Bài 9.13 trang 79

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Biết rằng $\widehat{BOC} = 120^\circ$ và $\widehat{OCA} = 20^\circ$. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$.

Lời giải:

Vì $OA, OB, OC$ đều là bán kính của $(O)$ nên $OA = OB = OC$. Ta sẽ xét lần lượt ba tam giác cân $OAB, OBC, OCA$ (giống cách làm ở Ví dụ 1).

Bước 1: Tính các góc của tam giác $OCA$.

Tam giác $OCA$ cân tại $O$ (do $OA = OC$) và có $\widehat{OCA} = 20^\circ$, nên:

$$\widehat{OAC} = \widehat{OCA} = 20^\circ.$$

Tổng ba góc tam giác $OCA$ bằng $180^\circ$:

$$\widehat{AOC} = 180^\circ – 20^\circ – 20^\circ = 140^\circ.$$

Bước 2: Tính các góc của tam giác $OBC$.

Tam giác $OBC$ cân tại $O$ (do $OB = OC$) và $\widehat{BOC} = 120^\circ$, nên:

$$\widehat{OBC} = \widehat{OCB} = \dfrac{180^\circ – 120^\circ}{2} = 30^\circ.$$

Bước 3: Tính các góc của tam giác $OAB$.

Ba góc ở tâm tại $O$ có tổng bằng $360^\circ$:

$$\widehat{AOB} = 360^\circ – \widehat{BOC} – \widehat{AOC} = 360^\circ – 120^\circ – 140^\circ = 100^\circ.$$

Tam giác $OAB$ cân tại $O$ (do $OA = OB$), nên:

$$\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = \dfrac{180^\circ – 100^\circ}{2} = 40^\circ.$$

Bước 4: Tính các góc của tam giác $ABC$.

Vì $O$ nằm bên trong tam giác $ABC$ (cả ba góc ở tâm đều nhỏ hơn $180^\circ$), nên:

$$\widehat{BAC} = \widehat{OAB} + \widehat{OAC} = 40^\circ + 20^\circ = 60^\circ;$$

$$\widehat{ABC} = \widehat{OBA} + \widehat{OBC} = 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ;$$

$$\widehat{ACB} = \widehat{OCA} + \widehat{OCB} = 20^\circ + 30^\circ = 50^\circ.$$

Kiểm tra: $60^\circ + 70^\circ + 50^\circ = 180^\circ$ ✓

Vậy $\widehat{BAC} = 60^\circ, ;; \widehat{ABC} = 70^\circ, ;; \widehat{ACB} = 50^\circ.$

Bài 9.14 trang 79

Đề bài: Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $4$ cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Lời giải:

Áp dụng trực tiếp hai công thức đã học ở Bài 28 cho tam giác đều cạnh $a = 4$ cm:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$$R = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot a = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 = \dfrac{4\sqrt{3}}{3} \text{ (cm)}.$$

Bán kính đường tròn nội tiếp:

$$r = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \cdot a = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \cdot 4 = \dfrac{4\sqrt{3}}{6} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \text{ (cm)}.$$

Vậy $R = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ cm và $r = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ cm. (Lưu ý: $R = 2r$, đúng với kết quả ở HĐ6.)

Bài 9.15 trang 79

Đề bài: Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $3$ cm và nội tiếp đường tròn $(O)$ như Hình 9.26.

a) Tính bán kính $R$ của đường tròn $(O)$.

b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung $BC$ và cung nhỏ $BC$.

Lời giải:

a) Tính $R$.

Áp dụng công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a = 3$ cm:

$$R = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3 = \sqrt{3} \text{ (cm)}.$$

b) Tính diện tích hình viên phân.

Hình viên phân giới hạn bởi dây $BC$ và cung nhỏ $BC$ có diện tích bằng:

$$S_{\text{viên phân}} = S_{\text{hình quạt } OBC} – S_{\triangle OBC}.$$

Bước 1: Xác định số đo cung nhỏ $BC$.

Trong đường tròn ngoại tiếp tam giác đều, ba góc ở tâm bằng nhau:

$$\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COA} = \dfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ.$$

Vậy cung nhỏ $BC$ có số đo $120^\circ$.

Bước 2: Tính diện tích hình quạt $OBC$.

Áp dụng công thức diện tích hình quạt có bán kính $R$, số đo cung $n^\circ$:

$$S_{\text{quạt}} = \dfrac{\pi R^2 \cdot n}{360} = \dfrac{\pi \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot 120}{360} = \dfrac{\pi \cdot 3 \cdot 120}{360} = \pi \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Bước 3: Tính diện tích tam giác $OBC$.

Tam giác $OBC$ cân tại $O$ với $OB = OC = \sqrt{3}$ cm và $BC = 3$ cm. Kẻ đường cao $OM$ từ $O$ xuống $BC$ ($M$ là trung điểm $BC$). Khi đó:

$$BM = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{3}{2} \text{ (cm)}.$$

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $OMB$ vuông tại $M$:

$$OM^2 = OB^2 – BM^2 = 3 – \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{4} ;;\Rightarrow;; OM = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{ (cm)}.$$

Diện tích tam giác $OBC$:

$$S_{\triangle OBC} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot OM = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Bước 4: Tính diện tích hình viên phân.

$$S_{\text{viên phân}} = \pi – \dfrac{3\sqrt{3}}{4} ;\text{(cm}^2\text{)} \approx 3{,}14 – 1{,}30 \approx 1{,}84 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Vậy $R = \sqrt{3}$ cm và diện tích hình viên phân là $\pi – \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ cm² $\approx 1{,}84$ cm².

Bài 9.16 trang 79

Đề bài: Trong một khu vui chơi có dạng hình tam giác đều với độ dài cạnh bằng $60$ m, người ta muốn tìm một vị trí đặt bộ phát sóng wifi sao cho ở chỗ nào trong khu vui chơi đó đều có thể bắt được sóng. Biết rằng bộ phát sóng đó có tầm phát sóng tối đa là $50$ m, hỏi có thể tìm được vị trí để đặt bộ phát sóng như vậy hay không?

Lời giải:

Bước 1: Phân tích.

Mọi điểm trong khu vui chơi cần cách vị trí đặt bộ phát sóng một khoảng không quá $50$ m. Để khoảng cách lớn nhất từ vị trí đặt đến các điểm trong tam giác là nhỏ nhất, ta chọn đặt bộ phát sóng tại tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều.

Khi đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác chứa toàn bộ tam giác, nên khoảng cách lớn nhất từ $O$ đến mọi điểm trong tam giác chính là bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp (đạt được tại các đỉnh $A, B, C$).

Bước 2: Tính $R$.

Tam giác đều cạnh $a = 60$ m, bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$$R = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot 60 = 20\sqrt{3} ;\text{(m)} \approx 34{,}64 \text{ m}.$$

Bước 3: So sánh và kết luận.

Vì $20\sqrt{3} \approx 34{,}64$ m $< 50$ m, nên khi đặt bộ phát sóng tại tâm $O$, mọi điểm trong khu vui chơi đều cách bộ phát sóng không quá $20\sqrt{3}$ m, tức là nhỏ hơn tầm phát sóng tối đa $50$ m.

Vậy có thể tìm được vị trí thoả mãn yêu cầu — đặt bộ phát sóng wifi tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều (cũng chính là trọng tâm tam giác).

Bài 9.17 trang 79

Đề bài: Người ta vẽ bản quy hoạch của một khu dân cư được bao xung quanh bởi ba con đường thẳng lập thành một tam giác với độ dài các cạnh là $900$ m, $1\,200$ m và $1\,500$ m (H.9.27).

a) Tính chu vi và diện tích của phần đất giới hạn bởi tam giác trên.

b) Họ muốn xây dựng một khách sạn bên trong khu dân cư cách đều cả ba con đường đó. Hỏi khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường một khoảng là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Tính chu vi và diện tích.

Chu vi:

$$P = 900 + 1\,200 + 1\,500 = 3\,600 \text{ (m)}.$$

Diện tích: Kiểm tra ba cạnh tam giác:

$$900^2 + 1\,200^2 = 810\,000 + 1\,440\,000 = 2\,250\,000;$$

$$1\,500^2 = 2\,250\,000.$$

Vì $900^2 + 1\,200^2 = 1\,500^2$, theo định lí Pythagore đảo, tam giác đã cho là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông $900$ m và $1\,200$ m, cạnh huyền $1\,500$ m.

Diện tích tam giác vuông:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 900 \cdot 1\,200 = 540\,000 \text{ (m}^2\text{)}.$$

Chu vi tam giác bằng $3\,600$ m, diện tích bằng $540\,000$ m².

b) Tính khoảng cách từ khách sạn đến mỗi cạnh.

Vì khách sạn cách đều cả ba con đường (ba cạnh tam giác), nên khách sạn nằm tại tâm $I$ của đường tròn nội tiếp tam giác. Khoảng cách từ khách sạn đến mỗi cạnh chính bằng bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp.

Áp dụng kết quả ở Ví dụ 2 trang 78: với tam giác $ABC$ có diện tích $S$ và đường tròn nội tiếp bán kính $r$, ta có:

$$S = \dfrac{1}{2} r (BC + CA + AB) = \dfrac{1}{2} r \cdot P.$$

Suy ra:

$$r = \dfrac{2S}{P} = \dfrac{2 \cdot 540\,000}{3\,600} = \dfrac{1\,080\,000}{3\,600} = 300 \text{ (m)}.$$

Vậy khách sạn sẽ cách mỗi con đường một khoảng $300$ m.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du