1. Dây và đường kính của đường tròn

HĐ trang 87

Đề bài: Xét dây $AB$ tuỳ ý không đi qua tâm của đường tròn $(O;\ R)$ (Hình 5.7). Dựa vào quan hệ giữa các cạnh của tam giác $AOB$, chứng minh $AB < 2R$.

Lời giải:

Vì $A$ và $B$ cùng thuộc đường tròn $(O;\ R)$ nên:

$$OA = OB = R.$$

Vì dây $AB$ không đi qua tâm $O$ nên ba điểm $O,\ A,\ B$ không thẳng hàng, tạo thành tam giác $OAB$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác $OAB$ (mỗi cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại):

$$AB < OA + OB = R + R = 2R.$$

Vậy $AB < 2R$ (đpcm).

Luyện tập 1 trang 88

Đề bài: Cho đường tròn đường kính $BC$. Chứng minh rằng với điểm $A$ bất kì (khác $B$ và $C$) nằm trên đường tròn, ta đều có $BC < AB + AC < 2BC$.

Lời giải:

Vì $A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ và $A \ne B,\ A \ne C$, nên (theo Luyện tập 1 Bài 13 đã học) tam giác $ABC$ vuông tại $A$, với $BC$ là cạnh huyền và $AB,\ AC$ là hai cạnh góc vuông.

Ta cần chứng minh hai bất đẳng thức.

Bất đẳng thức 1: $BC < AB + AC$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác $ABC$ (cạnh $BC$ nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại):

$$BC < AB + AC. \quad (1)$$

Bất đẳng thức 2: $AB + AC < 2BC$.

Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh dài nhất. Do đó:

$$AB < BC \quad \text{và} \quad AC < BC.$$

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên:

$$AB + AC < BC + BC = 2BC. \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có:

$$BC < AB + AC < 2BC \quad \text{(đpcm)}.$$

2. Góc ở tâm, cung và số đo của một cung

Câu hỏi trang 89

Đề bài: Tại sao số đo cung lớn của một đường tròn luôn lớn hơn $180^\circ$?

Lời giải:

Theo lý thuyết đã học, gọi $\alpha$ là số đo của góc ở tâm $\widehat{AOB}$ với $0^\circ < \alpha \le 180^\circ$. Khi đó:

• Cung nhỏ có số đo $\alpha$.
• Cung lớn có số đo $360^\circ – \alpha$.

Khái niệm cung lớn chỉ xuất hiện khi góc $\widehat{AOB}$ không bẹt, tức là $\alpha < 180^\circ$ (nếu $\alpha = 180^\circ$ thì hai cung trở thành hai nửa đường tròn bằng nhau, không phân biệt lớn nhỏ).

Từ $\alpha < 180^\circ$, ta có:

$$360^\circ – \alpha > 360^\circ – 180^\circ = 180^\circ.$$

Vậy số đo cung lớn của một đường tròn luôn lớn hơn $180^\circ$.

Luyện tập 2 trang 90

Đề bài: Cho điểm $C$ nằm trên đường tròn $(O)$. Đường trung trực của đoạn $OC$ cắt $(O)$ tại $A$ và $B$. Tính số đo của các cung $\overset\frown{ACB}$ và $\overset\frown{ABC}$.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh các tam giác $OAC$ và $OBC$ đều.

Vì $A$ nằm trên đường trung trực của đoạn $OC$, nên $A$ cách đều $O$ và $C$:

$$AO = AC.$$

Mặt khác, $A$ và $C$ cùng thuộc $(O)$ nên $OA = OC = R$. Suy ra:

$$OA = AC = OC = R.$$

Vậy tam giác $OAC$ là tam giác đều, do đó:

$$\widehat{AOC} = 60^\circ.$$

Lập luận tương tự, tam giác $OBC$ cũng đều, nên:

$$\widehat{BOC} = 60^\circ.$$

Bước 2: Tính số đo các cung nhỏ $\overset\frown{AC}$, $\overset\frown{BC}$ và $\overset\frown{AB}$.

Vì số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó:

$$\text{sđ } \overset\frown{AC} = \widehat{AOC} = 60^\circ;$$

$$\text{sđ } \overset\frown{BC} = \widehat{BOC} = 60^\circ.$$

Vì $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $OC$ (cùng nằm trên đường trung trực của $OC$), nên hai góc $\widehat{AOC}$ và $\widehat{BOC}$ nằm về hai phía của tia $OC$. Do đó:

$$\widehat{AOB} = \widehat{AOC} + \widehat{BOC} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ.$$

Suy ra cung nhỏ $\overset\frown{AB}$ (đi từ $A$ qua $C$ đến $B$) có số đo $120^\circ$.

Bước 3: Tính số đo cung $\overset\frown{ACB}$ và $\overset\frown{ABC}$.

• Cung $\overset\frown{ACB}$ là cung có hai mút $A,\ B$ và đi qua $C$. Cung này chính là cung nhỏ $\overset\frown{AB}$ (đi từ $A$ qua $C$ đến $B$):

$$\text{sđ } \overset\frown{ACB} = \text{sđ } \overset\frown{AC} + \text{sđ } \overset\frown{CB} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ.$$

• Cung $\overset\frown{ABC}$ là cung có hai mút $A,\ C$ và đi qua $B$. Đây chính là cung lớn $AC$ (cung không phải cung nhỏ $\overset\frown{AC}$):

$$\text{sđ } \overset\frown{ABC} = 360^\circ – \text{sđ } \overset\frown{AC} = 360^\circ – 60^\circ = 300^\circ.$$

Kết luận: $\text{sđ } \overset\frown{ACB} = 120^\circ$ và $\text{sđ } \overset\frown{ABC} = 300^\circ$.

Bài tập (trang 90)

Bài 5.5 trang 90

Đề bài: Cho nửa đường tròn đường kính $AB$ và một điểm $M$ tuỳ ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ $M$ đến $AB$ không lớn hơn $\dfrac{AB}{2}$.

Lời giải:

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$, khi đó $O$ là tâm của nửa đường tròn đường kính $AB$ và bán kính là $R = \dfrac{AB}{2}$.

Vì $M$ nằm trên nửa đường tròn nên:

$$OM = R = \dfrac{AB}{2}.$$

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống đường thẳng $AB$. Khi đó $MH$ là khoảng cách từ $M$ đến $AB$.

Trường hợp 1: Nếu $H \equiv O$ (tức $M$ là điểm chính giữa nửa đường tròn), thì $MH = MO = \dfrac{AB}{2}$.

Trường hợp 2: Nếu $H \not\equiv O$, ta xét tam giác $OMH$ vuông tại $H$. Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất, nên:

$$MH < OM = \dfrac{AB}{2}.$$

Tóm lại, trong cả hai trường hợp:

$$MH \le \dfrac{AB}{2}.$$

Vậy khoảng cách từ $M$ đến $AB$ không lớn hơn $\dfrac{AB}{2}$ (đpcm).

Bài 5.6 trang 90

Đề bài: Cho đường tròn $(O;\ 5\ \text{cm})$ và $AB$ là một dây bất kì của đường tròn đó. Biết $AB = 6\ \text{cm}$.

a) Tính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$.

b) Tính $\tan \alpha$ nếu góc ở tâm chắn cung $AB$ bằng $2\alpha$.

Lời giải:

a) Tính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ xuống $AB$. Khoảng cách cần tính chính là $OH$.

Xét tam giác $OAB$ có $OA = OB = 5\ \text{cm}$ (cùng là bán kính), nên tam giác $OAB$ cân tại $O$. Trong tam giác cân, đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến, nên $H$ là trung điểm của $AB$:

$$AH = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\ \text{cm}.$$

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác $OAH$ vuông tại $H$:

$$OH^2 = OA^2 – AH^2 = 5^2 – 3^2 = 25 – 9 = 16.$$

Suy ra $OH = 4\ \text{cm}$.

Vậy khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$ là $4\ \text{cm}$.

b) Tính $\tan \alpha$.

Góc ở tâm chắn cung $AB$ là $\widehat{AOB} = 2\alpha$. Vì tam giác $OAB$ cân tại $O$ và $OH$ là đường cao, $OH$ cũng là đường phân giác của góc $\widehat{AOB}$. Do đó:

$$\widehat{AOH} = \dfrac{\widehat{AOB}}{2} = \alpha.$$

Trong tam giác $OAH$ vuông tại $H$:

$$\tan \alpha = \tan \widehat{AOH} = \dfrac{AH}{OH} = \dfrac{3}{4}.$$

Bài 5.7 trang 90

Đề bài: Tâm $O$ của một đường tròn cách dây $AB$ của nó một khoảng $3\ \text{cm}$. Tính bán kính của đường tròn $(O)$, biết rằng cung nhỏ $AB$ có số đo bằng $100^\circ$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

Bước 1: Phân tích.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ xuống $AB$. Theo giả thiết, $OH = 3\ \text{cm}$.

Vì cung nhỏ $\overset\frown{AB}$ có số đo $100^\circ$, nên góc ở tâm chắn cung đó là:

$$\widehat{AOB} = 100^\circ.$$

Tam giác $OAB$ cân tại $O$ (vì $OA = OB = R$), và $OH$ là đường cao đồng thời là đường phân giác của $\widehat{AOB}$, nên:

$$\widehat{AOH} = \dfrac{\widehat{AOB}}{2} = \dfrac{100^\circ}{2} = 50^\circ.$$

Bước 2: Tính bán kính $R$.

Trong tam giác $OAH$ vuông tại $H$, với $OH$ là cạnh kề của góc $50^\circ$ và $OA = R$ là cạnh huyền:

$$\cos 50^\circ = \dfrac{OH}{OA} = \dfrac{3}{R}.$$

Suy ra:

$$R = \dfrac{3}{\cos 50^\circ} \approx \dfrac{3}{0{,}6428} \approx 4{,}7\ \text{cm}.$$

Vậy bán kính của đường tròn $(O)$ là $R \approx 4{,}7\ \text{cm}$.

Bài 5.8 trang 90

Đề bài: Trên mặt một chiếc đồng hồ có các vạch chia như Hình 5.12. Hỏi cứ sau mỗi khoảng thời gian $36$ phút:

a) Đầu kim phút vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?

b) Đầu kim giờ vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?

Lời giải:

Trên mặt đồng hồ, đầu kim đi hết một vòng tròn ứng với cung có số đo $360^\circ$.

a) Đầu kim phút.

Kim phút quay được một vòng ($360^\circ$) trong $60$ phút.

Trong $1$ phút, kim phút vạch nên cung có số đo:

$$\dfrac{360^\circ}{60} = 6^\circ.$$

Vậy trong $36$ phút, kim phút vạch nên cung có số đo:

$$36 \cdot 6^\circ = 216^\circ.$$

b) Đầu kim giờ.

Kim giờ quay được một vòng ($360^\circ$) trong $12$ giờ $= 12 \cdot 60 = 720$ phút.

Trong $1$ phút, kim giờ vạch nên cung có số đo:

$$\dfrac{360^\circ}{720} = 0{,}5^\circ.$$

Vậy trong $36$ phút, kim giờ vạch nên cung có số đo:

$$36 \cdot 0{,}5^\circ = 18^\circ.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du