Mở đầu trang 67

Đề bài: Chúng ta đã biết số đo góc ở tâm $\widehat{BOC}$ của đường tròn $(O)$ trong Hình 9.1 bằng số đo của cung bị chắn $\widehat{BC}$. Vậy số đo của góc này có mối quan hệ gì với số đo của góc $\widehat{BAC}$?

Lời giải:

Trong bài học này, ta sẽ chứng minh được rằng góc $\widehat{BAC}$ (gọi là góc nội tiếp) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm $\widehat{BOC}$ khi cả hai cùng chắn cung $BC$. Tức là:

$$\widehat{BAC} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOC}.$$

Việc chứng minh và áp dụng được trình bày chi tiết trong các phần tiếp theo của bài.

1. Góc nội tiếp và cung bị chắn

HĐ trang 68

Đề bài: Vẽ đường tròn tâm $O$ có bán kính bằng $2$ cm và dây cung $AB$ có độ dài bằng $2$ cm. Lấy một điểm $C$ tuỳ ý nằm trên cung lớn $AmB$ (H.9.2).

a) Cho biết số đo của góc ở tâm $\widehat{AOB}$ và số đo của cung bị chắn $AB$.

b) Đo góc $\widehat{ACB}$ và so sánh với kết quả của bạn bên cạnh.

c) Lấy điểm $D$ tuỳ ý nằm trên cung $ACB$. Đo góc $\widehat{ADB}$ và so sánh với các góc $\widehat{ACB}$ và $\widehat{AOB}$.

Lời giải:

a) Xét tam giác $AOB$ có:

$$OA = OB = 2 \text{ cm (cùng là bán kính)}; \quad AB = 2 \text{ cm}.$$

Vậy $OA = OB = AB$, suy ra tam giác $AOB$ là tam giác đều, nên ba góc bằng nhau và bằng $60^\circ$. Do đó:

$$\widehat{AOB} = 60^\circ.$$

Vì $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm chắn cung $AB$ (cung nhỏ), nên số đo cung $AB$ nhỏ cũng bằng $60^\circ$:

$$\text{sđ},\widehat{AB} = 60^\circ.$$

b) Dùng thước đo độ, đo trực tiếp góc $\widehat{ACB}$ trên hình vừa vẽ, ta được:

$$\widehat{ACB} = 30^\circ.$$

So với kết quả của bạn bên cạnh: hai kết quả bằng nhau (đều bằng $30^\circ$), dù mỗi bạn chọn điểm $C$ ở vị trí khác nhau trên cung lớn $AmB$.

c) Vì $D$ cũng nằm trên cung $ACB$ (tức cùng cung lớn với $C$), khi đo ta được:

$$\widehat{ADB} = 30^\circ.$$

So sánh:

• $\widehat{ACB} = \widehat{ADB} = 30^\circ$ (hai góc này bằng nhau).
• $\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOB}$ (vì $30^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 60^\circ$).

Nhận xét: Các góc $\widehat{ACB}, \widehat{ADB}$ luôn bằng nửa góc $\widehat{AOB}$, dù điểm $C, D$ chọn ở đâu trên cung lớn. Đây chính là gợi ý dẫn đến định lí về số đo góc nội tiếp.

2. Số đo góc nội tiếp

Câu hỏi trang 70

Đề bài: Hãy cho biết số đo của góc nội tiếp tìm được trong Hình 9.3 ở Ví dụ 1, biết rằng số đo của các cung màu xanh trong hình đều bằng $120^\circ$.

Lời giải:

Theo Ví dụ 1, trong các góc $A, B, C, D$ ở Hình 9.3 thì chỉ có góc $B$ là góc nội tiếp của đường tròn. Cung màu xanh chính là cung bị chắn bởi góc nội tiếp $B$, có số đo $120^\circ$.

Áp dụng định lí về số đo góc nội tiếp:

$$\widehat{B} = \dfrac{1}{2} \cdot \text{sđ cung bị chắn} = \dfrac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ.$$

Vậy số đo của góc nội tiếp tại $B$ bằng $60^\circ$.

Luyện tập trang 70

Đề bài: Cho đường tròn tâm $O$ và hai dây cung $AB$, $CD$ cắt nhau tại điểm $X$ nằm trong đường tròn (H.9.6). Chứng minh rằng $\triangle AXC \backsim \triangle DXB$.

Lời giải:

Xét hai tam giác $AXC$ và $DXB$.

Cặp góc thứ nhất — góc đối đỉnh: Vì $X$ là giao điểm của $AB$ và $CD$, nên:

$$\widehat{AXC} = \widehat{DXB} \text{ (hai góc đối đỉnh)}.$$

Cặp góc thứ hai — hai góc nội tiếp cùng chắn một cung:

• Vì $X$ nằm trên dây $AB$ nên tia $AX$ trùng với tia $AB$, do đó $\widehat{XAC} = \widehat{BAC}$.
• Tương tự, $X$ nằm trên dây $CD$ nên tia $DX$ trùng với tia $DC$, do đó $\widehat{XDB} = \widehat{CDB}$.

Hai góc $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BDC}$ đều là góc nội tiếp của đường tròn $(O)$ cùng chắn cung $BC$, nên:

$$\widehat{BAC} = \widehat{BDC} ;;\Rightarrow;; \widehat{XAC} = \widehat{XDB}.$$

Kết luận: Hai tam giác $AXC$ và $DXB$ có:

• $\widehat{AXC} = \widehat{DXB}$;
• $\widehat{XAC} = \widehat{XDB}$.

Vậy $\triangle AXC \backsim \triangle DXB$ (g.g). $\blacksquare$

Vận dụng trang 70

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu, hãy tính số đo của góc $\widehat{BAC}$ nếu biết đường tròn có bán kính $2$ cm và dây cung $BC = 2\sqrt{2}$ cm.

(Gợi ý: Tam giác $BOC$ có phải tam giác vuông không?)

Lời giải:

Bước 1: Xét tam giác $BOC$.

Ta có $OB = OC = 2$ cm (bán kính) và $BC = 2\sqrt{2}$ cm.

Tính các bình phương:

$$OB^2 + OC^2 = 2^2 + 2^2 = 8;$$

$$BC^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8.$$

Vì $OB^2 + OC^2 = BC^2$, theo định lí Pythagore đảo, tam giác $BOC$ vuông tại $O$. Do đó:

$$\widehat{BOC} = 90^\circ.$$

Bước 2: Tính $\widehat{BAC}$.

Theo Hình 9.1, điểm $A$ nằm trên cung lớn $BC$. Khi đó $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ $BC$, còn $\widehat{BOC}$ là góc ở tâm chắn cùng cung nhỏ $BC$ đó. Áp dụng định lí:

$$\widehat{BAC} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOC} = \dfrac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ.$$

Vậy $\widehat{BAC} = 45^\circ$.

Bài tập (trang 70 – 71)

Bài 9.1 trang 70

Đề bài: Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn cùng một cung.

b) Góc nội tiếp nhỏ hơn $90^\circ$ có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

c) Góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

d) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau.

Lời giải:

a) SAI. Hai góc nội tiếp bằng nhau có thể chắn hai cung khác nhau nhưng có số đo bằng nhau, chứ không nhất thiết chắn cùng một cung.

b) ĐÚNG. Khi góc nội tiếp nhỏ hơn $90^\circ$, cung bị chắn là cung nhỏ (số đo $< 180^\circ$). Khi đó, theo định lí: góc nội tiếp $=\dfrac{1}{2}$ số đo cung bị chắn $=\dfrac{1}{2}$ góc ở tâm chắn cùng cung đó.

c) SAI. Theo định lí, góc nội tiếp chắn cung nhỏ bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng cung đó, không bằng số đo của góc ở tâm.

d) ĐÚNG. Đây chính là một trong các khẳng định ở phần Nhận xét: “Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.”

Kết luận: Hai khẳng định đúng là b) và d).

Bài 9.2 trang 71

Đề bài: Cho các điểm như Hình 9.7. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$, biết rằng $\widehat{AOB} = 120^\circ$, $\widehat{BOC} = 80^\circ$.

Lời giải:

Bước 1: Tính số đo cung $CA$ (không chứa $B$).

Ba cung $AB, BC, CA$ (không chứa điểm thứ ba) hợp thành cả đường tròn nên có tổng số đo bằng $360^\circ$. Mà $\widehat{AOB}, \widehat{BOC}$ là các góc ở tâm chắn cung $AB, BC$ tương ứng, nên:

$$\text{sđ},\widehat{AB} = 120^\circ; \quad \text{sđ},\widehat{BC} = 80^\circ.$$

Suy ra:

$$\text{sđ},\widehat{CA} = 360^\circ – 120^\circ – 80^\circ = 160^\circ.$$

Bước 2: Tính các góc của tam giác $ABC$.

Mỗi góc của tam giác $ABC$ là một góc nội tiếp đường tròn $(O)$, có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn (cung không chứa đỉnh đó):

• $\widehat{BAC}$ chắn cung $BC$: $$\widehat{BAC} = \dfrac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ.$$
• $\widehat{ABC}$ chắn cung $CA$: $$\widehat{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 160^\circ = 80^\circ.$$
• $\widehat{BCA}$ chắn cung $AB$: $$\widehat{BCA} = \dfrac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ.$$

Kiểm tra: $40^\circ + 80^\circ + 60^\circ = 180^\circ$ ✓

Vậy $\widehat{BAC} = 40^\circ$, $\widehat{ABC} = 80^\circ$, $\widehat{BCA} = 60^\circ$.

Bài 9.3 trang 71

Đề bài: Cho đường tròn $(O)$ và hai dây cung $AC$, $BD$ cắt nhau tại $X$ (H.9.8). Tính số đo góc $\widehat{AXB}$ biết rằng $\widehat{ADB} = 30^\circ$ và $\widehat{DBC} = 50^\circ$.

Lời giải:

Bước 1: Tính $\widehat{ACB}$.

Hai góc $\widehat{ADB}$ và $\widehat{ACB}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$ của đường tròn $(O)$, nên chúng bằng nhau:

$$\widehat{ACB} = \widehat{ADB} = 30^\circ.$$

Bước 2: Tính $\widehat{AXB}$ dùng tính chất góc ngoài tam giác.

Trong tam giác $BXC$:

• Vì $X$ nằm trên dây $BD$ nên tia $BX$ trùng với tia $BD$, suy ra $\widehat{XBC} = \widehat{DBC} = 50^\circ$.
• Vì $X$ nằm trên dây $AC$ nên tia $CX$ trùng với tia $CA$, suy ra $\widehat{XCB} = \widehat{ACB} = 30^\circ$.

Mặt khác, $A, X, C$ thẳng hàng và $X$ nằm giữa $A$ và $C$, nên $\widehat{AXB}$ là góc ngoài tại đỉnh $X$ của tam giác $BXC$. Theo tính chất góc ngoài:

$$\widehat{AXB} = \widehat{XBC} + \widehat{XCB} = 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ.$$

Vậy $\widehat{AXB} = 80^\circ$.

Bài 9.4 trang 71

Đề bài: Cho đường tròn $(O)$ và hai dây cung $AB$, $CD$ cắt nhau tại điểm $I$ nằm trong $(O)$ (H.9.9).

a) Biết rằng $\widehat{AOC} = 60^\circ$, $\widehat{BOD} = 80^\circ$. Tính số đo của góc $\widehat{AID}$.

b) Chứng minh rằng $IA \cdot IB = IC \cdot ID$.

Lời giải:

a) Tính $\widehat{AID}$.

Vì $\widehat{AOC}$ và $\widehat{BOD}$ là các góc ở tâm nên số đo các cung bị chắn (cung nhỏ) là:

$$\text{sđ},\widehat{AC} = 60^\circ; \quad \text{sđ},\widehat{BD} = 80^\circ.$$

Hai góc $\widehat{AID}$ và $\widehat{BIC}$ là hai góc đối đỉnh (do hai cặp tia $IA, IB$ và $ID, IC$ là hai cặp tia đối nhau), nên:

$$\widehat{AID} = \widehat{BIC}.$$

Ta đi tính $\widehat{BIC}$ thông qua tam giác $BIC$:

• $\widehat{IBC} = \widehat{ABC}$ (do $I$ nằm trên $AB$). $\widehat{ABC}$ là góc nội tiếp chắn cung $AC$ (không chứa $B$), nên: $$\widehat{IBC} = \widehat{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ.$$
• $\widehat{ICB} = \widehat{DCB}$ (do $I$ nằm trên $CD$). $\widehat{DCB}$ là góc nội tiếp chắn cung $BD$ (không chứa $C$), nên: $$\widehat{ICB} = \widehat{DCB} = \dfrac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ.$$

Trong tam giác $BIC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:

$$\widehat{BIC} = 180^\circ – \widehat{IBC} – \widehat{ICB} = 180^\circ – 30^\circ – 40^\circ = 110^\circ.$$

Vậy $\widehat{AID} = \widehat{BIC} = 110^\circ$.

b) Chứng minh $IA \cdot IB = IC \cdot ID$.

Xét hai tam giác $AIC$ và $DIB$:

• $\widehat{AIC} = \widehat{DIB}$ (hai góc đối đỉnh).
• $\widehat{IAC} = \widehat{BAC}$ và $\widehat{IDB} = \widehat{CDB}$ (do $I$ nằm trên $AB$ và $CD$). Hai góc $\widehat{BAC}$ và $\widehat{CDB}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BC$, nên bằng nhau, suy ra: $$\widehat{IAC} = \widehat{IDB}.$$

Vậy $\triangle AIC \backsim \triangle DIB$ (g.g). Do đó:

$$\dfrac{IA}{ID} = \dfrac{IC}{IB} ;;\Rightarrow;; IA \cdot IB = IC \cdot ID. ;;\blacksquare$$

Bài 9.5 trang 71

Đề bài: Cho đường tròn $(O)$, đường kính $AB$ và điểm $S$ nằm ngoài $(O)$. Cho hai đường thẳng $SA$, $SB$ lần lượt cắt $(O)$ tại $M$ (khác $A$) và $N$ (khác $B$). Gọi $P$ là giao điểm của $BM$ và $AN$ (H.9.10). Chứng minh rằng $SP$ vuông góc với $AB$.

Lời giải:

Bước 1: Hai góc vuông từ đường kính.

Vì $AB$ là đường kính của $(O)$ nên hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $AB$ là góc vuông:

• $\widehat{AMB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
• $\widehat{ANB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra:

• $BM \perp AM$. Mà $A, M, S$ thẳng hàng nên $BM \perp SA$.
• $AN \perp BN$. Mà $B, N, S$ thẳng hàng nên $AN \perp SB$.

Bước 2: Áp dụng tính chất trực tâm.

Xét tam giác $SAB$:

• $BM$ là đường thẳng đi qua đỉnh $B$ và vuông góc với cạnh đối diện $SA$ → $BM$ là đường cao kẻ từ $B$.
• $AN$ là đường thẳng đi qua đỉnh $A$ và vuông góc với cạnh đối diện $SB$ → $AN$ là đường cao kẻ từ $A$.

Hai đường cao này cắt nhau tại $P$, do đó $P$ là trực tâm của tam giác $SAB$.

Theo tính chất trực tâm, đường thẳng $SP$ là đường cao thứ ba của tam giác $SAB$, kẻ từ đỉnh $S$ xuống cạnh $AB$. Suy ra:

$$SP \perp AB. ;;\blacksquare$$

Bài 9.6 trang 71

Đề bài: Trên sân bóng, khi quả bóng được đặt tại điểm phạt đền thì có góc sút bằng $36^\circ$ và quả bóng cách mỗi cọc gôn $11{,}6$ m (H.9.11). Hỏi khi quả bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đền $11{,}6$ m thì góc sút bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Bước 1: Đưa bài toán về đường tròn.

Gọi $P$ là điểm phạt đền, $B$ và $C$ là hai cọc gôn, $Q$ là vị trí mới của quả bóng. Theo đề bài:

$$PB = PC = PQ = 11{,}6 \text{ m}.$$

Vì ba điểm $B, C, Q$ đều cách $P$ một khoảng $11{,}6$ m nên chúng cùng nằm trên một đường tròn tâm $P$, bán kính $R = 11{,}6$ m.

Bước 2: Áp dụng định lí góc nội tiếp.

Xét đường tròn $(P; 11{,}6 \text{ m})$:

• $\widehat{BPC}$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $BC$. Theo giả thiết, $\widehat{BPC} = 36^\circ$ nên: $$\text{sđ cung } BC \text{ (nhỏ)} = 36^\circ.$$
• $\widehat{BQC}$ là góc nội tiếp của đường tròn $(P)$, chắn cung nhỏ $BC$ (vì $Q$ nằm xa cọc gôn hơn $P$, tức là nằm trên cung lớn $BC$).

Theo định lí:

$$\widehat{BQC} = \dfrac{1}{2} \cdot \text{sđ cung } BC = \dfrac{1}{2} \cdot 36^\circ = 18^\circ.$$

Vậy khi quả bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đền $11{,}6$ m thì góc sút bằng $18^\circ$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du