Bài 5.28 trang 109

Đề bài: Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau, điểm $O$ nằm trong phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng đó. Biết rằng khoảng cách từ $O$ đến $a$ và $b$ lần lượt bằng $2\ \text{cm}$ và $3\ \text{cm}$.

a) Hỏi bán kính $R$ của đường tròn $(O;\ R)$ phải thoả mãn điều kiện gì để $(O;\ R)$ cắt cả hai đường thẳng $a$ và $b$?

b) Biết rằng đường tròn $(O;\ R)$ tiếp xúc với đường thẳng $a$. Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn $(O;\ R)$ và đường thẳng $b$.

Lời giải:

Đặt $d_a = 2\ \text{cm}$ là khoảng cách từ $O$ đến $a$, $d_b = 3\ \text{cm}$ là khoảng cách từ $O$ đến $b$.

a) Điều kiện để $(O;\ R)$ cắt cả $a$ và $b$.

Theo lý thuyết Bài 16, đường tròn $(O;\ R)$ cắt một đường thẳng khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng đó nhỏ hơn bán kính $R$.

Để $(O;\ R)$ cắt cả $a$ và $b$, ta cần đồng thời:

$$d_a < R \quad \text{và} \quad d_b < R,$$

tức là:

$$2 < R \quad \text{và} \quad 3 < R.$$

Kết hợp hai điều kiện, ta có $R > 3\ \text{cm}$.

Kết luận: $(O;\ R)$ cắt cả hai đường thẳng $a$ và $b$ khi và chỉ khi $R > 3\ \text{cm}$.

b) Đường tròn $(O;\ R)$ tiếp xúc với $a$.

$(O;\ R)$ tiếp xúc với $a$ khi và chỉ khi $R = d_a = 2\ \text{cm}$.

So sánh $R = 2$ với khoảng cách từ $O$ đến $b$ là $d_b = 3$:

$$R = 2 < 3 = d_b.$$

Vì $R < d_b$ nên đường tròn $(O;\ R)$ không cắt đường thẳng $b$ (không có điểm chung).

Bài 5.29 trang 110

Đề bài: Khi chuyển động, giả sử đầu mũi kim dài của một chiếc đồng hồ vạch nên một đường tròn, kí hiệu là $(T_1)$, trong khi đầu mũi kim ngắn vạch nên một đường tròn khác, kí hiệu là $(T_2)$.

a) Hai đường tròn $(T_1)$ và $(T_2)$ có vị trí tương đối như thế nào?

b) Giả sử bán kính của $(T_1)$ và $(T_2)$ lần lượt là $R_1$ và $R_2$. Người ta vẽ trên mặt đồng hồ một hoạ tiết hình tròn có tâm nằm cách điểm trục kim đồng hồ một khoảng bằng $\dfrac{1}{2}R_1$ và có bán kính bằng $\dfrac{1}{2}R_2$. Hãy cho biết vị trí tương đối của đường tròn $(T_3)$ đối với mỗi đường tròn $(T_1)$ và $(T_2)$. Vẽ ba đường tròn đó nếu $R_1 = 3\ \text{cm}$ và $R_2 = 2\ \text{cm}$.

Lời giải:

a) Vị trí tương đối của $(T_1)$ và $(T_2)$.

Hai kim đồng hồ (kim dài và kim ngắn) đều quay quanh cùng một điểm trục. Đầu mũi mỗi kim vạch nên một đường tròn có chung tâm là trục kim đồng hồ, nhưng bán kính khác nhau (do kim dài ngắn khác nhau).

Vậy $(T_1)$ và $(T_2)$ là hai đường tròn đồng tâm.

b) Vị trí tương đối của $(T_3)$ với $(T_1)$ và $(T_2)$.

Gọi $O$ là trục kim đồng hồ (tâm chung của $(T_1)$ và $(T_2)$), $O_3$ là tâm của hoạ tiết $(T_3)$. Theo đề bài:

$$OO_3 = \dfrac{1}{2}R_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5\ \text{cm}; \quad r_3 = \dfrac{1}{2}R_2 = \dfrac{1}{2} \cdot 2 = 1\ \text{cm}.$$

Xét $(T_3)$ và $(T_1)$ với bán kính lớn $R_1 = 3$, bán kính nhỏ $r_3 = 1$:

$$R_1 – r_3 = 3 – 1 = 2\ \text{cm}; \quad R_1 + r_3 = 3 + 1 = 4\ \text{cm}.$$

So sánh $OO_3 = 1{,}5$: $OO_3 = 1{,}5 < 2 = R_1 – r_3$.

Vậy $(T_1)$ đựng $(T_3)$ (không giao nhau).

Xét $(T_3)$ và $(T_2)$ với $R_2 = 2$ và $r_3 = 1$:

$$R_2 – r_3 = 2 – 1 = 1\ \text{cm}; \quad R_2 + r_3 = 2 + 1 = 3\ \text{cm}.$$

So sánh $OO_3 = 1{,}5$: $1 = R_2 – r_3 < OO_3 = 1{,}5 < R_2 + r_3 = 3$.

Vậy $(T_2)$ và $(T_3)$ cắt nhau (tại $2$ điểm).

Bài 5.30 trang 110

Đề bài: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, tiếp tuyến $xx’$ tại $A$ và tiếp tuyến $yy’$ tại $B$ của $(O)$. Một tiếp tuyến thứ ba của $(O)$ tại điểm $P$ ($P$ khác $A$ và $B$) cắt $xx’$ tại $M$ và cắt $yy’$ tại $N$.

a) Chứng minh rằng $MN = MA + NB$.

b) Đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $AB$ cắt $NM$ tại $Q$. Chứng minh rằng $Q$ là trung điểm của đoạn $MN$.

c) Chứng minh rằng $AB$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $MN$.

Lời giải:

a) Chứng minh $MN = MA + NB$.

Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau (Định lý 2, Bài 16):

• $M$ là giao của hai tiếp tuyến $MA$ (qua tiếp điểm $A$) và $MP$ (qua tiếp điểm $P$) của $(O)$. Suy ra: $MA = MP$.
• $N$ là giao của hai tiếp tuyến $NB$ (qua $B$) và $NP$ (qua $P$) của $(O)$. Suy ra: $NB = NP$.

Vì $P$ nằm trên đoạn $MN$, ta có $MN = MP + PN$. Thay vào:

$$MN = MP + PN = MA + NB \quad \text{(đpcm)}.$$

b) Chứng minh $Q$ là trung điểm $MN$.

Vì $xx’ \perp AB$ tại $A$ và $yy’ \perp AB$ tại $B$, nên $MA \perp AB$ và $NB \perp AB$, suy ra:

$$MA \parallel NB.$$

Tứ giác $MABN$ có $MA \parallel NB$, nên là hình thang với hai đáy $MA,\ NB$ và hai cạnh bên $AB,\ MN$.

Đường thẳng đi qua $O$ vuông góc với $AB$: vì $O$ là trung điểm $AB$ (do $AB$ là đường kính) và đường này cùng vuông góc với $AB$ như $MA$, $NB$, nên đường này song song với $MA$ và $NB$.

Như vậy, đường thẳng đi qua $O$ vuông góc với $AB$ là đường thẳng:

• Đi qua trung điểm $O$ của cạnh bên $AB$ của hình thang.
• Song song với hai đáy $MA,\ NB$.

Theo tính chất đường trung bình của hình thang, đường thẳng này cắt cạnh bên còn lại $MN$ tại trung điểm của nó. Vậy $Q$ là trung điểm của $MN$ (đpcm).

c) Chứng minh $AB$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $MN$.

Đường tròn đường kính $MN$ có:

• Tâm là $Q$ (trung điểm $MN$, theo câu b).
• Bán kính $R = \dfrac{MN}{2}$.

Để chứng minh $AB$ tiếp xúc với đường tròn này, ta chứng minh khoảng cách từ $Q$ đến $AB$ bằng bán kính $R = \dfrac{MN}{2}$.

Gọi $H$ là giao của đường thẳng đi qua $Q$ vuông góc $AB$ với $AB$. Theo cách dựng ở câu b, $QH$ chính là $QO$ (đường thẳng qua $O$ vuông góc $AB$). Vậy khoảng cách từ $Q$ đến $AB$ là $QO$.

Trong hình thang $MABN$, $Q$ là trung điểm $MN$, $O$ là trung điểm $AB$, nên $QO$ là đường trung bình của hình thang, do đó:

$$QO = \dfrac{MA + NB}{2}.$$

Theo câu a, $MA + NB = MN$, nên:

$$QO = \dfrac{MN}{2} = R.$$

Vậy khoảng cách từ $Q$ đến $AB$ bằng bán kính của đường tròn đường kính $MN$, suy ra $AB$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $MN$ (đpcm).

Bài 5.31 trang 110

Đề bài: Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $A$ và cùng tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $B$ và $C$ (khác $A$), trong đó $B \in (O)$ và $C \in (O’)$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng $MA$ tiếp xúc với $(O’)$;

b) Điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ từ đó suy ra $ABC$ là tam giác vuông.

Lời giải:

a) Chứng minh đường thẳng $MA$ tiếp xúc với $(O’)$.

Vì $(O)$ và $(O’)$ tiếp xúc với nhau tại $A$, theo nhận xét Bài 17, ba điểm $O,\ A,\ O’$ thẳng hàng.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $OO’$ tại $A$.

• Vì $\Delta \perp OA$ tại $A$ và $A \in (O)$, nên $\Delta$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$.
• Vì $O,\ A,\ O’$ thẳng hàng nên $\Delta$ cũng vuông góc với $O’A$ tại $A$. Mà $A \in (O’)$, nên $\Delta$ cũng là tiếp tuyến của $(O’)$ tại $A$.

Tức là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ trùng với tiếp tuyến của $(O’)$ tại $A$. Vì $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ (giả thiết), nên $MA$ chính là đường thẳng $\Delta$.

Vậy $MA$ cũng là tiếp tuyến của $(O’)$ tại $A$ (đpcm).

b) $M$ là trung điểm $BC$ và tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Chứng minh $MA = MB$:

$M$ là giao của hai tiếp tuyến của $(O)$:

• Tiếp tuyến tại $A$ (đường $MA$).
• Tiếp tuyến tại $B$ (đường thẳng $d$, đi qua $M$ vì $M \in BC \subset d$).

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:

$$MA = MB. \quad (1)$$

Chứng minh $MA = MC$:

Tương tự, $M$ là giao của hai tiếp tuyến của $(O’)$:

• Tiếp tuyến tại $A$ (đường $MA$, theo câu a).
• Tiếp tuyến tại $C$ (đường $d$).

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:

$$MA = MC. \quad (2)$$

Kết luận về $M$:

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có $MB = MC = MA$, suy ra $M$ là trung điểm của đoạn $BC$.

Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$:

Xét tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$ và $MA = MB = MC = \dfrac{BC}{2}$. Như vậy đường trung tuyến $AM$ ứng với cạnh $BC$ bằng nửa cạnh $BC$.

Theo định lý đảo của định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông: nếu đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó vuông tại đỉnh đối diện. Suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (đpcm).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du