NM}$. B. $\dfrac{MP}{PN}$. C. $\dfrac{MN}{PN}$. D. $\dfrac{MN}{MP}$.
Lời giải:
Trong tam giác $MNP$ vuông tại $M$, cạnh huyền là $NP$. Đối với góc $\widehat{MNP}$ (góc tại $N$):
- Cạnh đối là $MP$.
- Cạnh huyền là $NP$.
$$\sin \widehat{MNP} = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \dfrac{MP}{PN}.$$
Đáp án: B.
Bài 4.23 trang 81
Đề bài: Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (H.4.34), $\tan B$ bằng
A. $\dfrac{AB}{AC}$. B. $\dfrac{AC}{AB}$. C. $\dfrac{AB}{BC}$. D. $\dfrac{BC}{AC}$.
Lời giải:
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đối với góc $B$:
- Cạnh đối là $AC$.
- Cạnh kề là $AB$.
$$\tan B = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \dfrac{AC}{AB}.$$
Đáp án: B.
Bài 4.24 trang 81
Đề bài: Với mọi góc nhọn $\alpha$, ta có
A. $\sin(90^\circ – \alpha) = \cos \alpha$. B. $\tan(90^\circ – \alpha) = \cos \alpha$. C. $\cot(90^\circ – \alpha) = 1 – \tan \alpha$. D. $\cot(90^\circ – \alpha) = \sin \alpha$.
Lời giải:
Áp dụng định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: $\alpha$ và $90^\circ – \alpha$ là hai góc phụ nhau (vì tổng bằng $90^\circ$), nên:
$$\sin(90^\circ – \alpha) = \cos \alpha;\quad \cos(90^\circ – \alpha) = \sin \alpha;$$
$$\tan(90^\circ – \alpha) = \cot \alpha;\quad \cot(90^\circ – \alpha) = \tan \alpha.$$
Đối chiếu các phương án: A đúng, B sai (đúng phải là $\cot \alpha$), C sai, D sai.
Đáp án: A.
Bài 4.25 trang 81
Đề bài: Giá trị $\tan 30^\circ$ bằng
A. $\sqrt{3}$. B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. C. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. D. $1$.
Lời giải:
Theo bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:
$$\tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$$
Đáp án: C.
B. Tự luận (trang 81–82)
Bài 4.26 trang 81
Đề bài: Xét các tam giác vuông có một góc nhọn bằng hai lần góc nhọn còn lại. Hỏi các tam giác đó có đồng dạng với nhau không? Tính sin và côsin của góc nhọn lớn hơn.
Lời giải:
Bước 1: Tính các góc của tam giác.
Gọi hai góc nhọn lần lượt là $\beta$ và $2\beta$ (với $2\beta$ là góc lớn hơn). Vì tam giác vuông nên hai góc nhọn này có tổng bằng $90^\circ$:
$$\beta + 2\beta = 90^\circ \Rightarrow 3\beta = 90^\circ \Rightarrow \beta = 30^\circ.$$
Vậy hai góc nhọn của tam giác lần lượt là $30^\circ$ và $60^\circ$ (góc lớn hơn). Tam giác có ba góc $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.
Bước 2: Xét đồng dạng.
Mọi tam giác vuông thoả đề bài đều có chung ba góc $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$. Theo tính chất đồng dạng (g.g): hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì đồng dạng. Vậy các tam giác đó đồng dạng với nhau.
Bước 3: Tính $\sin, \cos$ của góc nhọn lớn hơn (góc $60^\circ$).
Theo bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:
$$\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2};\quad \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}.$$
Bài 4.27 trang 81
Đề bài: Hình 4.35 là mô hình của một túp lều. Tìm góc $\alpha$ giữa cạnh mái lều và mặt đất (làm tròn kết quả đến phút). Biết mặt cắt của túp lều là tam giác cân, cạnh đáy $4{,}4$ m và đường cao $1{,}8$ m.
Lời giải:
Mặt cắt của túp lều là tam giác cân với cạnh đáy $4{,}4$ m và đường cao $1{,}8$ m.
Trong tam giác cân, đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy, nên nó chia cạnh đáy thành hai đoạn bằng nhau:
$$\dfrac{4{,}4}{2} = 2{,}2 \text{ (m)}.$$
Xét tam giác vuông tạo bởi đường cao, nửa cạnh đáy và cạnh bên (mái lều). Đối với góc $\alpha$:
- Cạnh đối của $\alpha$ là đường cao $= 1{,}8$ m.
- Cạnh kề của $\alpha$ là nửa cạnh đáy $= 2{,}2$ m.
$$\tan \alpha = \dfrac{1{,}8}{2{,}2} = \dfrac{9}{11}.$$
Dùng MTCT: $\alpha \approx 39{,}29^\circ \approx 39^\circ 17’$.
Vậy góc giữa cạnh mái lều và mặt đất là $\alpha \approx 39^\circ 17’$.
Bài 4.28 trang 82
Đề bài: Một cây cao bị gãy, ngọn cây đổ xuống mặt đất. Ba điểm: gốc cây, điểm gãy, ngọn cây tạo thành một tam giác vuông. Đoạn cây gãy tạo với mặt đất góc $20^\circ$ và chắn ngang lối đi một đoạn $5$ m (H.4.36). Hỏi trước khi bị gãy, cây cao khoảng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Lời giải:
Phân tích: Gọi $C$ là gốc cây, $B$ là điểm gãy trên thân, $A$ là vị trí ngọn cây trên mặt đất. Khi đó:
- Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ (vì thân cây ban đầu thẳng đứng nên $BC \perp CA$).
- $AC = 5$ m (đoạn cây gãy chắn ngang lối đi).
- $\widehat{BAC} = 20^\circ$ (góc giữa đoạn cây gãy và mặt đất).
- $BC$ là phần thân cây còn lại sau khi gãy.
- $AB$ là phần cây đã gãy (từ điểm gãy đến ngọn).
Chiều cao cây trước khi gãy bằng $BC + AB$.
Bước 1: Tính $BC$. Trong $\triangle ABC$ vuông tại $C$, xét góc $A = 20^\circ$, cạnh kề là $AC = 5$, cạnh đối là $BC$:
$$BC = AC \cdot \tan A = 5 \cdot \tan 20^\circ \approx 5 \cdot 0{,}3640 \approx 1{,}82 \text{ (m)}.$$
Bước 2: Tính $AB$. Cạnh huyền $AB$:
$$AB = \dfrac{AC}{\cos A} = \dfrac{5}{\cos 20^\circ} \approx \dfrac{5}{0{,}9397} \approx 5{,}32 \text{ (m)}.$$
Bước 3: Tính chiều cao cây.
$$BC + AB \approx 1{,}82 + 5{,}32 = 7{,}14 \approx 7{,}1 \text{ (m)}.$$
Vậy trước khi bị gãy, cây cao khoảng $7{,}1$ m.
Bài 4.29 trang 82
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $\widehat{B} = \alpha$ (H.4.37).
a) Hãy viết các tỉ số lượng giác $\sin \alpha, \cos \alpha$.
b) Sử dụng định lí Pythagore, chứng minh rằng $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Lời giải:
a) Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$, cạnh huyền là $BC$. Đối với góc $B = \alpha$:
- Cạnh đối của $\alpha$ là $AC$.
- Cạnh kề của $\alpha$ là $AB$.
Theo định nghĩa:
$$\sin \alpha = \dfrac{AC}{BC};\quad \cos \alpha = \dfrac{AB}{BC}.$$
b) Tính $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \left(\dfrac{AC}{BC}\right)^2 + \left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2 = \dfrac{AC^2}{BC^2} + \dfrac{AB^2}{BC^2} = \dfrac{AC^2 + AB^2}{BC^2}.$$
Áp dụng định lí Pythagore vào $\triangle ABC$ vuông tại $A$:
$$AC^2 + AB^2 = BC^2.$$
Suy ra:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \dfrac{BC^2}{BC^2} = 1 \quad \text{(điều phải chứng minh)}.$$
Bài 4.30 trang 82
Đề bài: ĐỐ VUI. Chu vi Trái Đất bằng bao nhiêu? Vào khoảng năm $200$ trước Công nguyên, Eratosthenes (Ơ-ra-tô-xten), một nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp, đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất nhờ hai quan sát sau:
- Hồi đó, hằng năm cứ vào trưa ngày Hạ chí ($21$/$6$), người ta thấy tia sáng mặt trời chiếu thẳng xuống đáy một cái giếng sâu nổi tiếng ở thành phố Syene (Xy-en), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.
- Cũng vào trưa một ngày Hạ chí, ở thành phố Alexandria (A-lếch-xăng-đri-a) cách Syene $800$ km, Eratosthenes thấy một tháp cao $25$ m có bóng trên mặt đất dài $3{,}1$ m.
Từ hai quan sát trên, ông có thể tính xấp xỉ “chu vi” của Trái Đất như thế nào? (Trên Hình 4.38, điểm $O$ là tâm Trái Đất, điểm $S$ tượng trưng cho thành phố Syene, điểm $A$ tượng trưng cho thành phố Alexandria, điểm $H$ là đỉnh của tháp, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng $AB$.)
Lời giải:
Ý tưởng: Vì khoảng cách Trái Đất – Mặt Trời rất lớn so với bán kính Trái Đất, ta coi các tia sáng mặt trời là các đường thẳng song song. Tại Syene tia chiếu thẳng đứng (theo phương $OS$), tại Alexandria tia chiếu xiên một góc nào đó so với phương thẳng đứng $OA$. Góc xiên này chính bằng góc tâm $\widehat{SOA}$.
Bước 1: Tính góc tia mặt trời lệch so với phương thẳng đứng tại Alexandria.
Tại $A$, tháp $HA = 25$ m thẳng đứng có bóng $AB = 3{,}1$ m trên mặt đất. Tam giác $HAB$ vuông tại $A$. Tia mặt trời đi từ $H$ tới $B$, tạo với tháp $HA$ (phương thẳng đứng) một góc $\theta = \widehat{AHB}$.
Đối với góc $\theta$ trong $\triangle HAB$ vuông tại $A$: cạnh đối $= AB = 3{,}1$, cạnh kề $= HA = 25$:
$$\tan \theta = \dfrac{AB}{HA} = \dfrac{3{,}1}{25} = 0{,}124.$$
Dùng MTCT: $\theta \approx 7{,}07^\circ$ (hay $\approx 7^\circ 4’$).
Bước 2: Liên hệ $\theta$ với góc tâm $\widehat{SOA}$.
Vì các tia mặt trời song song, mà tia tại $S$ trùng phương với $OS$ kéo dài, nên góc giữa tia mặt trời tại $A$ và đường $OA$ kéo dài bằng góc giữa $OS$ và $OA$, tức bằng $\widehat{SOA}$. Vậy:
$$\widehat{SOA} = \theta \approx 7{,}07^\circ.$$
Bước 3: Tính chu vi Trái Đất.
Cung tròn $SA$ trên bề mặt Trái Đất dài $800$ km, ứng với góc tâm $\widehat{SOA} \approx 7{,}07^\circ$. Toàn bộ đường tròn (chu vi Trái Đất) ứng với góc $360^\circ$, do đó:
$$\text{Chu vi Trái Đất} = \dfrac{360^\circ}{\widehat{SOA}} \cdot 800 \approx \dfrac{360}{7{,}07} \cdot 800 \approx 40\,744 \text{ (km)}.$$
Vậy chu vi Trái Đất xấp xỉ $40\,744$ km (khoảng $40\,000$ km).
Nhận xét: Kết quả này rất gần với giá trị thực tế (chu vi xích đạo Trái Đất khoảng $40\,075$ km) — một thành tựu đáng kinh ngạc của Eratosthenes từ hơn $2\,200$ năm trước!
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du